Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово – экономический институт
Филиал в г. Архангельске
Кафедра статистики


Курсовая работа
по дисциплине Статистика
на тему:
«Методы сглаживания и выравнивания
динамических рядов»
тема № 10
задание № 19






Архангельск
2005
Оглавление
1. Введение ……………………………………………………………3 стр.
2.Теоретическая часть …………………………………………… …4 стр.
2.1.Основные понятия о рядах динамики …………………………...4 стр.
2.2.Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов 6 стр.
2.2.1.Методы “механического сглаживания” ………………………6 стр.
2.2.2.Методы “аналитического” выравнивания ………………….10 стр.
2.3. Адаптивные методы прогнозирования 15 стр.
2.4. Сравнительная характеристика методов и сглаживания и
выравнивания динамических рядов 15 стр.
3. Расчетная часть ……………………………………………… ……16 стр.
4. Аналитическая часть ……………………………………………. .21 стр.
4.1. Исходные данные, цели и задачи анализа 21 стр.
4.2. Предварительная оценка временного ряда и его механическое сглаживание 22 стр.
4.3. Сглаживание рядов с помощью аналитического выравнивания посредством линейной зависимости 24 стр.
4.4. Сглаживание рядов с помощью аналитического выравнивания посредством параболической зависимости 26 стр.
4.5. Прогнозирование развития явления 28 стр.
5. Заключение ………………………………………………………. 29 стр.
6. Список использованной литературы ……………..…………….. 30 стр.
7. Приложения ………………………………………………………. 31 стр.


1. Введение
Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.
Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.
Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.
Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.
На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений. В данной работе мы рассмотрим различные методы «механического» сглаживания и разные функциональные зависимости при «аналитическом» выравнивании рядов динамики, изучим их суть, задачи, условия применения, сравним положительные и отрицательные стороны, приведем примеры на конкретных «живых» числовых примерах; используем эти методы при выполнении расчетной части, решая задачу на выявление основной тенденции и задачу по анализу ряда динамики; а также проиллюстрируем применение описанных в теоретической части методов на конкретном реальном числовом материале в аналитической части и осуществим краткосрочный прогноз по найденной трендовой модели.
В данной работе для статистического анализа данных был использован табличный процессор Microsoft Excel XP.




Теоретическая часть
2.1. Основные понятия о рядах динамики
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика. Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (или временных рядов)
Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.
В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:
время t;
конкретное значение показателя (уровень ряда) y;
В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики могут служить следующие данные о численности населения (таб. 1):
Таблица 1
Численность постоянного населения (на момент переписи)
Этот ряд характеризует динамику численность населения России в 1897-2002 гг. по данным информационного сайта итогов переписи населения [7].
Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его разные уровни могут входить одни и те же единицы изучаемого явления, поэтому при суммировании может возникнуть повторный счет, и сумма не будет иметь смысла, т.е. моментный ряд не обладает свойством суммирования. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, - величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть населения страны, составляющая её численность в 1897 году, постоянно проживающая на территории государства, отображена полностью или частично в каждом последующем уровне. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.
Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.
Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.
Примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в Российской Федерации, представленные в таблице 2, составленной по материалам федеральной службы государственной статистики [8]:
Таблица 2
Добыча нефти, включая газовый конденсат, в Российской Федерации:
Этот ряд характеризует снижение уровня добычи нефти в России до 1996 и его последующий подъём.
Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней, поэтому их можно просуммировать, что позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов. Например, суммирование уровней добычи нефти за каждый год по данным, приведенным выше, позволяет определить ее добычу за все шесть лет в целом и в среднем за год.
Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.
Уровни в динамическом ряду могут быть представлены абсолютными, относительными или средними величинами. Так, в рассмотренных рядах динамики уровни выражены абсолютными статистическими величинами. Относительными величинами характеризуются, например, динамика доли городского и сельского населения (%) и уровни безработицы. Средними величинами могут выражаться уровни, характеризующие динамику средней реальной заработной платы в промышленности, динамику урожайности зерновых культур (ц/га).
Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются циклические колебания, сезонные влияния, а также случайные колебания. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики. [3;49]
Что касается компонентов ряда динамики, то он может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного воздействия.
Влияния эволюционного характера - это изменения, определяющие некое общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития, или трендом.
Влияния осциллятивного характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Циклические (или периодические) состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигает определенного максимума, затем понижается, достигает определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д. Циклические колебания в экономических процессах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры. Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дни месяца или часы дня. Эти изменения отчетливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.
Нерегулярные колебания для социально-экономических явлений можно разделить на две группы: а) изменения, вызванные, например, войной или экологической катастрофой; б) случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых второстепенных факторов.
Декомпозиция ряда динамики – это разложение временного ряда на трендовую, цикличную, сезонную и случайную составляющие.
2.2. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения “усредненных” значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:
1. Способы “механического” сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы “аналитического” выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
2.2.1. Методы “механического” сглаживания
Сюда относятся:
а) Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.
Пример выравнивания путем усреднения по двум половинам ряда приведен в таблице 3, составленной по данным официального сайта Гуманитарного университета – Высшей школы экономики [9]:

