Постановка задачи
При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий корпорации получены выборочные данные о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуске продукции за год по 32-м предприятиям, выпускающим однотипную продукцию (выборка 10%-ная. механическая).
В статистическом исследовании эти предприятия выступают как единицы выборочной совокупности. Генеральную совокупность образуют все предприятия корпорации. Анализируемые признаки предприятий Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции - изучаемые признаки единиц совокупности.
Для автоматизации статистических расчетов используются средства электронных таблиц процессора Ехсе1.
Выборочные данные представлены на Листе 1 Рабочего файла в табл.1 (ячейки В4:С35):
Исходные данные
В процессе исследования совокупности необходимо решить ряд задач. I. Статистический анализ выборочной совокупности
1. Выявить наличие среди исходных данных резко выделяющихся значений признаков (аномалий в данных) и исключить их из выборки.
2. Рассчитать обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам: среднюю арифметическую (x),моду (Мо), медиану (Ме),
размах вариации (R), дисперсию(?n²), средние отклонения линейное (d) и
квадратическое (?n) коэффициент вариации (V?), структурный коэффициент асимметрии К.Пирсона (Аsп).
3. На основе рассчитанных показателей в предположении, что распределения единиц по обоим признакам близки к нормальному, оценить:
а) степень колеблемости значений признаков в совокупности;
б) степень однородности совокупности по изучаемым признакам;
в) устойчивость индивидуальных значений признаков;
г) количество попаданий индивидуальных значений признаков в диапазоны (х ± ?), (л: ± 2?), (X ± З?)..
4. Сравнить распределения единиц совокупности по двум изучаемым признакам на основе анализа:
а) колеблемости признаков; б)однородности единиц;
в) надежности (типичности) средних значений признаков;
г) симметричности распределений в центральной части ряда.
5. Построить интервальный вариационный ряд и гистограмму распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и установить характер (тип) этого распределения.
I. Статистический анализ генеральной совокупности
1. Рассчитать генеральную дисперсию ?N², генеральное среднее квадратическое отклонение ?N и ожидаемый размах вариации признаков RN. Сопоставить значения генеральной и выборочной дисперсий.
2. Для изучаемых признаков рассчитать:
а) среднюю ошибку выборки;
б) предельные ошибки выборки для уровней надежности Р=0,683, Р=0,954, Р=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака в генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.
3. Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Еk. На основе полученных оценок охарактеризовать особенности формы распределения единиц генеральной совокупности по каждому из изучаемых признаков.
III. Экономическая интерпретация результатов статистического исследования предприятий
В этой части исследования необходимо ответить на ряд вопросов.
1. Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?
2. Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции?
3. Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятий выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?
4. Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?
5. Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?
6. Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях каждого показателя можно ожидать?
2. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы
I. Статистический анализ выборочной совокупности
Задача 1. Вывод:
Задача 2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах - табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц формируется единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.
Таблица 8
Описательные статистики выборочной совокупности
Задача 3.
За). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V? в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:
0% < V? ? 40% . - колеблемость незначительная;
Вывод:
3б). Степень однородности совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V?. Если V? ?33%, то по данному признаку расхождения между значениями признака невелико. Если при этом единицы наблюдения относятся к одному определенному типу, то изучаемая совокупность однородна.
Вывод:
Зв). Сопоставление средних отклонений – квадратического ? и линейного d - позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.
В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями ?, и d имеют место равенства ? ? 1,25d, d?0,8?, поэтому отношение показателей d и ? от может служить индикатором устойчивости данных.
Если d / ? > 0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы диапазона (х ± 2?), приведенного в табл. 9) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.
Вывод:
3 г). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков xi в тот или иной диапазон отклонения от средней x, а также для выявления структуры рассеяния значений xi, по 3-м диапазонам формируется табл. 9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).
Таблица 9
Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака
относительно x
На основе данных табл. 9 структура рассеяния значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:
68,3% значений располагаются в диапазоне (х ± ?),
95,4% значений располагаются в диапазоне (x ± 2?),
99,7% значений располагаются в диапазоне (x ± 3?).
Если полученная в табл. 9 структура рассеяния xi по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «трех сигм», можно предположить, что распределение единиц совокупности по данному признаку близко к нормальному.
Расхождение с правилом «трех сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений xi попадают в центральный диапазон (х ± ?) или значительно более 5% значения xi выходит за диапазон (x ± 2?). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.
Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов процентное соотношение рассеяния:
60% значений располагаются в диапазоне (х ± ?),
90% значений располагаются в диапазоне (x ± 2?),
100% значений располагаются в диапазоне (x ±3?).
Для признака Выпуск продукции процентное соотношение рассеяния:
70% значений располагаются в диапазоне (х ± ?),
96,67% значений располагаются в диапазоне (x ± 2?),
100% значений располагаются в диапазоне (x ±3?).
Вывод:
Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) - 4г) необходимо воспользоваться табл. 8 и сравнить величины показателей для двух признаков.
4а)-в). Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V? признаков.
Вывод:
4г). Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.
В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц (68,3 %) располагается в центральной части ряда, в диапазоне (х ± ?). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона Аsп.
При правосторонней асимметрии Аsп>0, при левосторонней - Аsп<0. Если Аsп=0, вариационный ряд симметричен.
Вывод:
Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл. 7, а его гистограмма и кумулята - на рис.2.
Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируются количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон (x ± 2?).
1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.
Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.
