Всероссийский заочный финансово – экономический институт



Контрольная работа
По дисциплине
«Финансовая математика»

Вариант №2.







Липецк 2009г.

Задание 1.

В данном варианте приведены поквартальные данные о кредитах от
коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания
а1 =0,3; а2 =0,6; а3=0,3.
2) Оценить точность построения модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построения модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Таблица 1.

Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, % K и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице.
3.1. Банк выдал ссуду, размером 1200000рублей. Дата выдачи ссуды – 11.02.2007., возврата – 01.04.2007.. День выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 13% годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит
1200000 рублей. Кредит выдан под 13 годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 1200000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 13% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
3.4. В кредитном договоре на сумму 1200000 рублей и сроком на 4года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 13% годовых. Определить наращенную сумму.
3.5. Ссуда размером 1200000 рублей предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка - 13% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 13% годовых.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 13 годовых.
3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1200000 рублей. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 13% годовых.
3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1200000 рублей. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 13% годовых. Определить дисконт.
3.10. В течении 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1200000 рублей, на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 13% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.











Решение:
Задание 1.
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд – сезонный временной ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта – Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
Yp(t+k) = (a(t) + k * b(t)) * F(t+k-L), (1)
где k – период упреждения;
Yp(t) – расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
a(t), b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
a(t) = a1 * Y(t)/F(t – L) + (1 – a1) * (a(t - 1)+b(t - 1)); (2)
b(t) = a3 * (a(t) – a(t – 1)) + (1 – a3) * b(t – 1); (3)
F(t) = a2 * Y(t)/A(t) + (1 – a2) * F(t – L). (4)
Параметры сглаживания a1,a2 и a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).
Из формул 1-4 видно, что для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1-1=0). Значения a(0) и b(о) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в таблице 1.
Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:
Yp(t) = a(0) + b(0) * t. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам 6-9:
b(0) = ?(Y(t) – Ycp) * (t – tcp)/?(t – tcp); (6)
a(0) = Ycp – b(0) * tcp; (7)
Ycp = 1/N * ?Y(t); (8)
Tcp = 1/N * ?N.
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения a(0) = 34,15; b(0) = 0,69.
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Yp(t) = 34,15 + 0,69 * t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 2). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1-4.
Таблица 2.
Сопоставление фактических данных Y(t) и расчетных
по линейной модели значений Yp(t)

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/ Yp(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/ Yp(5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F(-3)=( Y(1)/ Yp(1)+ Y(5)/ Yp(5))/2=(28/34,84+31/37,62)/2=0,81.
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2)=( Y(2)/ Yp(2)+ Y(6)/ Yp(6))/2=1,03;
F(-1)=( Y(3)/ Yp(3)+ Y(7)/ Yp(7))/2=1,22;
F(0)=( Y(4)/ Yp(4)+ Y(8)/ Yp(8))/2=0,76.

Оценив значения a(0), b(о), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1-4.
Путем перебора значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Из уравнения 1., полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=(a(0)+1*b(0))*F(0+1-4)=a(0)+1*b(0))*F(-3)=
(34,15+1*0,69)* 0,81=26,375.
Из уравнений 2-4, полагая, что t=1, находим:

a(1)=a1*Y(1)/F(-3)+(1–a1)*(a(0)+b(0))=0,3*28/0,81+(1-0,3)*
(34,15+1*0,69)=33,009;
b(1)=a3*(a(1)–a(0))+(1–a3)*b(0)=0,3+(33,009-34,15)+0,7*0,69=1,098;
F(1)=a2*Y(1)/а(1)+(1–a2)*F(-3)=0,6*28/33,009+0,4*0,81=0,834.
Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2:
Yp(2)=(a(1)+1*b(1))*F(-2)=(33,009+1,098)*1,03=35,078;
a(2)=a1*Y(2)/F(-2)+(1–a1)*(a(1)+b(1))=0,3*36/1,03+0,7*(33,009+1,098)
=34,376;
b(2)=a3*(a(2)–a(1))+(1–a3)*b(1)=0,3*(34,376-33,009)+0,7*1,098=1,179;
F(2)=a2*Y(2)/а(2)+(1–a2)*F(-2)=0,6*36/34,376+0,4*1,03;
для t=3:
Yp(3)=(a(2)+1*b(2))*F(-1)=(34,346+1,179)*1,22=43,428;
a(3)=a1*Y(3)/F(-1)+(1–a1)*(a(2)+b(2))=0,3*43/1,22+0,7*(34,376+1,179)
=35,45;
b(3)=a3*(a(3)–a(2))+(1–a3)*b(2)=0,3*(35,45-34,376)+0,7*1,179=1,148;
F(3)=a2*Y(3)/а(3)+(1–a2)*F(-1)=0,6*43/35,45+0,4*1,22=1,216;
для t=4:
Yp(4)=(a(3)+1*b(3))*F(0)=(35,45+1,148)*0,76=27,701;
a(4)=a1*Y(4)/F(0)+(1–a1)*(a(3)+b(3))=0,3*28/0,76+0,7*(35,45+1,148)
=36,716;
b(4)=a3*(a(4)–a(3))+(1–a3)*b(3)=0,3*(36,716-35,45)+0,7*1,148=1,183;
F(4)=a2*Y(4)/а(4)+(1–a2)*F(0)=0,6*28/36,716+0,4*0,76=0,76;
для t=5:
Yp(5)=(a(4)+1*b(4))*F(1)=(36,716+1,183)*0,834=31,626.
Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t–L), уточненные в предыдущем году (L=4):
a(5)=a1*Y(5)/F(1)+(1–a1)*(a(4)+b(4))=0,3*31/0,834+0,7*(36,716+1,183)
=37,674;
b(5)=a3*(a(5)–a(4))+(1–a3)*b(4)=0,3*(37,674-36,716)+0,7*1,183=1,116;
F(5)=a2*Y(5)/а(5)+(1–a2)*F(1)=0,6*31/37,674+0,4*0,834=0,827.
Продолжая аналогично для t=6,7,8,…,16, строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 3). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение t равно 16.
.


Таблица 3
Модель Хольта-Уинтерса
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.
Таблица 4.
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}), поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%*{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 3) составляет 23,494, что дает среднюю величину 23,494/16=1,468%.
Следовательно, условие точности выполнено.
Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу,
Ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек равно p=10.
Рассчитаем значение q:
q=int(2*(N-2)/3-2v(16N-29)/90).
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N=16.
q=int(2*(16-2)/3-2v(16*16-29)/90)= int(18/3-2v227/90)= int(9,33-3,18)= int(6,16)=6.
Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=10, q=6,значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
по d-критерию Дарбина-Уотсона;
по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
1) d=?(E(t)-E(t-1))2/?E(t)2=2.53
Полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае уточняем величину d, вычитая полученное значение из 4, уточненное значение d=1,47.
Уточненное значение d сравнивают с табличными значениями d1 и d2.
Для нашего случая d1=1,10, а d2=1,37.
Если 0< d< d1, то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.
Если d1< d< d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d2< d< 2, то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случае это условие выполнено, так как 1,37<1,47<2, следовательно, уровни ряда E(t) независимы.
2) r(1)=?(E(t)*E(t-1))/?E(t)2=-0,283.
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения ¦r(1)¦< rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб=0,32. Имеем: ¦r(1)¦=-0,283< rтаб=0,32 – значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax-Emin)/S,
где Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (гр. 2 табл. 4).
S – среднее квадратическое отклонение.
Emax=2,09, Emin=-0,98, Emax- Emin=2,09-(-0,98)=3,07;
S=v(?E(t)2/N-1)=0,756;
RS=3,07/0,756=4,061.
Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и
5%-го уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.
Так как 3,00<4,061<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.
Расчет прогнозных значений
экономического показателя
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16) (см. табл.3), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=(a(16)+1*b(16))*F(16+1-4)=(a(16)+1*b(16))*F(13)=
=41,763.
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
Yp(18)=Yp(16+2)=(a(16)+2*b(16))*F(16+2-4)=(a(16)+2*b(16))*F(14)
=51,221;
Yp(19)=Yp(16+3)=(a(16)+3*b(16))*F(16+3-4)=(a(16)+3*b(16))*F(15)
=60,234;
Yp(20)=Yp(16+4)=(a(16)+4*b(16))*F(16+4-4)=(a(16)+4*b(16))*F(16)
=36,908.
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены кредита на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных




Задание 2.
Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА). При расчете ЕМА учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако, последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:
EMAt=k*Ct+(1-k)*EMAt-1, (2.1)
где k=2/(n+1);
Ct – цена закрытия t-го дня;
EMAt – значение ЕМА текущего дня t.
Расчет 10-дневной ЕМА.