Таблица 3
Количество безработных за 2005 год
б) Метод укрупнения интервалов
Смысл приема заключается в переходе от менее крупных интервалов к более крупным: от месячных - к квартальным, от квартальных - к годовым и т.д. Уровни укрупненных рядов вычисляются путем суммирования уровней за периоды, вошедшие в новый интервал, или путем вычисления среднего уровня по укрупненному интервалу. Пример выравнивания ряда путем укрупнения интервалов приведен в табл.3, составленной по данным сайта Министерства финансов РФ[10]. Из нее следует, что при анализе месячной динамики объема поступлений не ясна основная тенденция развития, а при переходе к более крупным интервалам она становится очевидной.
Таблица 4
Чистое поступление в федеральный бюджет РФ по операциям с рублевыми государственными ценными бумагами за 2005 год
в) Метод скользящей средней
Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней (интервал сглаживания). Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни y1, y2, .... ym; второй - уровни y2, y3, .... ym+1 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Термин «скользящее» взят потому, что по мере добавления к среднему значению новых данных старые опускаются. В результате такого обновления среднего значения оно постоянно «скользит». По сформированным укрупненным интервалам определяется сумма значений уровней, на основании которых рассчитываются скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. При этом остаются несглаженными несколько первых и несколько последних уровней, а именно (m-1)/2 с каждой стороны.
Скользящие средние можно рассчитывать по укрупненным интервалам разной продолжительности. Размер интервала необходимо выбирать таким образом, чтобы получить наглядную тенденцию развития процесса. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.
Когда скользящая средняя рассчитывается по четному числу уровней, необходимо провести дополнительное центрирование средней. Первая скользящая средняя относится не к конкретному уровню, а попадает в промежуток между двумя средними уровнями выравнивания (если выравнивание проводится по 6 месячным интервалам, то первая скользящая попадет в промежуток между 3 и 4 уровнем). Для отнесения скользящей средней к определенному уровню находится средняя из двух смежных скользящих средних, т.е. производится центрирование средних (см. табл.4 - составленную по данным официального сайта Государственного университета – Высшая школа экономики [9]). В данном случае, мы использовали 4хчленную скользящую среднюю, так как логично было бы применить имеющееся деление на кварталы в качестве интервала сглаживания[2;119].
Таблица 5
Квартальные показатели доходов населения РФ за 2002-2005 гг.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных “скольжением” интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению “обратных” колебаний, когда выпуклая “волна” заменяется на вогнутую. Кроме того, недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле:
INCLUDEPICTURE "http://refine.org.ru/images/referats/1845/image045.gif" \* MERGEFORMATINET
Для последней точки расчет симметричен.
При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения:
INCLUDEPICTURE "http://refine.org.ru/images/referats/1845/image046.gif" \* MERGEFORMATINET
Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках [6;97].
г) В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также, как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть, чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.
Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя – это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени “удаленности” отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. Пример такого выравнивания приведен в Таблице 6, составленной по данным официального сайта Гуманитарного университета – Высшая школа экономики[9], расчеты же в режиме формул представлены в Приложении 1.
Взвешенное (Weighted) скользящее среднее (WMA) является неудачным гибридом из простого и экспоненциального скользящих средних. В случае использования взвешенных скользящих средних каждому из уровней придается определенный вес. Способ задания весов зависит от целей анализа. Если степень важности информации возрастает в хронологическом порядке, то более поздним наблюдениям придается больший вес. При использовании метода экспоненциального сглаживания средние величины рассчитываются по следующей формуле
