ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по предмету "Эконометрика" Выполнил: специальность: Бухгалтерский учет, анализ и аудит группа № № МОСКВА 2004ВАРИАНТ № 28 I Таблица 1. Исходные данные. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y 32 34 38 40 42 46 50 52 53
На основании данных, приведенных в табл. 1. Требуется: 1) построить линейную модель Y(t) = ao + a1t, параметры которой оценить МНК; 2) оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических значений следует использовать уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7; 3) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку; 4) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности Р= 70% используйте коэффициент = 1,12); 5) отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования. РЕШЕНИЕ ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ. 1.1. Оценка параметров модели с помощью надстройки EXCEL Анализ данных. Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия: Выберите команду Сервис ( Анализ данных. В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия (рис. 2.8), а затем щелкните на кнопке ОК. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адрес диапазона, который содержат значения независимой переменной t (рис. 2.9). Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке. Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга. В поле График подбора поставьте флажок. В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК. Рис. 2.8. Выбран инструмент анализа Регрессия
Рис. 2.9. Ввод исходных данных для Регрессии
Результат регрессионного анализа содержится в нижеприведенных таблицах. ВЫВОД ИТОГОВ
t a1 2,8 0,11547 24,24871 5,16E-08 2,526957 3,073043
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение Предсказанное Y Остатки
1 31,8 0,2
2 34,6 -0,6
3 37,4 0,6
4 40,2 -0,2
5 43 -1
6 45,8 0,2
7 48,6 1,4
8 51,4 0,6
9 54,2 -1,2
Во втором столбце табл. 2.5 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии. Уравнение регрессии зависимости Yt, от tt (время) имеет вид: Y(t) =29+2,8t При вычислении «вручную» по формуле получаем те же результаты:
Таблица 2.7
t Y t-tcp (t-tcp)2 y-ycp (t-tcp)( y-ycp)
1 32 -4 16 -11,00 44,00
2 34 -3 9 -9,00 27,00
3 38 -2 4 -5,00 10,00
4 40 -1 1 -3,00 3,00
5 42 0 0 -1,00 0,00
6 46 1 1 3,00 3,00
7 50 2 4 7,00 14,00
8 52 3 9 9,00 27,00
9 53 4 16 10,00 40,00
Сумма 45 387 0,00 60,00 344,00 168,00
Среднее 5 43
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ. Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина–Уотсона по формуле):
Так как попало в интервал от d2 до 2 (рис. 2.10), значит модель уровня ряда остатков независима, автокорреляции нет, свойство независимости выполняется. Модель по этому критерию адекватна. Рис. 2.10. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек (формула (2.6)).
Формула 2.6 Количество поворотных точек равно 4 (рис. 2.11). Неравенство выполняется (4>2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Рис. 2.11. График остатков Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия: Наблюдение Предсказанное Y Остатки E(t) E(t)-E(t-1) (E(t)-(E(t-1))^2 E(t)^2
1 31,8 0,2
0,04
2 34,6 -0,6 -0,8 0,64 0,36
3 37,4 0,6 1,2 1,44 0,36
4 40,2 -0,2 -0,8 0,64 0,04
5 43 -1 -0,8 0,64 1
6 45,8 0,2 1,2 1,44 0,04
7 48,6 1,4 1,2 1,44 1,96
8 51,4 0,6 -0,8 0,64 0,36
9 54,2 -1,2 -1,8 3,24 1,44
СУММА
10,12 5,56
– максимальный уровень ряда остатков, = 1,4; – минимальный уровень ряда остатков, = – 1,2; – среднеквадратичное отклонение,
RS=(1,4–(-1,2)( / 0,83= 3,11. Расчетное значение попадает в интервал (2,7–3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. В табл. 2.8 собраны данные анализа ряда остатков. Таблица 2.8. Анализ ряда остатков Проверяемое свойство Используемые статистики Граница Вывод
наименование значение нижняя верхняя
Независимость d-критерий Дарбина–Уотсона d=1,82 1,36 2 адекватна
ПОСТРОИТЬ ТОЧЕЧНЫЙ И ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ПРОГНОЗЫ НА ДВА ШАГА ВПЕРЕД (для вероятности 70% использовать t = 1,12): Y10= a0 + a1t =29 + 2,8t = 29 + 2,8 x 10 = 57; Y11= a0 + a1t =29 + 2,8t = 29 + 2,8 x 11 = 59.8; Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости ? = 0,3, следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при = n –2 =7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (3.10): , где =0,8944, = 1,12, , (находим из табл. 2.7),
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл. 2.9): Таблица 2.9.
Прогноз Формула Верхняя граница Нижняя граница
10 U(1)=1,237 57 Прогноз + U1 58,237 55,763
11 U(2)=1,309 59,8 Прогноз – U1 61,109 58,491
ОТОБРАЗИТЬ НА ГРАФИКЕ ФАКТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ, РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ.
II 1 – построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t); 2 – построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = ao + a1 X(t); 3 – оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность; 4 – для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и бета-коэффициент; 5 - построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70% используйте коэффициент = 1,12) (прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня). Таблица 2. Исходные данные. ФАКТОРЫ
Y X1 X2
32 90 55
34 87 57
38 85 54
40 86 59
42 82 57
46 80 60
50 81 63
52 78 66
53 76 64
РЕШЕНИЕ ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. Результат показан на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Исходные данные введены в Excel 1. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ (ФАКТОРОВ). АНАЛИЗ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ. ВЫБОР НАИБОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННОГО ФАКТОРА Х T.. Для того чтобы выбрать фактор наиболее тесно связанный с зависимой переменной, оценим величину влияния факторов при помощи коэффици
