ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Филиал в г. Брянске
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Брянск — 2008
ЗАДАЧА 1
Оптимальное формирование поездов
1. Постановка экономической задачи (исходные данные варианта)
Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01 и 9,45 т молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-час. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 час. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-час, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 час. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.
Требуется определить объемы выпуска молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль. К чему приведет задание по выпуску кефира в объёме не менее 10 т?
2. Экономико-математическая модель задачи
Данная задача является целочисленной задачей линейного программирования. Сформулируем целевую функцию задачи. Обозначим через х1 количество производимого молока, а через х2 — кефира, через х3 — сметаны, производимых городским молочным заводом. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01 и 9,45 т молока.
Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб.
Суммарная выручка от реализации 1 т молока, кефира и сметаны –
30 х1 + 22 х2 + 136 х3 руб., является целевой функцией задачи, которую необходимо максимизировать. Окончательно целевая функция имеет вид:
EMBED Equation.3 .
Сформируем систему ограничений на изменение значений переменных х1, х2 и х3. Имеются четыре ограничения по объему выпуска молочной продукции:
На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01 и 9,45 т молока. При этом всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Следовательно, ограничение по количеству выпускаемой продукции будет иметь вид: EMBED Equation.3 .
Затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-час. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-час. Таким образом, ограничение по времени эксплуатации основного оборудования имеет вид: EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 .
При расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 час. Автоматы по расфасовке сметаны могут быть заняты в течение 16,25 час. Следовательно, ограничение по времени эксплуатации автоматов имеет вид: EMBED Equation.3 т.е. EMBED Equation.3 .
Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока. Таким образом, ограничение примет вид: EMBED Equation.3 т.е. EMBED Equation.3 .
Дополнительно на значения переменных накладываются ограничения неотрицательности и целочисленности.
Окончательно математическая модель задачи оптимизации будет иметь вид:
EMBED Equation.3
3. Компьютерная технология получения оптимального решения
Данную задачу решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL. В ячейки рабочего листа программного средства вводятся исходные данные и формулы:
В ячейках В4:D4 находятся значения переменных х1 и х2 соответственно. Первоначально в них помещаются произвольные числа, например, единицы.
В ячейки В5:D5 помещаются коэффициенты при переменных в целевой функции задачи.
В ячейку E5 вводится выражение целевой функции с использованием встроенной функции «СУММПРОИЗВ». Аргументами этой функции являются вышеуказанные массивы ячеек B4:D4 и B5:D5. Формула в ячейке E5, таким образом, имеет вид: =СУММПРОИЗВ($B$4:$D$4;B5:D5).
В ячейки В10:D14 помещаются коэффициенты при переменных в ограничениях задачи.
В ячейки E10:E14 вводятся выражения левых частей ограничений также с использованием функции «СУММПРОИЗВ». Например, в ячейке D10 формула имеет вид: =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B10:C10).
В ячейках F10:F14 для удобства и наглядности указываются знаки в ограничениях.
В ячейки G10:G14 вводятся значения правых частей ограничений.
Исходный рабочий лист EXCEL, таким образом, имеет вид:
(для копирования снимка окна в буфер обмена данных используется комбинация клавиш Alt+Print Screen).
Для решения задачи оптимизации запускается надстройка «Поиск решения» (меню «Сервис») и заполняются все необходимые поля в панели надстройки:
В панели «Параметры поиска решения» указывается, что модель задачи оптимизации является линейной, и задается условие неотрицательности переменных:
4. Решение задачи
После запуска надстройки «Поиск решения» на выполнение было получено сообщение об успешном решении задачи оптимизации:
В окне «Тип отчета» выбирается пункт «Результаты».
Рабочий лист EXCEL, содержащий результаты решения, имеет вид:
Для ответа на второй вопрос задачи, т.е. к чему приведет задание по выпуску кефира в объёме не менее 10 т, введем дополнительное ограничение по объему выпуска кефира, которое будет иметь вид: EMBED Equation.3 т.е. EMBED Equation.3 . И введем данное ограничение в компьютерную модель:
Для решения задачи оптимизации вновь запускаем надстройку «Поиск решения» (меню «Сервис») и добавляем новое ограничение в панели надстройки:
Затем выполняем поиск решения. Оно будет выглядеть следующим образом:
5. Предложения (рекомендации) лицу, ответственному за принятие решений, по оптимальному управленческому поведению
Таким образом, наибольшая выручка от реализации цельномолочной продукции (3722 руб.) обеспечивается, если производить и реализовывать 115 тонн молока и 2 тонны сметаны, кефир производить нецелесообразно.
Задание по выпуску кефира в объёме не менее 10 т, приведет к уменьшению выручки (3642 руб.) на 80 руб.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист EXCEL;
2) «Отчет по результатам».
ЗАДАЧА 2
Задача о назначениях
1. Постановка экономической задачи (исходные данные варианта)
Администрация деревоперерабатывающего предприятия «Смена» приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице:
Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это следует сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?
Предприятие «Смена» может принять на работу еще одного рабочего по совместительству, который выполняет каждую работу в течение следующего времени:
Требуется определить, каким образом данная мера повлияет на назначение рабочих и минимизацию общего времени выполнения работ.