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 , n – период сглаживания,
таким образом коэффициент сглаживания а выбирается после содержательного анализа исследуемого процесса в зависимости от относительной ценности прошлых данных. Если необходимо придать больший вес последним данным, то значение а выбирается близким к единице, если необходимо учесть большую часть имеющихся данных, то берутся небольшие значения коэффициента сглаживания[4].
Если период скольжения n=3, то выровненный ряд начинается со 2го уровня, как на примере в таблице 6 (расчеты в режиме формул представлены в Приложении 1).
Таблица 6
EMBED Excel.Chart.8 \s
Одним из существенных преимуществ методов, основанных на экспоненциальном сглаживании, является возможность учета временной ценности информации и адаптация к изменяющимся условиям, что имеет большое практическое значение при нестабильном протекании экономических процессов.
Вывод: способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.
2.2.2. Методы “аналитического” выравнивания
Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель нельзя.
Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул.
Основным содержанием метода является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:
y`t = f(t),
где y`t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:
линейная функция y`t = a0 + a1t;
показательная функция y`t = a0*a1t;
полиномиальная – кривая второго порядка (парабола)
y`t = a0 + a1t + a2t2 ;
экспоненциальная y`t = exp(a0 + a1t)
или y`t = exp(a0 + a1t + a2t2).
1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
2) Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития.
3) Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянный относительный рост - устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста[5;202].
Таким образом, целью аналитического выравнивания является:
- определение вида функционального уравнения;
- нахождения параметров уравнения;
- расчет “теоретических”, выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.
Оценка параметров (a0, a1, a2, ...) осуществляется следующими методами:1) методом избранных точек,2) методом наименьших расстояний,3) методом наименьших квадратов (МНК).
В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных:
min ? (y`t – yi)2
Параметры уравнения аi, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.
Для линейной зависимости (y`t = a0 + a1t) параметр а0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а1 – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а1 можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.
Нормальные уравнения МНК имеют вид:
для линейного тренда:
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image47.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image48.gif" \* MERGEFORMATINET
для параболы второго порядка:
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image49.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image50.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image51.gif" \* MERGEFORMATINET
где yi- уровни исходного ряда динамики;
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image53.gif" \* MERGEFORMATINET - номера периодов или моментов времени (1,2,3,..n);
n - число уровней ряда;
а0, а1, а2 - константы уравнений.
Для решения систем уравнений обычно применяется способ определителей или способ отсчета от условного начала.
Для упрощения расчетов удобнее воспользоваться способом отсчета от условного начала. При этом сумма показателей времени изучаемого ряда динамики должна быть равна нулю:
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image54.gif" \* MERGEFORMATINET
При нечетном числе уровней ряда динамики уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1, -2, -3 и т.д.), а ниже - натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и т.д.).
Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -1, -2, -3 и т.д., а нижней - +1, +2, +3 и т.д.. При этом условие сумма показателей времени будет равна нулю и системы нормальных уравнений преобразуются следующим образом:
для линейного тренда:
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image55.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image56.gif" \* MERGEFORMATINET
