Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение
Введем следующие переменные:
Х1 – сумма инвестиций в акции А;
Х2 – сумма инвестиций в акции В.
Необходимо максимизировать целевую функцию – чистую прибыль от инвестиций в акции:
EMBED Equation.3
Введем ограничения:
1)По общей сумме инвестиций
Х1 + Х2 ? 300;
2)По распределению суммы инвестиций между А и В
Х2 – 0,5Х1 ? 0;
3)По сумме инвестиций в В
Х2 ? 100;
4)Х1,2 ? 0.
1. Построим ОДР задачи.
Неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
Х1 + Х2 = 300;
Х2 – 0,5Х1 = 0;
Х2 = 100.
ОДР задачи представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ.
2. Построим вектор-градиент, соединив его вершину (80,100) с началом координат.
3. Построим перпендикуляр к вектор - градиенту через т.О.
4. При максимизации функции линия уровня (перпендикуляр) перемещается в направлении вектор – градиента. Предельной является т.А – точка пересечения 3 прямых, т.о. нужно решить систему уравнений:
Х1+Х2 = 300;
Х2 – 0,5Х1 = 0;
Х2 = 100.
Решение:
Х1=200, Х2 = 100.
EMBED Equation.3 (тыс. ден. ед.)
При минимизации целевой функции линия уровня (перпендикуляр) перемещается в направлении, противоположном вектор – градиенту. Предельной является т.О (0,0). Т.е. оптимальный план Х1=0, Х2 = 0, целевая функция f(x) = 0.
Ответ:
Прибыль будет максимальной и составит 26 тыс. ден. ед., если вложить в акции концерна А 200 тыс. ден. ед. и в акции предприятия В 100 тыс. ден. ед. При решении задачи на минимум – решений не будет.
Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Решение
Х1- объем выпуска изделий первого вида,
Х2- объем выпуска изделий второго вида,
Х3- объем выпуска изделий третьего вида,
Х4- объем выпуска изделий четвертого вида.
Целевая функция имеет вид:
EMBED Equation.3
Ограничения по запасам сырья, исходя из норм расхода:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для решения задачи создадим и заполним форму в Excel, заполним изменяемые ячейки, используя «Мастер функций». В данном случае формулами заполняются ячейки F4(значение целевой функции), F7, F8, F9 (значения ограничений), см. рис 1.
Рис.1
Оптимальный план найдем, используя надстройку Excel «Поиск решения» (рис. 2), где устанавливаются целевая ячейка, ограничения, а также параметры поиска решения (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
После нажатия кнопки «Выполнить» получено решение и заполнены все требуемые ячейки (рис. 4)
Рис.4
Отчет по результатам решения задачи, полученный в Excel.
Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции 326 ден. ед. можно получить при выпуске 18 ед. изделий 1 вида и 11 ед. изделия 2 вида. При этом неиспользуемой останется только 1 ед. сырья 2 типа. Таким образом, оптимальный план: (18,0,0,11).
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения по запасам сырья. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:
EMBED Equation.3 двойственная оценка сырья 1 типа
EMBED Equation.3 двойственная оценка сырья 2 типа
EMBED Equation.3 двойственная оценка сырья 3 типа
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:
EMBED Equation.3
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.
Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности. Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности:
EMBED Equation.3 тогда
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оптимальный план:
EMBED Equation.3
Подставим оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 в полученные выражения
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
И получим
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , так как 29 < 30, то EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
В задаче EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , поэтому первое и четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в равенства
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решая систему уравнений, получим y1 =7, y2 = 0, y3 = 5.
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Это означает, что оптимальный план (7,0,5) двойственной задачи определен верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.5).
Рис.5
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Видно, что затраты на 2 и 3 изделия превышают цену. Аналогичный результат виден и в отчете по устойчивости (рис. 5): значения нормированной стоимости по 2 и 3 изделию отрицательны. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
Запасы сырья первого и третьего типа использованы полностью, по второму типу недоиспользована 1 единица сырья.
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и 2 типов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшения на 3 единицы сырья 3 типа;
При составлении системы уравнений, по теореме о дополняющей нежесткости, используем ограничения, которым в двойственной задаче соответствуют оценки > 0. В данном случае 1 и 3 ограничения имеют вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Считая, что изменения запасов происходят в пределах устойчивости двойственных оценок, и учитывая, что в оптимальном плане EMBED Equation.3 , получим систему:
EMBED Equation.3
Решение:
EMBED Equation.3
Новый оптимальный план EMBED Equation.3
Прибыль с новым планом: EMBED Equation.3
Проверим результат, используя теорему об оценках. Известно, что изменение величины EMBED Equation.3 приводит к увеличению или уменьшению целевой функции EMBED Equation.3 . Оно определяется:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - теневые цены.