2. Экономико-математическая модель задачи
Данная задача является задачей о назначениях. Число рабочих (5) равно количеству работ, которое они должны выполнить (5).
1.Представим исходные данные закрытой задачи в виде таблицы:
В ячейках с заливкой находятся затраты времени cij на выполнение i–м рабочим (i=1, …, 5) j–й операции (j=1, …, 5).
Обозначим через xij факт назначения i–го рабочего на выполнение j–й операции (1 — если рабочий назначен, 0 — если не назначен). Математическая модель задачи имеет вид:
Найти такие значения xij, чтобы суммарное время на выполнение всех работ было наименьшим:
EMBED Equation.3 ;
и при этом:
? каждый рабочий должен быть назначен только на одну операцию:
EMBED Equation.3 ;
? на каждую операцию должен быть назначен только один рабочий:
EMBED Equation.3 ;
? переменные задачи являются двоичными:
EMBED Equation.3 .
3. Компьютерная технология получения оптимального решения
Данную задачу решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL. В ячейки рабочего листа программного средства вводятся исходные данные и формулы:
В ячейки B5:F9 вводятся затраты времени, необходимого рабочим на выполнение операций;
В ячейках B12:F16 находятся значения переменных xij. Первоначально в них помещаются произвольные числа, например, единицы.
В ячейки G12:G16 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих строках. Например, в ячейке G15 формула имеет вид: =СУММ(B15:F15).
В ячейки B17:F17 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих столбцах. Например, в ячейке B17 формула имеет вид: =СУММ(B12:B16).
В ячейку B19 вводится выражение целевой функции задачи с использованием встроенной функции EXCEL «СУММПРОИЗВ». Аргументами этой функции являются блоки ячеек, содержащие затраты времени и значения переменных: =СУММПРОИЗВ(B5:F9;B12:F16).
Лист исходных данных, таким образом, имеет вид:
После ввода исходных данных запускается надстройка «Поиск решения» (меню «Сервис» ? «Поиск решения…») и заполняются необходимые поля в панели надстройки:
В панели «Параметры поиска решения» указывается, что модель задачи оптимизации является линейной, и задается условие неотрицательности переменных:
4. Решение задачи на ЭВМ
После запуска надстройки «Поиск решения» на выполнение было получено сообщение об успешном решении задачи оптимизации:
В окне «Тип отчета» выбираем пункт «Результаты».
Рабочий лист EXCEL, содержащий результаты решения имеет вид:
2. Для выполнения данного задания добавим в исходную таблицу еще одну строку, отражающую принятие рабочего, выполняющего работу по совместительству. Таблица примет вид:
Данную задачу решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL. В ячейки рабочего листа программного средства вводятся исходные данные и формулы:
В ячейки B5:F10 вводятся затраты времени, необходимого рабочим на выполнение операций;
В ячейках B13:F18 находятся значения переменных xij. Первоначально в них помещаются произвольные числа, например, единицы.
В ячейки G13:G18 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих строках. Например, в ячейке G15 формула имеет вид: =СУММ(B15:F15).
В ячейки B19:F19 вводятся формулы для расчета сумм значений переменных в соответствующих столбцах. Например, в ячейке B19 формула имеет вид: =СУММ(B13:B18).
В ячейку B21 вводится выражение целевой функции задачи с использованием встроенной функции EXCEL «СУММПРОИЗВ». Аргументами этой функции являются блоки ячеек, содержащие затраты времени и значения переменных: =СУММПРОИЗВ(B5:F10;B13:F18)
Лист исходных данных, таким образом, имеет вид:
После ввода исходных данных запускается надстройка «Поиск решения» (меню «Сервис» ? «Поиск решения…») и добавляются новые ограничения в панели надстройки:
В панели «Параметры поиска решения» указывается, что модель задачи оптимизации является линейной, и задается условие неотрицательности переменных:
4. Решение задачи на ЭВМ
После запуска надстройки «Поиск решения» на выполнение было получено сообщение об успешном решении задачи оптимизации:
В окне «Тип отчета» выбираем пункт «Результаты».
Рабочий лист EXCEL, содержащий результаты решения имеет вид:
5. Предложения (рекомендации) лицу, ответственному за принятие решений, по оптимальному управленческому поведению
Таким образом, чтобы суммарные затраты времени на выполнение операций были наименьшими следует назначить:
рабочего 1 на выполнение работы 4;
рабочего 2 на выполнение работы 1;
рабочего 3 на выполнение работы 2;
рабочего 4 на выполнение работы 5;
рабочего 5 на выполнение работы 3;
Суммарное время на выполнение всех операций составит 83 ч.
При условии найма дополнительного рабочего по совместительству выполнение работ следует распределить следующим образом:
рабочего 1 на выполнение работы 4;
рабочего 2 на выполнение работы 1;
рабочего 3 на выполнение работы 2;
рабочего 4 на выполнение работы 1;
рабочего 5 на выполнение работы 5;
рабочего 6 на выполнение работы 3.
Суммарное время на выполнение всех операций составит 95 ч.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист EXCEL;
2) «Отчет по результатам».