для параболы второго порядка:
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image57.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image58.gif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "http://www.mibif.ru/proftest/market/6/image/image59.gif" \* MERGEFORMATINET
По вычисленным параметрам производятся синтезирование трендовой модели функции, то есть полученных значений а0, а1, а2 , и их подстановка в искомое уравнение.
Правильность расчетов аналитических уровней можно проверить по следующему условию - сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда. При этом может возникнуть небольшая погрешность в расчетах из-за округлений вычисляемых величин.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Часто для уравнения тренда подходят одновременно несколько функций. Отбор наилучшей функции производится по величине остаточной дисперсии (отклонения теоретических уровней от эмпирических), которая вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3
где y`t- теоретические уровни;
yi - экспериментальные уровни;
n - число уровней ряда.
За наиболее адекватную принимается та функция (модель), у которой EMBED Equation.3 минимальная.
Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов[1;177].
2.3. Адаптивные методы прогнозирования
При краткосрочном прогнозировании обычно более важна динамика развития исследуемого показателя на конце периода наблюдений, а не тенденция его развития, сложившаяся в среднем на всем периоде предыстории. Свойство динамичности развития финансово-экономических процессов часто преобладает над свойством инерционности. Поэтому более эффективными являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравнозначность данных.
Адаптивные модели и методы имеют механизм автоматической настройки на изменение исследуемого показателя. Инструментом прогноза является модель, первоначальная оценка параметров которой производится по нескольким первым наблюдениям. На ее основе делается прогноз, который сравнивается с фактическими наблюдениями. Далее модель корректируется в соответствии с величиной ошибки прогноза и вновь используется для прогнозирования следующего уровня, вплоть до исчерпания всех моментов наблюдений. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней и к концу периода наблюдения отображает тенденцию, сложившуюся на текущий момент. Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции. В различных методах прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному. Базовыми адаптивными моделями считаются модели Брауна и Хольта и модель авторегрессии. Первые модели относятся к схеме скользящего среднего, последняя – к схеме авторегрессии. Многочисленные адаптивные методы базируются на этих моделях, различаясь между собой способом числовой оценки параметров, определения параметров адаптации и компоновкой.
Для построения авторегрессионных моделей с лагом в 1, 2 и 3 года необходимо исходную информацию представить в виде таблицы (временной лаг – сдвиг, которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции):
Таблица 7
Особенность ряда динамики состоит в том, что последующий уровень динамического ряда зависит от предыдущего. Это называется автокорреляцией. Автокорреляцию уровней динамического ряда используют при построении авторегрессионных уравнений, которые имеют вид:
yt(1) = a0 + a1yt-1 (с лагом в один год),
yt(2) = a0 + a1yt-2 (с лагом в два года),
yt(3) = a0 + a1yt-3 (с лагом в три года).
Параметры авторегрессионных уравнений определяются методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений с лагом в один год имеет вид:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Для вычисления параметров a0 и a1 необходимо построить расчетную таблицу (см. Таблицу 8).
Таблица 8
Параметры авторегрессионного уравнения можно вычислить и по формулам:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Аналогично строятся системы нормальных уравнений для авторегрессионных моделей с лагом в 2 и 3 года.
Подставляя в уравнение соответствующие значения (эмпирические уровни), получим соответствующие значения теоретических уровней ряда динамики.
Эмпирические и теоретические значения уровней ряда динамики с лагом в 1, 2 и 3 года для анализа сводим в таблицу (см. Таблицу 9).
Таблица 9





