Сумма двух чисел равна 28. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение квадрата одного из них было наибольшим?
Пусть первое число х, тогда второе число 28 – х. Искомое произведение обозначим у. Получаем уравнение:
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 будет при:
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
т. к. EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 , получаем уравнение:
EMBED Equation.3 , значит
EMBED Equation.3 - первое число.
Второе число:
EMBED Equation.3 .
Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения касательных к параболе EMBED Equation.3 в точках с ординатой EMBED Equation.3 . Сделать чертеж.
Найдем уравнения касательных:
Найти EMBED Equation.3 от EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = 2, тогда
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найти EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Найти EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = 2 EMBED Equation.3 2 – 1 = 3
Найти EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 = 2 EMBED Equation.3 (-1) – 1 = -3
Подставить значения в формулу касательной EMBED Equation.3 :
Для EMBED Equation.3 :
у – 2 = 3(х - 2)
у = 3х – 6 + 2
у = 3х – 4 – уравнение первой касательной.
1.5.2. Для EMBED Equation.3 :
у – 2 = -3(х + 1)
у = -3х – 3 + 2
у = -3х – 1 – уравнение второй касательной.
2. Найти уравнение искомой прямой:
2.1. Найдем точку пересечения двух касательных:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2.2. По уравнению построения прямой по двум точкам найдем уравнение искомой прямой:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (0;0)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - искомая прямая
Построить график:
Исследовать функцию EMBED Equation.3 и схематично построить ее график.
D(f): x EMBED Equation.3 2,5.
При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Функция общего вида.
Асимптоты.
Вертикальная асимптота:
х = 2,5 (т. к. функция в этой точке имеет бесконечный разрыв).
4.2. Невертикальная асимптота:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
у = 0 – невертикальная асимптота.
5. Найти EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = 0 не существует при EMBED Equation.3 , т. е. при EMBED Equation.3 (точка разрыва);
при EMBED Equation.3 < -2,5 EMBED Equation.3 <0;
при EMBED Equation.3 > -2,5 EMBED Equation.3 >0.
В точке EMBED Equation.3 имеем минимум функции.
при EMBED Equation.3 < х < -2,5 – функция убывает;
при -2,5< х < 2,5 – функция возрастает;
при 2,5 < х < EMBED Equation.3 – функция убывает.
Найти EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
В точке EMBED Equation.3 перегиб, т. к. при EMBED Equation.3 .
при х < -5 EMBED Equation.3 < 0 - выпуклость вверх;
при х > -5 EMBED Equation.3 > 0 - выпуклость вниз.
Построить график:
у -5 -2,5
х -1 -1,125