Орел
2008
Задание 1.
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первый столбец соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания EMBED Equation.3 = 0,3; EMBED Equation.3 = 0,6; EMBED Equation.3 = 0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения EMBED Equation.3 = 1,10 и EMBED Equation.3 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении EMBED Equation.3 = 0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1) Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса:
а) Оценка начальных параметров модели – EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 :
Для этого применим МНК к первой половине уровней ряда.
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
Для удобства расчетов построим таблицу.
Таблица 1.1
б) Оценка начального массива сезонных коэффициентов:
Для четырех кварталов первого года (t = 1) необходимы четыре начальных значения сезонных коэффициентов. Для их расчета используем формулу:
EMBED Equation.3
Получаем:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
в) Корректировка параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 от уровня к уровню:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Для удобства расчетов построим таблицу.
Таблица 1.2
Для t = 1:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Для t = 2:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Для t = 3:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Для t = 4:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Для t = 5:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
и т.д.
Таблицу расчетных значений показателя и ошибок, полученную в результате обработки данных в ППП Олимп см. в Приложение 1.
Таким образом, на последнем шаге получаем адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса вида: EMBED Equation.3
2) Оценим точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации:
Для удобства расчетов построим таблицу.
Таблица 2.1
EMBED Equation.3 , следовательно, уровень точности модели является достаточным. Фактические данные отличаются от расчетных, в среднем, на 3,73%.
3) Оценим адекватность построенной модели:
а) Свойство случайности уровней в ряде остатков:
Для проверки данного свойства используют критерий поворотных точек. Общее число поворотных точек равно p = 9 (см. Таблицу 2.1). Свойство случайности выполняется если количество поворотных точек р удовлетворяет неравенству р > [ EMBED Equation.3 ].
9 > [ EMBED Equation.3 ]
9 > [6,2]
p = 9 > 6, следовательно, свойство случайности уровней в ряде остатков выполняется.
б) Свойство независимости уровней в ряде остатков или отсутствия автокорреляции:
Данное свойство проверим двумя методами:
I) по d-критерию Дарбина-Уотсона;
II) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
I) EMBED Equation.3
При EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 :
d EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
| | | | | |
0 0,76 1,10 1,37 2 4
Так как d попало в промежуток (0; EMBED Equation.3 ), то свойство независимости уровней в ряде остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.
II) EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 , то свойство независимости уровней в ряде остатков не выполняется, остатки автокоррелируют.
в) Свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения:
Для проверки данного свойства применяют RS-критерий.
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (3; 4,21), следовательно, свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения не выполняется.
г) Свойство равенства нулю математического ожидания:
Так как EMBED Equation.3 (см. Таблицу 2.1), следовательно, свойство равенства нулю математического ожидания не выполняется.
Вывод: так как не все свойства выполнены, то построенная модель является не адекватной.
4) Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год:
Прогноз выполняется по формуле: EMBED Equation.3 . Для прогноза используем модель полученную на последнем шаге расчетов, то есть EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:
Для построения графика используем ППП Олимп (см. Приложение 2).
Задание 2.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, EMBED Equation.3 – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
2.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды – EMBED Equation.3 , возврата – EMBED Equation.3 . День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
2.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
2.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
2.2. Через EMBED Equation.3 дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
2.3. Через EMBED Equation.3 дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
2.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на EMBED Equation.3 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
2.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на EMBED Equation.3 . Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются т раз в году. Вычислить наращенную сумму.
2.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты т раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
2.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов т раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
2.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
2.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
2.10. В течение Тлеm лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
2.1. Дано: Решение:
Р = 4000000 руб. Используем формулу для расчета процентов (процентных
денег): EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 10.01.02 Так как продолжительность ссуды менее года EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 20.03.02 Получаем: EMBED Equation.3 .
i = 45% = 0,45 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - ? EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3
2.2. Дано: Решение:
S = 4000000 руб. Используем формулу математического дисконтирования
EMBED Equation.3 90 по простым процентным ставкам: EMBED Equation.3 .
i = 45% = 0,45 Так как продолжительность ссуды менее года EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - ? Получаем: EMBED Equation.3 . а) Для k = 360: EMBED Equation.3
б) Для k = 365: EMBED Equation.3
Для расчета дисконта используем формулу: EMBED Equation.3 .
а) EMBED Equation.3 = 4000000-3593890,39 = 406109,61 руб.
б) EMBED Equation.3 = 4000000-3600360,04 = 399639,96 руб.
Ответ: EMBED Equation.3
2.3. Дано: Решение:
S = 4000000 руб. Используем формулу банковского учета по простым
EMBED Equation.3 90 процентным ставкам: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 360 Так как продолжительность ссуды менее года EMBED Equation.3 .
d = 45% = 0,45 Получаем: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 - ? EMBED Equation.3
Для расчета дисконта используем формулу: EMBED Equation.3 .
D = 4000000 – 3548000 = 452000 руб.
Ответ: EMBED Equation.3
2.4. Дано: Решение:
P = 4000000 руб. Используем формулу наращения по сложным процентам: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 5 EMBED Equation.3
i = 45% = 0,45
S - ?
Ответ: EMBED Equation.3
2.5. Дано: Решение:
Используем формулу начисления процентов по номи-
P = 400000 руб нальной процентной ставке: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 5 EMBED Equation.3
j = 45% = 0,45
m = 4
S - ?
