г.Уфа - 2008 г.
Задача 1
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса задан в таблице.
Таблица 1
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед..
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему?
Решение
Имея данные о прибыли от реализации каждого вида продукции, преобразуем Таблицу 1 в Таблицу 2.
Таблицу 2
Составим ЭММ задачи.
Пусть х1 и х2 - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для получения максимальной прибыли. Тогда ЭММ будет иметь вид:
F(X)= 2x1 +3x2 > max, при ограничениях в количестве ресурсов.
X = (x1;x2) – вектор, при котором F(X) > max и выполняются ограничения
EMBED Equation.3
х1 ? 0, х2 ? 0.
Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.
Построим ОДР задачи. Условие неотрицательности определяют полуплоскости с граничныим прямыми х1=0 и х2=0 соответственно.
Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим, какую часть плоскости описывает неравенство
а) EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
Построим прямую EMBED Equation.3 . Она проходит через точки (0;6) и (6;0). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0?12. Данное утверждение является верным, следовательно неравенству соответствует нижняя полуплоскость.
Аналогично определяем плоскости по другим ограничениям.
б) EMBED Equation.3 в) EMBED Equation.3 г) EMBED Equation.3
Пересечение этих нижних полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям неотрицательности, определяет многоугольник ОАВСД. Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи. (Рис 1)
Для нахождения максимального значения целевой функции при графическом решении задачи линейного программирования используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции.
EMBED Equation.3
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая 2х1+3х2 = а (а – постоянная величина) перпендикулярна вектору-градиенту EMBED Equation.3 . Перемещая линию уровня в направлении этого вектора до тех пор, пока она не покинет пределов ОДР. Предельная точка области при этом движении и является точкой максимума, в нашей задаче это точка С (Рис 1). Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.
EMBED Equation.3 ;
Значение целевой функции в этой точке равно:
max f(X)= 2*4+3*2 = 14
Вывод: Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий.
Рис 1. Графическое решение ЗЛП.
Сформулируем и решим двойственную задачу. Используя теоремы двойственности, решаем задачу на получение выручки от продажи ресурсов не менее суммы полученной при производстве продукции.
Составим двойственную задачу для исходной:
Z(Y) = 12y1+8y2+16y3+12y4 > min
При ограничениях:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Используя первую теорему двойственности имеем:
F(X*)=Z(Y*), т.е. оптимальные значения целевых функций совпадают.
Поскольку в оптимальном плане исходной задачи х1*= 4; х2*= 2 и выполняется условие неотрицательности,то по теореме о дополняющей нежесткости для двойственных оценок у1* и у2* имеет место равенство:
EMBED Equation.3
Y* = (0,5; 1; 0; 0)
Z(Y*) = 12*0,5+8*1+16*0+12*0 = 14
min Z(Y) = 14
Двойственные оценки найдены правильно.
Экономический смысл задач.
Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий. Составив и решив задачу на минимум, получаем, что при оптимальной производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.
Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:
Таблица 3
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти её оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 1 вида на 100 ед. и уменьшении на 150 ед. запасов сырья II вида;
- оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы.
Решение
Составим ЭММ задачи.
Обозначим количество выпускаемых изделий А, Б, В, Г соответственно как х1, х2, х3, х4. Имея ограничения по запасам сырья и зная нормы расхода ресурсов на изготовление изделий, а также цены готовых изделий и задачу максимизации прибыли – мы можем сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
EMBED Equation.3
Решаем задачу линейного программирования на ЭВМ с помощью табличного процессора MS Excel. Использование надстройки «Поиск решение» программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(X*)=9000
Следовательно, для получения максимальной выручки от реализации готовой продукции следует производить 400 изделий В, 550 изделий Г и не производить изделия А (x1*=0) и изделия Б (x2*=0). Выпуск изделий А и Б невыгоден при данных условиях задачи.
С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Используя теоремы двойственности, составим модель такой задачи. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III соответственно как y1, y2, y3. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
Z(Y) = 2400y1+1200y2+3000y3> min;
EMBED Equation.3
(2х1* + х2* + 0,5х3* + 4х4* -2400) • у1* = 0;
(х1* + 5х2* + 3х3* + 0х4* -1200) • у2* = 0;
(3х1* + 0х2* + 6х3* + х4* -3000) • у3* = 0.
(2у1* + у2* + 3у3* -7,5) • х1* = 0;
(у1* + 5у2* + 0у3* -3) • х2* = 0;
(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) • х3* = 0;
(4у1* + 0у2* + у3* -12) • х4* = 0.
х1* = х2* = 0.
(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) • х3* = 0;
(4у1* + 0у2* + у3* -12) • х4* = 0.
0,5у1* + 3у2* + 6у3* = 6;
4у1* + 0у2* + у3* = 12
y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.
Минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи.
