Контрольная работа
По дисциплине «Финансовая математика»
Вариант№2

Исполнитель:
Факультет : Ф и К
Курс: 4
№ л/д
№ группы:
Преподаватель: А.И. Пилипенко








Задание №1
Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Таблица 1.
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3;?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.




Решение:
Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
Yp(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L),
коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:
a(t)= ?1 *Y(t) / F(t-L) + (1- ?1 )*[a(t-1)+b(t-1)];
b(t)= ?3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- ?3)*b(t-1);
F(t)= ?2 * Y(t)/a(t) + (1- ?2)*F(t-L).
Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:
Yp(t)=a(0) + b(0)*t.
Таблица 2
Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Equation.3
a(0) = Yср – b(0)*tср = 37,375 - 0,774*4,5=33,89
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Yp(t)= 33,89+0,774t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3)

Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)
EMBED Excel.Sheet.8
Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 .
Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*(b)]*F(0+1-4)=29,69
Полагая что t=1, находим :

a(1)= ?1*Y(1)/F(-3)+(1-?1)*[a(0)+b(0)]=34,78
b(1)= ?3*[a(1)-a(0)]+(1-?3)*b(0)=0,806
F(1)= ?2*Y(1)/a(1)+(1- ?2)*F(-3)=0,860
Аналогично рассчитаем для t=1
Yp(2)=38,47
a(2)= 35,45
b(2)= 0,77
F(2)=1,07
Для t=2:
Yp(3)=46,00
a(3)=35,98
b(3)= 0,696
F(3)= 1,258
Для t=3:
Yp(4)=29,06
a(4)=37,04
b(4)= 0,803
F(4)= 0,802
Для t=4:
Yp(5)=32,55
a(5)= 37,65
b(5)=0,746
F(5)=0,854
Для t=5:
Yp(6)=41,29
a(6)=38,59
b(6)=0,805
F(6)=1,083
Для t=6:
Yp(7)=49,57
a(7)=39,74
b(7)=0,907
F(7)=1,273
Для t=7:
Yp(8)=32,63
a(8)=40,03
b(8)=0,724
F(8)=0,785

Для t=8:
Yp(9)=34,81
a(9)=41,18
b(9)=0,849
F(9)=0,866
Для t=9:
Yp(10)=45,52
a(10)=42,16
b(10)=0,889
F(10)=1,09
Для t=10
Yp(11)=54,82
a(11)=43,09
b(11)=0,902
F(11)=1,275
Для t=11:
Yp(12)=34,56
a(12)=43,77
b(12)= 0,837
F(12)=0,780
Для t=12:
Yp(13)=38,64
a(13)=45,42
b(13)=1,082
F(13)=0,887
Для t=13:
Yp(14)=50,60
a(14)=46,34
b(14)=1,032
F(14)=1,082

Для t=14:
Yp(15)=60,42
a(15)=47,28
b(15)=1,002
F(15)=1,271
Для t=15:
Yp(16)=37,68
a(16)=48,02
b(16)=0,924
F(16)= 0,774
Таблица 4
EMBED Excel.Sheet.8
Проверка точности модели
Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 34,89, что дает среднюю величину 34,89/16=2,18%.
Следовательно, условие точности выполнено.
Проверка условия адекватности.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5)




Таблица 5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
EMBED Excel.Sheet.8
Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=11
Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=11, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков.
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона
EMBED Equation.3
В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.
EMBED Equation.3
d1<1.23 <d2, Критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков.
б) по первому коэффициенту автокорреляции
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1) < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче /r(1)/=0,39>rтаб=0,32 – условие независимости не выполняется
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax – Emin)/S,
EMBED Equation.3
RS= (2,36-(-1.43))/1,04=3,83
Так как 3,00<3,83<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Построение точечного прогноза
Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4)= (48.02+0.924)*0.887=43.41
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
Yp(18)=Yp(16+2)=(48.02+2*0.924)*1.082=53.96
Yp(19)=( 48.02+3*0.924)*1.271=64.56
Yp(20)=( 48.02+4*0.924)*0.774=40.02


5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

EMBED Excel.Chart.8 \s






Задание № 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.






Решение:
Результаты расчетов см. в таблице 6 и 7.
Экспоненциальная скользящая средняя.
EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1,
где k=2/(n+1)
Ct – цена закрытия t-го дня
Момент
MOMt=Ct – Ct-n
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении
Скорость изменения цен
EMBED Equation.3
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.
Индекс относительной силы
EMBED Equation.3 ,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Стохастические линии
%Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5);
%Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);
EMBED Equation.3 ;
где Ct – цена закрытия текущего дня.
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.


Таблица 6.
Расчет ROC,MOM и RSI
EMBED Excel.Sheet.8
Алгоритм расчета:
выберем интервал сглаживания n(в нашем случае n=5)
вычислим коэффициент К(К=2/(n+1)=2/6=1/3
вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней(графа 2). Сумму разделим на 5 и запишем в графы 3 и 4 за 5-й день.
перейдем на одну строку вниз по графе 4. Умножим на К данные по конечной цене, которую берем из графы 1 текущей строки.(Для 6-го дня это будет 676*1/3=225.33).
данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем на (1 - К).(Для 6-го дня это будет 704.4*2/3=469.60)
сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для 6-го дня это будет 225.33+469.60=694.93.Полученное значение записываем в графу 4 текущей строки.
повторяем шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.




RSI рассчитывается следующим образом:
начиная со 2-го дня до конца таблицы вычитают из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 7. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 8.
с 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 9 и 10. для этого складывают значения из графы 7 за последние n дней(включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 9(величина AU). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 8 и записывают в графу 10. (величина AD).
зная AU и AD, рассчитывают значение RSI и записывают в графу 11.










Задание №3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
Таблица 8.
Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 18.01.02, возврата – 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15 % годовых. Найти:
точные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
По формулам:
S=P+I, где I=Pni
n=t/K
K=365, t=53, I= 1000000*0.15*53/365=21780.82руб.
1.2. К=360, t=53, I=1000000*0.15*53/360=22083.33руб
1.3. K=360, t=55, I= 1000000*0.15*55/360=22916.67руб.
Через Тдн после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Используем формулы:
EMBED Equation.3 , i-ставка простых процентов, n – период
D=S – P
P=1000000/(1+0.15*180/360)=930232.56руб.
D=1000000 – 930232.56=69767.44руб.
Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.
Решение:
Используем формулы:
D=Snd, откуда P=S – D=S – Snd=S(1 - nd)
D=Snd=1000000*0.15*180/360=75000 руб.
P=1000 000 – 75 000=925 000 руб.
В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
По формуле: S=P(1+i)n = 1000 000 *(1+0.15)4=1749006.3руб.
Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
S=1000 000*(1+0.15/2)8=1783477.83руб.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
Решение:
iэ=(1+j/m)m – 1 = (1+0.15/2)2 – 1=0,155 т.е. 15.5%
Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Решение:
j=m[(1+iэ)1/m – 1] = 2[(1+0.15)1/2 – 1]=0,14т.е. 14%
Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Решение:
EMBED Equation.3
Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Решение:
P=S(1 – dсл)n=1000000*(1 – 0.15)4=522006.25 руб.
D=S – P=1000000 – 522006.25=477993.75.
В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
S=1000000*[(1+0.15/2)(4*2) – 1]/[(1+0.15/2)2 – 1]=5034395.67руб.