ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО
Всероссийский Заочный Финансово- Экономический Институт
Факультет: Финансово-Кредитный
Кафедра: экономико-математических методов и моделей
Контрольная работа
По предмету: Эконометрика
Вариант 9
Серпухов 2007
Задача 1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн руб) от объема капитальных вложений (Х, млн руб).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (а =0,05).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения с помощью F- критерия Фишера (а = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости а = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
Воспользуемся инструментом Регрессия в EXCEL.
Получим следующие данные:
Табл 1
Табл 3
Уравнение линейной регрессии имеет вид: у =а +b*х
Параметры линейного уравнения возьмем из табл 3 (столбец коэффициенты):
а =5,00309
b = 1,389186
Получим уравнение:
У =5,00309+1,389186*Х
Коэффициент регрессии, исходя из данных табл 2 равен 1 и больше 0, следовательно переменные х и у положительно коррелированны. И показывает, что на изменение параметра х на 1 параметр у тоже изменится на 1.
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием учтенных факторов.
Коэффициент множественной корреляции R исходя из данных табл 2:
EMBED Equation.3 0,994519
Он показывает тесноту связи зависимой переменной Y от факторной переменной Х:
Вариация результата у (объема выпуска продукции) на 99,73% объясняется вариацией фактора х (объемом капиталовложений).
табл 4
Рис 1
Остаточная сумма квадратов равна 11,47384
Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента.
EMBED Equation.3 = 3,891806
EMBED Equation.3 = 35,64048
Табличное значение t-критерия при 5%-ном уровне значимости составляет 2,262157. Так как t расчетное >tтабличного, то коэффициенты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 существенны (значимы).
Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.
EMBED Equation.3
Табличное значение F-критерия составляет 5,59.
Поскольку Fрасчетное > Fтабличного уравнение регрессии следует признать адекватным.
Стандартная ошибка 1,285545 (исходя из данных табл 3).
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,28 %.
Прогноз.
У =5,00309+1,389186*Х
Х максимальное = 44, прогнозное значение фактора Х составит 80 % от Х мах.
Прогнозное значение Х составит 44*0,8 = 35,2
Прогнозное значение У = 5,00309 + 1,289186* 35,2 = 50,38
Ширина доверительного интервала рассчитывается по формулам:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Коэффициент Стьюдента для m = n – 2 = 9 уровень значимости 0,1 равен 2,08.
Таблица прогнозов (р =90%)
Гиперболическая модель
Уравнение гиперболической функции имеет вид: y = a + b/x
Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х
Тогда уравнение примет вид: y = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим следующее уравнение гиперболический модели:
У=83,465 – 951,273/х
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Индекс детерминации:
EMBED Equation.3 = 0,9678*0,9678=0,9366
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 93,66% объясняется вариацией фактора Х (объема капитальных вложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
EMBED Equation.3 118,18
F табл = 5,59
EMBED Equation.3 F > F табл для для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n - m = 7
Уравнение регрессии в вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3 1. 0,82%
В среднем расчетные значения у для гиперболической модели отличается от фактической на 0,82%
Гиперболическая модель
Степенная модель
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение будет иметь вид:
Y = 0,3760677 + 0,8785201*X
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:
EMBED Equation.3
Получим уравнение степенной модели регрессии:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 2,377211 * EMBED Equation.3
Степенная модель
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Связь между показателем у и фактором х сильная.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 0,936
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 93,6% объясняется вариацией фактора Х (объема капитальных вложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
EMBED Equation.3
F табл = 5,59
EMBED Equation.3 F > F табл для для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n - m = 7
Уравнение регрессии в вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
1/10*0,00426*100 =0 ,0426
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,26%
Показательная модель
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
А=1,65583 + 0,01358*30,6 =1,24025
Уравнение будет иметь вид:
Y =1,24025 – 0,01358*х
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =0,76
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 76% объясняется вариацией фактора Х (объема капитальных вложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
EMBED Equation.3 25,33
F табл = 5,59
EMBED Equation.3 F > F табл для для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n - m = 7
Уравнение регрессии в вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к.
Средняя относительная ошибка:
EMBED Equation.3
1
2,4%
В среднем расчетные значения у для степенной модели отличается от фактической на 2,4%
Показательная модель
Построим сводную таблицу:
Все модели за исключением показательной имеют примерно одинаковые характеристики, но наибольшее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2а и 2б
Даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Задача 2а
EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Модель имеет три эндогенные ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) и четыре экзогенные ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) переменные. Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Необходимое условие – выполнение счетного правила:
Д +1 = Н – уравнение идентифицируемо;
Д + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо;
Д + 1 >Н – уравнение сверхидентифицируемо,
Где Н число эндогенных переменных в уравнении, Д – число, предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующем уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
1 уравнение:
Н: эндогенных переменных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 1 ( EMBED Equation.3 ).
