Контрольная работа №1
Вариант №5
Задание №1
Найти матрицу АВ+3Е и ВА+3Е, где
, ,
Е – единичная матрица соответствующего порядка.
Решение:
Найти матрицу АВ+3Е
Найдем размер матрицы произведения:
А * В = С
2*3 3*2 2*2
Вычисляем элементы матрицы произведения А*В:


Вычислим 3Е:

Находим матрицу АВ+3Е:

Ответ:
Найти матрицу ВА+3Е:
Найдем размер матрицы произведения:
В * А = С
3*2 2*3 3*3

Вычислим матрицу 3Е:

Найдем матрицу В*А+3Е

Ответ: .
Задание №2
Найти предел:

Решение:
Имеем неопределенность вида применим правило Лопиталя

Ответ: =2ln2.
Задание №3
Найти произвольную функции:

Решение:
Находим производную по формуле сложной функции
+
Находим производные


по сколько и - производные от постоянной величины равны нулю.
+
Упростим полученное выражение и заменим по определению логарифмов.
=
Ответ:
Задание №4
Из квадратного листа жести, длина стороны которого 54 см, вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают открытую коробку. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?
Решение:
Возьмем за x длину стороны вырезанного квадрата, за а длину стороны квадратного листа жести. Получается, что x – высота коробки, а дно коробки имеет квадрат со стороной a-2x тогда объем коробки формула имеет область определения 0<x<






















































































Найдем производную

Находим критические точки функции в которых они имеют максимальное значение т.е. =0,

Находим значение корней и



Корень находится вне определения функции тогда принимаем .
При ?=54см =9см.
Ответ: Длина стороны вырезаемого квадрата равна 9см.
Задание №5
Составить уравнения касательных к гиперболе , которые перпендикулярны прямой x+y-4=0. Сделать чертеж.
Решение:
Преобразуем формулу прямой x+y-4=0 к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом y=kx+b
y=-x+4.
Следовательно, угловой коэффициент прямой y=-x+4 равен .
Угловые коэффициенты прямых касательных к гиперболе, представленной формулой , будут выражаться производной :
;
т.е. .
Из условия перпендикулярности прямых , .
Подставляем в формулу касательных находим





т.е. имеем две касательные прямые.
Находим уравнения касательных к гиперболе по формуле

для


для


Ответ: Разрешив задачу получим две касательных уравнения которых и .
Рассматриваемая гипербола есть дробно-линейная функция вида .
В данной задаче гипербола дана формулой из этого следует : b=-1; c=1; d=3.
m определится формулой

При m<0 ветви гиперболы расположены во 2 и 4 квадрантах.
В новой системе координат центр определится по формулам и подставляя данные , с=1, d=3 получим ; ; .
Координаты вершины гиперболы определяются формулам
при m=4
.
Так как ветви гиперболы находятся во 2 и 4 квадрантах, то координата вершины ветви гиперболы во 2 квадранте имеет координаты в новой системе координат , . Для вершины ветви в 4 квадранте , .
Для выполнения чертежа имеем уравнения прямых
y=-x+4


Координаты центра новой системы координат , координаты вершин ветвей гиперболы в новой системе координат ; .
Задание №6
Исследовать функцию и схематично построить ее график.
Решение:
1) Область определения функции:
Область определения функции – вся числовая ось -?<x<+? при x=0 и y=0.
2) Функция нечетная, так как





3) Вертикальных асимптот функция не имеет, так как
и не имеет разрыва в точке х=0 потому что y(0)=0.
4) Поведение функции в бесконечности:
Находим
аналогично делая преобразования получим . Анализируя полученные результаты заключаем, что справа от х=0 в бесконечность предел y(x) стремится к (-0), слева от х=0 предел y(x) стремится к (+0). Иными словами ось абцисс является горизонтальной асимптотой.
5) Экстремум функции определяется по первой производной по формуле ;
приравниваем то есть . Получаем две точки экстремума в точках и .
На основании пункта 4 решения задачи заключаем:
Справа от точек - функция y(x) монотонно убывает стремясь к (-0).
Слева от точек функция y(x) монотонно убывает стремясь к (+0) точнее в интервале функция убывает в интервале функция убывает .
6) Характер выпуклости определяем по второй производной:
.
Вычисляем в критических точках и
функция выпуклая вниз,
функция выпуклая вверх.
7) В интервале (1;-1) функция меняет свое значение от – к + и пересекает ось абцисс в точке х=0 ибо значение функции в этой точке y(0)=0. В точке х=1 значение функции y(1)=.
В точке х=-1 значение функции y(-1)=.
На основании изложенного строим график:

Контрольная работа №2
Задание №1
Найти неопределенные интегралы:
1)
2)
Решение:
Для нахождения интеграла применяем метод замены переменной.
Получим тогда найденные значения подставляем в интеграл
возвращаемся к х
Ответ: .
Задание №2
Найти неопределенные интегралы:

Решение:
Для нахождения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.
Получим u=(2-x) dv= находим du=-dx
.
По формуле интегрирования по частям получаем Ответ: искомый интеграл равен .
Задание №3
Вычислить определенные интегралы:

Решение:
Для вычисления интеграла y= применим замену переменной.
Примем и dx=2t*dt. Если х=4, то t=2, если х=9, то t=3.
После замены переменной получаем




Ответ: =
Задание №4
В