2. Для дальнейшего анализа формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения (х, Мо, Ме), вариации (?n), асимметрии в центральной части распределения (АSп). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.
Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняются соотношения:
x=Мо=Ме, АSп = 0.
Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределения с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.
3. Для анализа длины «хвостов» распределения используется правило «трех сигм». Согласно этому правилу в нормальном и близким к нему распределениях крайние значения признака (близкие к хmiп и хтах) встречаются
много реже (5-7 % всех случаев), чем лежащие в диапазоне (х±2?). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона (х±2?) можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.
Вывод:
II. Статистический анализ генеральной совокупности
Задача 1. Рассчитанные в табл.3 генеральные показатели представлены в табл.10.
Таблица 10
Описательные статистики генеральной совокупности
Для нормального распределения справедливо равенство
RN = 6?N
В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.
Ожидаемый размах вариации признаков RN:
- для первого признака RN =4926
- для второго признака RN =3950,82
Соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями:
- для первого признака ?²N / ?²n = 674054,29/651585,82=1,03 , т.е. расхождение между дисперсиями незначительное.
-для второго признака ?²N / ?²n =433586,37/419133,49=1,03 , т.е. расхождение между дисперсиями незначительное.
Задача 2. Применение выборочного метода наблюдения связано с измерением степени достоверности статистических характеристик генеральной совокупности, полученных по результатам выборочного наблюдения. Достоверность генеральных параметров зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности.
Как правило, статистические характеристики выборочной и генеральной совокупностей не совпадают, а отклоняются на некоторую величину я, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности). Ошибка выборки - это разность между значением показателя, который был получен по выборке, и генеральным значением этого показателя. Например, разность
? x = |x (выбороч. среднее) – x (генеральная средняя)|
определяет ошибку репрезентативности для средней величины признака.
Так как ошибки выборки всегда случайны, вычисляют среднюю и предельную ошибки выборки.
1. Для среднего значения признака средняя ошибка выборки ?x (ее называют также стандартной ошибкой) выражает среднее квадратическое отклонение ? выборочной средней х от математического ожидания М[x] генеральной средней x.
Для изучаемых признаков средние ошибки выборки ?x даны в табл. 3:
- для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов
?x =149,89.
- для признака Выпуск продукции
?x =120,22.
2. Предельная ошибка выборки ?x определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя х. Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней х - случайную область значений, которая с вероятностью Р, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.
Для уровней надежности Р=0,954; Р=0,683, Р=0,997 оценки предельных ошибок выборки ?x даны в табл. 3, табл. 4а и табл. 46.
Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:
x = x ±?x,
x-?x ? x ? x + ?x
Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11 .
Таблица 11
Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних
Вывод:
Задача 3. Рассчитанные в табл.3 значения коэффициентов асимметрии Аs и эксцесса Еk даны в табл.10.
1. Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.
Если асимметрия правосторонняя (As>0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство x>Ме>Мо, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака (среднее значение x больше серединного Ме и модального Мо).
Если асимметрия левосторонняя (Аs<0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство x<Ме<Мо, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака (среднее значение x меньше серединного Ме и модального Мо).
Чем больше величина |Аs|, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:
|Аs| ? 0,25 - асимметрия незначительная;
0,25<|Аs| ? 0,5 - асимметрия заметная (умеренная);
|Аs|>0,5 - асимметрия существенная.
Вывод:
2. Показатель эксцесса Еk характеризует крутизну кривой распределения -ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.
Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.
Если Еk>0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.
Если Еk<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а рассеяны по всему диапазону от хmiп до хтах
Для нормального распределения Еk=0. Чем больше абсолютная величина |Ek|,(тем существеннее распределение отличается от нормального.
При незначительном отклонении Еk от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.
Вывод:
III. Экономическая интерпретация
статистического исследования предприятий
Типичны ли образующие выборку предприятия по значениям изучаемых экономических показателей?
Каковы наиболее характерные для предприятий значения показателей среднегодовой стоимости основных производственных фондов, выпуска продукции ?
Ответ на вопрос следует из анализа данных табл.9, где приведен диапазон значений признака (х±?), содержащий наиболее характерные для предприятий значения показателей.
3. Насколько сильны различия в экономических характеристиках предприятии выборочной совокупности? Можно ли утверждать, что выборка сформирована из предприятий с достаточно близкими значениями по каждому из показателей?
Ответы на вопросы следуют из значения коэффициента вариации (табл.8), характеризующего степень однородности совокупности (см. вывод к задаче 3б). Максимальное расхождение в значениях показателей определяется размахом вариации Rn (табл.8).
4. Какова структура предприятий выборочной совокупности по среднегодовой стоимости основных производственных фондов? Каков удельный вес предприятий с наибольшими, наименьшими и типичными значениями данного показатели? Какие именно это предприятия?
Структура предприятий представлена в табл.7 Рабочего файла.
5. Носит ли распределение предприятий по группам закономерный характер и какие предприятия (с более высокой или более низкой стоимостью основных фондов) преобладают в совокупности?
Ответ на вопрос следует из вывода к задаче 5 и значения коэффициента асимметрии (табл.8).
6. Каковы ожидаемые средние величины среднегодовой стоимости основных фондов и выпуска продукции на предприятиях корпорации в целом? Какое максимальное расхождение в значениях каждого показателя можно ожидать?
Ответ на первый вопрос следует из данных табл.11. Максимальное расхождение в значениях показателя определяется величиной размаха вариации RN
ПРИЛОЖЕНИЕ
Результативные таблицы и графики
ДИАГРАММА