2.4. Сравнительная характеристика методов сглаживания и выравнивания динамических рядов






3. Расчетная часть
Динамика потребления овощей на одного члена домохозяйства в области за 1993-2001 гг. характеризуется следующими данными:
Таблица 8
Выявить основную тенденцию потребления овощей на одного члена домохозяйства за 1993 – 2001 гг.:
методом сглаживания с помощью 3-членной скользящей средней;
методом аналитического выравнивания;
постройте график потребления овощей на одного члена домохозяйства области по фактическим и выровненным данным.
Решение:
1) Выявим тенденцию потребления овощей на одного члена домохозяйства методом сглаживания с помощью трехчленной скользящей средней.
Результаты расчетов, представив в виде таблицы (расчеты в режиме формул представлены в Приложении 2):
Таблица 9
Наблюдается тенденция к росту потребления овощей на одного члена домохозяйства.
2)Выявим основную тенденцию потребления овощей на одного члена домохозяйства методом аналитического выравнивания по уравнению линейного тренда.
y`t = a0 + a1t ; где а0 и а1 найдем из системы нормальных уравнений.
Составим расчетную таблицу:

Таблица 10
9*а0 = 370,8
60* а1=199,5
а1=3,325
а0 =41,2
Отсюда уравнение линейного тренда имеет вид y`t = 3,325t + 41,2 для t = -4, -3, -2,..4 или y`t = 27,9 + 3,325t для t = 1, 2, 3,..9.
Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a0 = 27,9 – это исходный уровень потребления овощей одним членом домохозяйства в области за период до 1993 г.; а1 = 3,325 – показатель силы связи, т.е. в области за период с 1999 по 2001гг. происходило увеличение уровня потребления овощей на 3,325 кг ежегодно.
Подставим значения t и запишем расчетные y`t в таблицу (расчеты в режиме формул представлены в Приложении 3).
Таблица 11
Наблюдается тенденция к росту потребления овощей на одного члена домохозяйства.
Правильность расчетов аналитических уровней подтверждается тем, что сумма значений эмпирического ряда совпадает с суммой вычисленных уровней выровненного ряда.
3) Нанесем на график фактические и выровненные данные, см. рис. 3
EMBED Excel.Chart.8 \s
Динамика добычи нефти в республике за отчетный год характеризуется данными:
Таблица 12
Определите добычу нефти за каждый квартал и постройте ряд динамики.
Для анализа ряда динамики добычи нефти исчислите:
А) среднеквартальный уровень ряда;
Б) цепные и базисные:
абсолютные приросты;
темпы роста и темпы прироста;
В) среднеквартальный темп роста и прироста.
1.Определим добычу нефти за каждый квартал:
1-ый квартал – 6,9 млн.т
2-ой квартал – (13,7 – 6,9) = 6,8 млн.т
3-ий квартал – ( 20,2 – 13,7) = 6,5 млн.т
4-ый квартал – ( 26,5 – 20,2) = 6,3 млн.т
Построим ряд динамики:
Таблица 13
2.Определим:
а) среднеквартальный уровень ряда. Для этого используем простую арифметическую среднюю, в связи с малым количеством уровней во временном ряду.
Y = 26,5/4 = 6,625 млн.т
Т.о среднеквартальный уровень добычи нефти составит 6,625 млн. т.
Б) абсолютные и базисные приросты, темпы роста и темпы прироста по следующим формулам соответственно:
?y = yi – y1, i = 2, 3, 4
?y = yi – yi-1, i = 2, 3, 4
Трб = yi/ y1* 100 %, i = 2, 3, 4
Трц = yi/ yi-1* 100 %, i = 2, 3, 4
Тпрб = Трб – 100
Тпрц = Трц – 100
Таблица 14

в) среднеквартальный темп роста
_
Tр = , где Трn – цепные темпы роста (в коэффициентах), n – число цепных темпов роста.
_
Тр = 0,9855 + 0,9559 + 0,969 = 0,97
Это означает, что в среднем ежеквартально объем добычи нефти составляет 97,0 % к уровню предыдущего квартала.
г) среднеквартальный темп прироста
_ _
Тпр = Тр -100
_
Тпр = 97,0 –100 = -3,0%
Т.е в среднем ежеквартально объем добычи нефти в республике за 1–4 кварталы снижались на 3 %.








4. Аналитическая часть

В данном разделе мы проиллюстрируем применение описанных в теоретической части методов на конкретном реальном числовом материале, а также осуществим краткосрочный прогноз по найденной трендовой модели.
4.1.Исходные данные, цели и задачи анализа
Имеются данные о динамике потребления электроэнергии предприятием за 1986-1994 гг., тыс. кВт. Ч [4; 42]:
Таблица 15
Конец 80х - начало 90х годов можно сказать переломное время для России в связи с политическими переменами в стране, что не могло не сказаться на экономической стороне жизни. Многие заводы и фабрики закрывались, производство останавливалось, шло массовое сокращение кадров, снижение активности предприятий и т.д. Для наглядного представления и подтверждения этих сведений проанализируем имеющиеся данные о потреблении электроэнергии одного из действующих в указанный период предприятий. В процессе анализа выполним задачу по практическому применению рассмотренных в теоретической части статистических методов для нахождения основной тенденции развития имеющегося ряда динамики, выясним наиболее оптимальный и эффективный способ определения тренда.
4.2. Предварительная оценка временного ряда и его механическое сглаживание
Для начала проверим, возможно ли определить наличие тренда с помощью графического изображения, см. рис.4
EMBED Excel.Chart.8 \s
На графике основная тенденция не проявляется, поэтому проведем механическое сглаживание, допустим, с помощью 4хчленной скользящей средней и запишем результаты в таблицу 16 (расчеты в режиме формул и график представлены в Приложении 4):