2 = 1 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ), построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = EMBED Equation.3 *0 – (-1)* EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, дополнительное условие идентификации выполнено.
Следовательно, первое уравнение идентифицируемо.
2 уравнение:
Н: эндогенных переменных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 1 ( EMBED Equation.3 ).
2 = 1 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ), построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = - EMBED Equation.3 - 0* EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, дополнительное условие идентификации выполнено.
Следовательно, второе уравнение идентифицируемо.
3 уравнение:
Н: эндогенных переменных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 1 ( EMBED Equation.3 ).
2 = 1 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ), построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = - EMBED Equation.3 - 0*0 EMBED Equation.3 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, выполняется условие идентификации выполнено.
Следовательно, третье уравнение идентифицируемо
Исследуемая система точно идентифицируема.
Задача 2б
EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
1 уравнение :
Н: эндогенных переменных 3 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
3 = 2 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ), построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, выполняется условие идентификации выполнено.
Следовательно, первое уравнение идентифицируемо.
2 уравнение:
Н: эндогенных переменных 3 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
3 = 2 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = EMBED Equation.3 *0- EMBED Equation.3 *0 = 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, дополнительное условие идентификации не выполнено.
Следовательно, второе уравнение не идентифицируемо.
3 уравнение:
Н: эндогенных переменных 3 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ),
Отсутствующих экзогенных 2 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
3 = 2 + 1 , следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы.
А = EMBED Equation.3 *0- EMBED Equation.3 *0 = 0,
Ранг матрицы = 2, следовательно, выполняется условие идентификации не выполнено.
Следовательно, третье уравнение не идентифицируемо.
Исследуемая система не идентифицируема.
Задача 2в
По данным таблицы, используя метод наименьших квадратов. Построить структурную форму модели вида:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
Табл 1
Решение
Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ,
Где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d модно применить МНК.
Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у = у – у ср, х = х – х ср. Преобразованные таким образом данные табл 1 сведены в табл 2. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d.
Табл 2
Для нахождения коэффициентов d первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Подставляя рассчитанные в табл 2 значения сумм, получим:
97,5 = EMBED Equation.3 *37,5 + EMBED Equation.3 *29,49,
430,471 = EMBED Equation.3 *29,49 + EMBED Equation.3 *202,8668.
Решение этих уравнений дает значения EMBED Equation.3 = 4,16 и EMBED Equation.3 = - 1,9685.
Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:
EMBED Equation.3 = 4,16 EMBED Equation.3 - 1,9685 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Для нахождения коэффициентов d второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
Подставляя рассчитанные в табл 2 значения сумм, получим:
63,65 = EMBED Equation.3 *37,5 + EMBED Equation.3 *29,49,
325,972 = EMBED Equation.3 *29,49 + EMBED Equation.3 *202,8668.
Решение этих уравнений дает значения EMBED Equation.3 = 0,489 и EMBED Equation.3 = 1,536.
Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:
EMBED Equation.3 = 0,489 EMBED Equation.3 + 1,536 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем EMBED Equation.3 из второго уравнения приведенной модели:
EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 -0,489 EMBED Equation.3 )/1,536.
Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
EMBED Equation.3 = 4,16 EMBED Equation.3 - 1,9685( EMBED Equation.3 -0,489 EMBED Equation.3 )/1,536 = 4,786 EMBED Equation.3 - 1,28 EMBED Equation.3 .
Получим: EMBED Equation.3 = -1,28; EMBED Equation.3 = 4,786.
Найдем EMBED Equation.3 из первого уравнения приведенной формы модели:
EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 + 1,9665 EMBED Equation.3 )/4,16.
Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
EMBED Equation.3 = 0,489( EMBED Equation.3 + 1,9665 EMBED Equation.3 )/4,16 + 1,536 EMBED Equation.3 = 0,115 EMBED Equation.3 + 1,763 EMBED Equation.3 .
Получим: EMBED Equation.3 = 0,115, EMBED Equation.3 = 1,763
Сводные члены структурной формы находим из уравнений:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ср - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ср - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ср = 26,05 – (- 1,28)*23,15 – 4,786*6,5 = 26,05 + 29,632 – 31,109 = 24,573
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ср - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ср - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ср = 23,15 – 0,115*26,05 -1,763 *8,17 = 23,15 – 2,996 – 14,404 = 5,75
Окончательный вид структурной модели:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = 24,573 – 1,28 EMBED Equation.3 + 4,786 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = 5,75 + 0,115 EMBED Equation.3 +1,763 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