EMBED Equation.3
Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане и поясним нулевые значения переменных. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*= (0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:
EMBED Equation.3
Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т.е. являются дефицитными. На это указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); наименее дефицитен ресурс II (y2*=1,5).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I и II сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 3 руб., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 руб. Ресурс III используется не полностью 2950<3000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3*=0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Поясним равенство нулю x1*=0 и x2*=0. Если изделие вошло в оптимальный план (х>0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. В нашей задаче это изделия В и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдёт в оптимальный план (затраты по изделию А равны его цене 7,5-7,5=0 и затраты по изделию Б превышают его стоимость 3-10,5=-7,5).
4. Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что указанное изменение объемов ресурсов происходит в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений). Это дает возможность непосредственно рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции:
EMBED Equation.3
При этом новая наибольшая выручка составит
EMBED Equation.3 руб.
5. Для определения целесообразности включения в план изделия Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:
EMBED Equation.3
Следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.
ЗАДАЧА 3
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)(млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведён ниже в таблице.
Таблица 4
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y(t)=a0+a1t, параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна Y(t)=a0+a1k с параметром сглаживания ?=0,4 и ?=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
Проверим наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Все EMBED Equation.3 , следовательно среди наблюдений EMBED Equation.3 нет аномальных.
Оценка параметров модели с помощью Excel.
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии EMBED Equation.3 .
Таблица 5
Оформим необходимые данные в Таблицы 6 и 7.
Таблица 6
Таблица 7
Уравнение регрессии зависимости EMBED Equation.3 (спрос на кредитные ресурсы) от EMBED Equation.3 (времени) имеет вид:
EMBED Equation.3
Коэффициент детерминации равен R2=0,967. Само значение R2 показывает, что изменение во времени спроса на кредитные ресурсы на 96,7 % описывается линейной моделью.
Угловой коэффициент а1 = -2,42 уравнения показывает, что за одну неделю спрос на кредитные ресурсы банка уменьшается в среднем на 2,42 млн. руб.
При вычислении «вручную» по формуле
EMBED Equation.3
получаем те же результаты.
Рис. 2.
4. Оценим адекватность построенной модели. Рассчитанные по модели
значения прибыли EMBED Equation.3 (t=1, 2,…, 9).
Проверим независимость остатков с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:
EMBED Equation.3
Критические значения d статистики для числа наблюдений n=9 и уровня значимости ?=0,05 составляют: d1=0,82; d2=1,32.
Так как выполняется условие
EMBED Equation.3 ,
то статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости ?=0,05.
Для достоверности проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка, который равен:
EMBED Equation.3
Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=9 и уровня значимости ?=0,05 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи R/S-критерия:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3 =2,44;
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3 =-1,97;
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=9 и уровня значимости ?=0,05 имеют значения: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7.
Расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели. Это свидетельствует о том, что линейная модель вполне соответствует исследуемому экономическому процессу.
5. Оценим точность модели. Стандартная ошибка линейной модели определяется по формуле:
EMBED Equation.3 1,30 млн. руб.
Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по формуле
EMBED Equation.3 %,
где EMBED Equation.3 млн. руб. - средний уровень временного ряда.
Значение Еотн показывает, что предсказанные моделью значения прибыли предприятия Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,9%. Средняя относительная ошибка аппроксимации менее 5% свидетельствует о высокой точности линейной модели.
6. Строим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперёд.
Точечный прогноз:
- на неделю вперёд: EMBED Equation.3 млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса на кредитные ресурсы на следующей неделе составляет 23,4 млн. руб.
- на две недели вперёд: EMBED Equation.3 млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса на кредитные ресурсы банка через 2 недели составляет 20,98 млн. руб.
Интервальный прогноз:
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости EMBED Equation.3 , следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при EMBED Equation.3 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
EMBED Equation.3 ,где
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (Таблица 8)
Таблица 8
С вероятностью 70% фактическое значение спроса на кредитные ресурсы на следующей неделе будет находиться в интервале от 21,7 до 25,1 млн. руб.
С вероятностью 70% фактическое значение спроса на кредитные ресурсы через две недели будет находиться в интервале от 19,2 до 22,8 млн. руб.
7. Для того чтобы отобразить на графике фактические данные, результаты расчётов и прогнозирования надо преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента «Регрессия».
- Выберем тип диаграммы – точечная, на которой значения соединены отрезками.
- Далее на графике изобразить результаты прогнозирования. В диалоговом окне «Исходные данные» в поле значения Y введем адрес диапазона прогноза зависимой переменной, а в поле значения X – независимой переменной.
- Аналогично введем данные для верхних и нижних границ прогноза.(рис.3)
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы через две недели будет находиться в интервале от 19,2 до 22,8 млн. руб., причем оптимистическим прогнозом является верхняя граница интервального прогноза 22,8 млн. руб., а пессимистическим — нижняя 19,2 млн. руб.
SHAPE \* MERGEFORMAT Прогноз по модели Y=47,64-2,42k 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 t Y Y
Предсказанное Y Ряд3 Ряд4 Ряд5
