Лабораторная работа № 3. ПОКАЗАТЕЛИ МОМЕНТОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Цель работы: практическим образом научиться различать моменты распределения между собой, выделять основную закономерность кривой распределения.
Задание. Определить моменты распределения первого, второго, третьего и четвертого порядков, начальные, центральные и условные; установить взаимосвязь между моментами; проверить формулу дисперсии; построить кривую эмпирического распределения, сглаженную кривую; охарактеризовать кривую теоретического распределения, вычислить коэффициент асимметрии, среднюю квадратическую ошибку, показатель эксцесса, среднюю квадратическую ошибку эксцесса, проанализировать можно ли предлагаемое распределение отнести к типу нормального распределения и выяснить его характерные особенности.
Условие. В качестве условий используются сгруппированный вариационный ряд лабораторной работы №1.
Выполнение задания.
1. Моменты распределения различаются по степеням отклонений значений признака наперед заданной характерной величины. Средняя арифметическая этих отклонений называется, в общем случае, моментом распределения.
EMBED Equation.3 , (24)
где А – величина, от которой определяется отклонение, ? - степень отклонения или порядок момента.
Начальные моменты EMBED Equation.3 вычисляются по формуле (24) при А= 0
EMBED Equation.3 . (25)
Центральные моменты EMBED Equation.3 вычисляются по формуле (24) при А= EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (26)
Условные моменты EMBED Equation.3 вычисляются по формуле (24) при А EMBED Equation.3 0 , А EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (27)
Начальные моменты, вычисленные по формуле (25) представлены на рис. 13.
Рис. 13
Зная среднее значение интервального вариационного ряда (таб. 4) EMBED Equation.3 вычисляются центральные моменты порядков 1, 2, 3 и 4 по формуле (26) рис. 14.
Рис. 14
Выбирая в качестве числа А = 1,8 (А EMBED Equation.3 0 , А EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ), можно вычислить условные моменты EMBED Equation.3 по формуле (24) рис. 15.
Рис. 15
2. Взаимосвязь между моментами распределений.
Замечание 1: Начальный момент первого порядка является средней арифметической.
Замечание 2: Центральный момент первого порядка всегда равен нулю
EMBED Equation.3 . (28)
Замечание 3: Центральный момент второго порядка является дисперсией.
Замечание 4: Центральный момент третьего порядка всегда равен нулю в симметричном распределении. Для несимметричных распределений его используют как показатель асимметрии.
Замечание 5: Центральный момент четвертого порядка участвует в вычислениях показателя эксцесса.
Замечание 4: Начальные и условные моменты второго, третьего и четвертого порядков реального смысла не имеют и используются для упрощения расчетов приведенных выше моментов.
Проверим следующие верные соотношения:
EMBED Equation.3 , (29)
EMBED Equation.3 , (30)
EMBED Equation.3 , (31)
EMBED Equation.3 , (32)
EMBED Equation.3 , (33)
Табл. 6
3. Величина дисперсии, вычисленная по формуле (31) EMBED Equation.3 , совпадает со значением, полученным по формуле (12) лабораторной работы № 2.
4. Кривой эмпирического распределения является кривая плотности распределения. По оси ординат графика функции этой кривой откладывают частости Wi , по оси абсцисс средне значения вариант представленного сгруппированного вариационного ряда.
5. Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, которое получается при полном погашении всех случайных причин, искажающих основную закономерность. Исследование закономерности (формы) распределения включает решение трех задач:
а). выяснение общего характера распределения;
б). выравнивание эмпирического распределения или кривой y = f(x) , построение достаточно близкого теоретического распределения, если это возможно;
г). проверка соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.
На практике в статистических исследованиях встречаются различные распределения. Однородные совокупности характеризуются одновершинными распределениями. Неоднородные совокупности имеют несколько вершин. При появление двух и более вершин необходимо перегруппировать данные с целью выделения более однородных групп. Для выяснения общего характера эмпирического распределения следует оценить степень однородности, вычислить показатели асимметрии, эксцесса, средних квадратических ошибок асимметрии и эксцесса.
Относительный показатель асимметрии
EMBED Equation.3 . (34)
Наиболее точным является показатель асимметрии, рассчитываемый по формуле
EMBED Equation.3 . (35)
EMBED Equation.3 = 0. (34?)
EMBED Equation.3 . (35?)
Показатель асимметрии, вычисленный по формуле (34), свидетельствует о симметричном распределении интервального вариационного ряда, по более точной формуле (35). В правосторонней асимметрии дискретного ряда – знак величины EMBED Equation.3 положительный (рис. 16, б). У левосторонней асимметрии знак величины EMBED Equation.3 отрицательный и левая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем правая (рис. 16, а).
EMBED Excel.Chart.8 \s EMBED Excel.Chart.8 \s
Показатель асимметрии позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности рис. 1. Оценка этого показателя осуществляется с помощью средней квадратической ошибки
EMBED Equation.3 . (36)
Если отношение EMBED Equation.3 > 3, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не будет симметричным. Если отношение EMBED Equation.3 < 3, асимметрия несущественна.
Вычисляя среднюю квадратическую ошибку, получим EMBED Equation.3= EMBED Equation.3 = 0,624 < 3. Следовательно, асимметрия вариационного ряда, представленного на рис. 1 и кривой плотности распределения рис. 5 несущественна, и распределение признака генеральной совокупности можно считать практически симметричным. Кривые симметричных распределений обладают показателями эксцесса – острой или плоской вершиной. Наиболее приемлемой формулой для вычисления эксцесса является
EMBED Equation.3 . (37)
Эксцесс - это выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз относительно кривой нормального распределения. Для нормального распределения отношение EMBED Equation.3=3.
В нашем примере EMBED Equation.3 = ?0,0295 < 0, это соответствует плосковершинному распределению. Вершина кривой распределения расположена ниже кривой нормального распределения рис. 17. Если EMBED Equation.3 > 0, то вершина острая и находится выше кривой нормального распределения.
Средяя квадратическая ошибка эксцесса вычисляется следующим образом:
EMBED Equation.3 . (38)
Подставим вместо N его значение, получим EMBED Equation.3 = 0,8412 .
На рис. 17 построена кривая нормального распределения по известным параметрам EMBED Equation.3 , ? и плотности распределения
EMBED Equation.3 . (39)
Кривая нормального распределения 2 рис. 17 обладает некоторыми особенностями:
А). Симметрична относительно максимальной ординаты EMBED Equation.3 ;
Б). Максимальная ордината соответствует максимальному значению кривой, величина которого - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 и равна EMBED Equation.3 (для представленного примера 1,424 EMBED Equation.3 1,362);
EMBED Excel.Chart.8 \s EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Рис. 17.
В). Для ординат EMBED Equation.3 из промежутка EMBED Equation.3 кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс;
Г). Кривая нормального распределения в точках EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 имеет точки перегиба;
Д). В промежутке EMBED Equation.3 содержится 68,3% всех значений признака, в промежутке EMBED Equation.3 содержится 95,4% всех значений признака, в промежутке EMBED Equation.3 содержится 99,7% всех значений признака.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 18
6. Предлагаемое распределение имеет несущественную асимметрию, плосковершинное, его можно отнести к типу нормального распределения, если функцию эмпирического распределения увеличить в 3,878 раз. Графическое представление этой функции представлено на рис. 19 кривой 2.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 19
Выводы. Выводы содержатся в каждом пункте выполненного задания.
Варианты заданий. Варианты указаны римскими цифрами в лабораторной работе №1.
