1. Практическая задача 1
1.1. Условие и исходные данные
Вариант выданного задания – 4.
Условие задачи: По предприятиям легкой промышленности региона получена характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).
Таблица 1.1-Исходные данные
Требуется:
1 для характеристики Y от Х построить следующие модели:
- линейную;
- степенную;
- показательную;
- гиперболическую.
2. оценить каждую модель, определив:
- индекс корреляции,
- среднюю относительную ошибку,
- коэффициент детерминации,
- F-критерий Фишера.
3. составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно максимального уровня.
5. результаты расчетов отобразить на графике
1.2. Решение задачи
Проводим корреляционный анализ.
Таблица 1.2- Линейная модель парной регрессии.


1.2.1 Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
EMBED Equation.3 .
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y прямая, достаточно сильная.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.2.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
EMBED Equation.3 .
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 1270 тыс. руб. Это свидетельствует о эффективности производства .
1.2.2 Рассчитаем коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 95,8% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
1.2.3 Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.3 .
F табличное для EMBED Equation.3 = 0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5 равно 6,61 =>F>Fтабл.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл
1.2.4 Определим среднюю относительную ошибку:
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения EMBED Equation.3 для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,04%.
1.3 Построение степенной модели парной регрессии.
Уравнение степенной имеет вид:
EMBED Equation.3
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
EMBED Equation.3

Таблица 1.3- Степенная модель парной регрессии.


Обозначим Y= EMBED Equation.3 , Х= EMBED Equation.3 , А= EMBED Equation.3 .
1.3.1 Тогда уравнение имеет вид: EMBED Equation.3 - линейное уравнение регрессии.
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
1.3.2 Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
EMBED Equation.3
1.3.3 Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3
Связь между показателями y и фактором х можно считать достаточно сильной.
1.3.4 Рассчитаем индекс детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 95,8% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
1.3.5 Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.3
F табличное для EMBED Equation.3 = 0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5 равно 6,61 =>F>Fтабл.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл
1.3.6 Определим среднюю относительную ошибку:
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения EMBED Equation.3 для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,0491%.
1.4 Построение показательной функции.
Уравнение степенной имеет вид:
EMBED Equation.3
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
EMBED Equation.3
Обозначим Y= EMBED Equation.3 , B= EMBED Equation.3 , А= EMBED Equation.3 .
Тогда уравнение имеет вид: EMBED Equation.3 - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4

Таблица 1.4- Показательная модель парной регрессии.


EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение будет иметь вид:
EMBED Equation.3
Перейдем к исходным уравнениям, проведя потенцирование данного уравнения:
EMBED Equation.3
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3 .
Связь между показателями y и фактором х можно считать достаточно сильной.
Рассчитаем индекс детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 94,7% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.3
F табличное для EMBED Equation.3 = 0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5 равно 6,61 =>F>Fтабл.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл
Определим среднюю относительную ошибку:
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения EMBED Equation.3 для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,4%.
1.5 Построение гиперболической функции.
Уравнение гиперболической функции:
EMBED Equation.3
Произведем линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим линейное уравнение EMBED Equation.3 .
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 1.5.
Таблица 1.5- Гиперболическая функция


EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение будет иметь вид:
EMBED Equation.3
Определим индекс корреляции:
EMBED Equation.3
Связь между показателями y и фактором х можно считать достаточно сильной.
Рассчитаем индекс детерминации:
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,01% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.3
F табличное для EMBED Equation.3 = 0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5 равно 6,61 =>F>Fтабл.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл
Определим среднюю относительную ошибку:
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения EMBED Equation.3 для линейной модели отличаются от фактических значений на 2,238%.
1.6 Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (таблица 1.6):
Таблица 1.6-Сводная таблица
Большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Следовательно, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Рассчитаем прогнозное значение результативного признака.
Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую величину капиталовложений.
Прогнозное значение увеличится на 10 % относительно максимального =>74+74*0,1=81,4
EMBED Equation.3

