Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Финансовая математика»
Вариант №1
Исполнитель:
Специальность: Финансы и кредит
Группа:
№ зачетной книжки:
Преподаватель: Михайлов В.Н.

Москва
2007
EMBED Equation.3 Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
EMBED Equation.3
Коэффициенты модели рассчитываются по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для оценки начальных значений a(0) и b(0) построим линейную модель тренда временного ряда по первым восьми уровням Y(t).
Линейная модель имеет вид: y(t)=a+bt.
Коэффициенты a и b определяем методом наименьших квадратов по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Далее вычисляем по формулам:
Для проверки точности модели вычисляем остатки:
EMBED Equation.3
Еотн=1,33<15%, следовательно условие точности выполнено.
Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков et должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда et сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0.
Общее число поворотных точек p=10. Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
При N=16 – q=6. Так как p>q, условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков проводим двумя методами:
по d-критерию Дарбина-Уотсона;
по первому коэффициенту автокорреляции r1.
1) EMBED Equation.3
4-d=1,53
Т.к. 1,1<1,37<1,53<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.
2) EMBED Equation.3 , |r1|=0,255.
Так как |r1|<rтаб=0,32, то уровни ряда остатков независимы.
Нормальность распределения ряда остатков определяем по RS-критерию:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
3<RS<4,21, значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.
При расчете Yp(17), Yp(18,) Yp(19), Yp(20) подставляем a(16) и b(16).
На графике покажем фактические, расчетные и прогнозные данные:

Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%R, %K и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение.
EMBED Equation.3 , Ct – цена закрытия t-го дня
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , n=5
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
где AV и AD сумма приростов и убыли конечных цен за 5 дней.
EMBED Equation.3
Ct - цена закрытия текущего дня t
L5, H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице.
Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлеет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
3.1 Банк выдал ссуду, размером S рублей. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приблизительным числом дней ссуды;
3.2 Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S рублей. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
3.3 Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
3.4 В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
EMBED Equation.3
3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
EMBED Equation.3
3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
EMBED Equation.3
3.7 Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
EMBED Equation.3
3.8 Через Тлеет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
EMBED Equation.3
3.9 Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной процентной ставке i% годовых. Определить дисконт.
EMBED Equation.3
3.10 В течение Тлеет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
EMBED Equation.3