Таблица 16
Судя по новым сгруппированным по годам данным, можно говорить о наличии с 1987 года тенденции к уменьшению потребления электроэнергии населением.
4.3. Сглаживание ряда с помощью аналитического выравнивания посредством линейной зависимости
Найдем количественную модель, выражающую основную тенденцию потребления предприятием электроэнергии за 1986-1994гг., методом аналитического выравнивания. Для начала используем в качестве уравнения тренда линейную зависимость, т.к. в исходном временном ряду абсолютные цепные приросты не проявляют тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
В нашем случае число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -18, -17,..-1, а нижней: +1, +2,..+18. При этом условии сумма показателей времени будет равна нулю.
Определим параметры уравнения прямой с использованием программы Excel (расчеты в режиме формул представлены в Приложении 5) и запишем результаты в таблицу.
Таблица 17
Так как прямая имеет вид y`t = a0 + a1t, системы нормальных уравнений преобразуются следующим образом:
36а0 = 8204
4218а1 = -8664
Отсюда а0 = 227,89 и а1 = -2,054, следовательно уравнение тренда будет иметь вид y`t = 227,89 – 2,054t
Подставив в это уравнение значение t, получим выровненные теоретические значения. Правильность расчетов аналитических уровней подтверждается тем, что сумма значений эмпирического ряда совпадает с суммой вычисленных уровней выровненного ряда.
На рис. 5 представлены графики фактических и теоретических уровней ряда. EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s
Линия, построенная по значениям y`t, показывает слабую тенденцию снижения потребления электроэнергии данным предприятием в период с 1986 по 1994 гг.
4. 4. Сглаживание ряда с помощью аналитического выравнивания посредством параболической зависимости
Используем в качестве уравнения тренда другую функцию, например, полиномиальную второго порядка (параболическую). Добавим в предыдущую таблицу недостающие для расчета параметров уравнения данные и результаты оформим в виде таблицы (расчет в режиме формул см. в Приложении 6).
Таблица 18
Так как прямая имеет вид y`t = a0 + a1t + a2t2, системы нормальных уравнений преобразуются следующим образом:
36a0 + 4218a2 = 8204
4218a1 = -8664
4218a0 + 864690a2 =894344;
a1 = -2,054
a2 = 1,034-0,005а0
36а0 + 4218*(1,034-0,005а0) = 8204
Отсюда а0 = 257,72; а1 = -2,054 и а2 = -0,2546 следовательно уравнение тренда будет иметь вид y`t = 257,72 – 2,054t – 0,2546t2. Подставив в это уравнение значение t, получим выровненные теоретические значения. Правильность расчетов аналитических уровней подтверждается тем, что сумма значений эмпирического ряда совпадает с суммой вычисленных уровней выровненного ряда.
На рис. 6 представлены графики фактических и теоретических уровней ряда.
EMBED Excel.Chart.8 \s

Выясним, какое из уравнений тренда лучше отображает динамику потребления электроэнергии с помощью остаточной дисперсии (расчеты в режиме формул приводятся в Приложении 7):
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
Отклонения теоретических уровней, полученных с помощью второй функции, от эмпирических меньше, следовательно, параболическая зависимость, выступающая в качестве уравнения тренда, наилучшим образом отображает динамику потребления предприятием электроэнергии за 1986-1994 гг.