Рисунок 1.1-График результатов расчета
2. Практическая часть работы
Вариант-9
2.1. По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (Х1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3).
Требуется:
осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
рассчитать параметры модели.
для характеристики модели определить
- линейный коэффициент множественной корреляции.
- коэффициент детерминации
- средние коэффициенты эластичности
- бета-, дельта- коэффициенты.
Дать их интерпретацию.
осуществить оценку надежности уровня регрессии.
оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
отразить результаты расчетов на графике
Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов.
Таблица 2.1-Исходные данные
2.2 Построение системы показателей (факторов). Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
Таблица 2.2- Статистические данные по всем переменным (n=10,m=3):

Используя инструмент корреляция (анализ данных в Excel). Получим следующие результаты:
Таблица 2.3-Результат корреляционного анализа
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Х1 имеет тесную связь с Х3, отбрасываем Х2. При помощи инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel), получим результаты регрессионного анализа.
Таблица 2.4-Регрессионный анализ

Сравним полученные значения критерия с табличным.Табличное значение критерия Стьюдента при 5% уровне значимости и числу степеней свободы равному 7 составляет 2,4496.Ни одно из расчетных значений t- критерия Стьюдента на превышает табличного значения, а следовательно, являются не значимыми. Попробуем отбросить аномальное наблюдение и проведем еще раз регрессионный анализ. В нашем случае 5 наблюдение.
Таблица 2.5- Повторное исследование.

Так как имеется аномальное значение -14,8417 отбросив его, проведем повторный регрессионный анализ.
Таблица 2.6- Повторное исследование.

Табличное значение t критерия Стьюдента при уровне значимости 5% и 5 степенях свободы составляет 2,57. tрасч>tтабл => коэффициент Х1 значим. Т.о. при данных значениях 2 фактора удовлетворяют условиям задачи-модель адекватна.Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от величины внутрибанковских расходов можно записать в следующем виде: y=24,849+0,7747*x1+0,50563*x3
2.3 Оценка качества модели.
В таблице 2.7 приведены вычисленные по модели значенияY и значения остаточной компоненты.

Рисунок 2.1-График остатков
Таблица 2.7-Расчет для оценки d- критерия Дарбина - Уотсона
Оценку независимости проведем с помощью d- критерия Дарбина - Уотсона
EMBED Equation.3
В качестве критических табличных уровней при N=8, двух объясняющих факторов при уровне значимости в 5% возьмем величины d1=0.842 d2=1.53.
d’ = 4-2,47=1,53.
Т.к. d’ лежит в интервале от d2 до 2 (d2<d;<2), что свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
EMBED Equation.3
Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 94,2% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
EMBED Equation.3
F табличное для EMBED Equation.3 = 0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=5 равно 5,32 =>F>Fтабл.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл .
2.4 Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную по модели.
Учитывая коэффициент регрессии не возможно использовать для непосредственной оценки влияния фактора на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:
EMBED Equation.3
Э1=0,775*77,5/112,25=0,536,
Э1=0,506*48,25/112,25=0,35.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Таблица 2.8-Оценка с помощью t-критерия Стьюдента

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменяется зависимая переменная при изменении фактора на 1%.
Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения меняется среднее значение переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значениях независимых переменных.
2.5 Определить точечный и интервальный прогнозы многофакторной модели.
Таблица 2.9-Полученные исходные данные

Рисунок 2.2-Пргноз показателей ставки по депозитам

Рисунок 2.3-Пргноз показателей рамера внутрибанковских расходов
Для получения прогнозных оценок зависимой переменной по модели:
Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста Ux
Y=24.85+0.77*X1+0.51*X3,
Y=24.85+0.77*97.785+0.51*63.5=132.5,
Y=24.85+0.77*102.404+0.51*67.5=138.1.
Для получения прогнозных оценок зависимой переменной воспользуемся следующей формулой:
EMBED Equation.3
; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - стандартная ошибка - эта характеристика приведена в таблице протокола ЕХСЕL и равна 4.462;
EMBED Equation.3
С помощью матриц рассчитываем недостающие значения


Рисунок 2.3-Расчет матриц
EMBED Equation.3
t? -является табличным значением критерия Стьюдента для уровня значимости ? и для числа степеней свободы, равного N-2. В нашем примере t0,5 = 2,57;
Таблица 2.10-Прогноз (р=95%)