В данном случае:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Из расчетов видно, что при таком изменении запасов ресурсов выручка возрастет на 13 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 339 единиц. Изменение общей стоимости продукции получено за счет увеличения плана выпуска продукции вида А на 4 ед. и уменьшения плана выпуска продукции вида Г на 3,5 ед.
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого типа сырья.
Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся свойством двойственной оценки.
EMBED Equation.3 ,
подставим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
т.к. 24 > 10, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.
Задача 3
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Решение
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Для решения данной задачи будет выбрана среда табличного процессора Excel. Для нахождения обратной матрицы EMBED Equation.3 , воспользуемся встроенной функцией Excel (математические, обратная матрица МОБР) (рис. 6).
Рис. 6
Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу EMBED Equation.3 ), надо матрицу EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 умножить на Конечный продукт (матрицу EMBED Equation.3 ). Воспользуемся опять встроенными функциями Excel (математические, умножение матриц МУМНОЖ) (рис. 7).
Рис. 7
Матрица EMBED Equation.3 (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор EMBED Equation.3 .
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Распределение продукции предприятий холдинга можно найти путем умножения коэффициентов прямых затрат на общий выпуск: EMBED Equation.3 . Используя функции Excel умножения ячеек, автоматически получим матрицу распределения (рис. 8).
Распределение продукции предприятий холдинга
Рис. 8
Чтобы построить баланс производства, заполним в среде Excel таблицу, где используем формулы для суммирования строк и столбцов (рис. 9). Из таблицы видно, что суммы по строкам и столбцам равны, т.е. баланс составлен верно.
Рис. 9
Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
Решение
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристические числа ( EMBED Equation.3 ) (таблица 1).
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение EMBED Equation.3 уровня ряда считается аномальным. В данном случае,
n = 9; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Таблица 1.
Все полученные значения критерия сравнили с табличными значениями, EMBED Equation.3 не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
Построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Воспользуемся надстройкой Excel «Анализ данных», где выберем тип «Регрессия» (рис. 10). Установим параметры для входных и выходных данных (рис. 11).
Рис.10
Рис.11
SHAPE \* MERGEFORMAT Результат регрессионного анализа выведен в таблице 2. Во втором столбце содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t–статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Таблица 2.
Уравнение для линейной модели (уравнение регрессии) имеет вид EMBED Equation.3
Остатки по полученной линейной модели представлены в таблице 3 как разности между предсказанными и имеющимися значениями Y. Также эта разница отображена на графике имеющегося и полученного временных рядов, см. «График подбора», рис. 12.
Таблица 3.
Рис.12
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
EMBED Equation.3
Промежуточные вычисления произведены в Excel и занесены в табл.4.
Таблица 4.
Используя эти данные, получим:
EMBED Equation.3 ,
Из таблицы при уровне значимости 5% имеем d1 = 1,08, d2 = 1,36.
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал [d1, d2], т.е. имеет место неопределенность, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. В этом случае используем другой критерий, например, первый коэффициент автокорреляции:
EMBED Equation.3
Из таблицы 4 имеем
EMBED Equation.3
Сопоставив полученное значение с табличным для 5%-ного уровня значимости, получим, что значение коэффициента автокорреляции меньше табличного. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята.
Проверку случайности уровней ряда остатков с помощью критерия, основанного на поворотных точках. Критерий:
EMBED Equation.3 ,
где p – фактическое число поворотных точке с случайном ряду. Из графика остатков (рис. 13) видно, что это число равно 4.
Рис. 13
Неравенство выполняется (4 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи R/S – критерия:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, из таб.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение, рассчитываем по формуле, используя Excel и данные табл.4, получим
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7;3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае среднее арифметическое значение уровней ряда остатков настолько мало, что можно считать EMBED Equation.3 , поэтому t-статистика
EMBED Equation.3 , т.е. попадает в доверительный интервал. Следовательно, гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 5 собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 5
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Расчет относительной ошибки аппроксимации произведен в Excel и занесен в табл.6.
Таблица 6.
Используя эти данные, получим:
EMBED Equation.3
В данном случае величина ошибки примерно 6%, т.е. не превосходит 15%, поэтому точность модели считается приемлемой.
5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
Прогнозируемые значения находятся по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости EMBED Equation.3 , следовательно, доверительная вероятность равна 70%, число степеней свободы EMBED Equation.3 . Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР, используя данные параметры (рис. 13).
Рис. 13
Получено значение критерий Стьюдента EMBED Equation.3 .
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3
Используя данные из таблицы 1 имеем:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Получим:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза по формулам:
EMBED Equation.3
Т.о. EMBED Equation.3
Сводные результаты прогноза отображены в таблице 7.
Таблица 7.
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Используя данные в отчете Excel «Анализ данных» и добавив результаты прогнозирования, преобразуем график подбора (рис. 12) и получим новое графическое представление (рис. 14).