4.5. Прогнозирование развития явления
Выполним краткосрочный прогноз по найденной оптимальной трендовой модели. Допустим, на два квартала вперед.
Наше уравнение тренда имеет вид y`t = 257,72 – 2,054t – 0,2546t2; последний уровень t был равен 18, следовательно, рассчитывать будем прогноз для t = 19 и t = 20 (1й и 2й квартал 1995 года):
y`(19) = 257,72 – 2,054*19 – 0,2546*192
y`(19) = 126,7834
y`(20) = 257,72 – 2,054*20 – 0,2546*202
y`(20) = 114,8
Для наглядности отобразим это на графике:
EMBED Excel.Chart.8 \s



Заключение
Возрастающий интерес к статистике вызван современным этапом развития экономики в стране, формирования рыночных отношений. Это требует глубоких экономических знаний в области сбора, обработки и анализа экономической информации.
Статистическая грамотность является неотъемлемой составной частью профессиональной подготовки каждого экономиста, финансиста, социолога, политолога, а также любого специалиста, имеющего дело с анализом массовых явлений, будь то социально-общественные, экономические, технические, научные и другие. Работа этих групп специалистов неизбежно связана со сбором, разработкой и анализом данных статистического (массового) характера. Нередко им самим приходится проводить статистический анализ различных типов и направленности либо знакомиться с результатами статанализа, выполненного другими. В настоящее время от работника, занятого в любой области науки, техники, производства, бизнеса и прочее, связанной с изучением массовых явлений, требуется, чтобы он был, по крайней мере, статистически грамотным человеком. В конечном счете, невозможно успешно специализироваться по многим дисциплинам без усвоения какого-либо статистического курса. Поэтому большое значение имеет знакомство с общими категориями, принципами и методологией статистического анализа.
Как известно, для статистической практики РФ и стран СНГ в последние годы важнейшим вопросом оставалось адекватное информационное отражение новых социально-экономических явлений. Сюда, в частности, относится организация получения и анализ данных, характеризующих изменение форм собственности и процесс приватизации, негосударственную занятость населения и безработицу, деятельность рыночных финансово-кредитных структур и коренное реформирование налоговой системы, новые виды миграции граждан и поддержку возникших малоимущих социальных групп, а также многое другое. Кроме того, в целях отслеживания внедрения рыночных отношений и складывающихся реалий серьезной корректировки, потребовали системы показателей, сбор и разработка данных в традиционных областях статистического наблюдения: по учету основных результатов промышленного и сельскохозяйственного производства, внутренней и внешней торговли, деятельности объектов социальной сферы и т.д. Вместе с тем, насущная необходимость получения адекватной и однозначной информации в настоящее время систематически возрастает.
В заключение отметим, что сравнение различных экономических прогнозов имеет, прежде всего, методологическое значение - связанное с выявлением характера действующих причинно-следственных связей. Если последние изложены убедительно, определенный интерес представляют и конкретные количественные оценки, так и усредненные прогнозные значения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛитературЫ
Башет К.В. «Статистика коммерческой деятельности», М: «Финансы и статистика», 1996.
Гусаров В.М. «Теория статистики», М.: «Аудит», 1998.
Практикум по статистике, учебное пособие. Под ред. В.М. Симчеры. - М.: «Финстатинформ», 1999г.
Сироткина Т.С., Каманина А.М. «Основы теории статистики», М.: «Финстатинформ», 1996.
Финансы. Под ред. В.М. Родионовой. – М.: «Финансы и статистика», 1994.
Харченко Л.П. «Статистика» М: «ИНФРА – М», 1997.
HYPERLINK "http://www.perepis2002.ru/content.html?id=11&docid=10715289081460" http://www.perepis2002.ru/content.html?id=11&docid=10715289081460
HYPERLINK "http://www.gks.ru/scripts/regl/1c.exe?XXXX79F.8.2.5.1/010980R" http://www.gks.ru/scripts/regl/1c.exe?XXXX79F.8.2.5.1/010980R
HYPERLINK "http://stat.hse.ru/hse/index.html" http://stat.hse.ru/hse/index.html
HYPERLINK "http://www1.minfin.ru/index.htm" http://www1.minfin.ru/index.htm
HYPERLINK "http://www.trader-lib.ru/books/476/29.html" http://www.trader-lib.ru/books/476/29.html