Вначале заполняем графу 2 имеющимися данными по цене закрытия. Результаты расчета 10-дневной ЕМА приведены в графе 3. Приведем алгоритм расчета.
Выбрать интервал сглаживания n (в нашем случае n=10).
Вычислить коэффициент K (K=2/(n+1)=2/6=0,33).
Вычислить МА (простая скользящая средняя) для первых 10 дней.
Для этого сложить цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделить на 5 и записать в графу 3 за 6-й день.
4. Перейти на одну строку вниз по графе 3. Умножить на K данные по конечной цене, которую берем из графы 2 текущей строки (для 6-го дня это будет 881*0,33=290,73).
5. Данные по ЕМА за предыдущий день взять из предыдущей строки графы 3 и умножить на (1- K). (Для 6-го дня это будет 901,6*0,67=604,072).
6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах (для
6-го дня это будет 290,73+604,072=894,733). Полученное значение ЕМА записать в графу 3 текущей строки.
7. Повторить 4, 5 и 6 до конца таблицы.
Момент (МОМ). Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n.
MOMt=Ct-Ct-n, (2.2)
где Ct – цена закрытия t-го дня;
MOMt – значение МОМ текущего дня t.
Скорость изменения цен. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.
ROCt=(Ct/Ct-n)*100%, (2.3)
где Ct – цена закрытия t-го дня;
ROCt – значение ROCt текущего дня t.
Индекс относительной силы (RSI).
Для расчета RSI применяют формулу:
RSI=100-(100/(1+AU/AD)), (2.4)
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 4.
Расчет MOM, ROC и RSI.

Рассчитывается RSI следующим образом.
Выбирают интервал n (в нашем примере n=5).
Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняют следующую
процедуру. Вычитают из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записывают в графу 5. Иначе абсолютное значение разности записывают в графу 6.
3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняют графы 7 и 8. Для этого складывают значения из графы 5 за последние n дней (включая текущий) и полученную сумму записывают в графу 7 (величина AU в (2.4)). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы 6 и записывают в графу 8 (величина AD в (2.4)).
4. Зная AU и AD, по формуле (2.4) рассчитывают значения RSI и записывают в графу 9.
Стохастические линии.
%Kt=100*(Ct-L5)/(H5-L5), (2.5)
где %Kt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия текущего дня t;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
%Rt=100*(H5-Ct)/(H5-L5), (2.6)
где %Rt – значение индекса текущего дня t;
Ct – цена закрытия текущего дня t;
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, включая текущий.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %K, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct-L5) и (H5-L5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
%Dt=?(Ct-L5)/?(H5-L5)*100, (2.7)
смысл входящих в формулу величин был пояснен ранее.

Таблица 5.
Пример и порядок расчета индексов стохастических линий
В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).
Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записывают максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
В графе 7 записывают (Ct-L5) – разность между данными графы 4 и 6.
Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H5-Ct).
Размах цен за 5 дней (H5-L5) – разность между данными графы 5 и графы 6 записывают в графе 9.
Рассчитанные по формуле (2.5) значения %K заносят в графу 10.
В графу 11 заносят значения %R, рассчитанные по формуле (2.6).
Шаги 2-7 повторяют для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складывают значения (Ct-L5) из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записывают в графе 12. Аналогично значения размаха (H5-L5) из графы 9 складывают за 3 предшествующих дня и заносят в графу 13.
По формуле (2.7), используя данные граф 12 и 13, рассчитывают %D и записывают в графе 14.
Шаги 9 и 10 повторяют для 8-й, 9-й строк и т.д. до конца таблицы.
Медленное %D находят как скользящую среднюю от %D (данные берут из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записывают в графе 15.