Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение
Введем следующие переменные:
Х1 – количество краски Е (т);
Х2 – количество краски I (т).
Цена краски Е составляет 3000 (ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию:
EMBED Equation.3
Введены следующие ограничения:
Х1+2Х2?6;
2Х1+Х2?8;
Х2?2;
Х2-Х1?1.
Первое ограничение по продукту А Х1+2Х2?6. Прямая Х1+2Х2=6 проходит через точки (0;3) и (6;0).
Второе ограничение по продукту В 2Х1+Х2?8. Прямая 2Х1+Х2=8 проходит через точки (0;8) и (4;0).
Третье ограничение Х2?2. Прямая Х2=2 проходит параллельно оси Х1 через точку Х2=2.
Четвертое ограничение Х2-Х1?1. Прямая Х2-Х1=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0).
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.
Рис. 1.1

Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х1+2Х2=6, 2Х1+Х2=8, Х2=2, Х2-Х1=1.
При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту.
После решения системы уравнений
Х1+2Х2=6
2Х1+Х2=8
Находим, что Х1=3,33, Х2 = 1,33
EMBED Equation.3 (ден. ед.)
Ответ:
Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.
При решении задачи на минимум – решений не будет.
Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Решение
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Х1- норма расхода ресурса первого вида
Х2 - норма расхода ресурса второго вида
Х3 - норма расхода ресурса третьего вида.
Целевая функция имеет вид
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Ограничения:
по труду
EMBED Equation.3
2) по сырью
EMBED Equation.3
3) по оборудованию
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис. 2.2).
Рис. 2.1

Рис. 2.2
Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000 ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40 единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованы полностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3




В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных EMBED Equation.3 , которые соответственно равны 40; 40; 0; значение целевой функции – 4000, а также недоиспользованный ресурс «оборудование» в размере 60 единиц.
Оптимальный план EMBED Equation.3
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: труд, сырье и оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:
EMBED Equation.3 двойственная оценка ресурса труд
EMBED Equation.3 двойственная оценка ресурса сырья
EMBED Equation.3 двойственная оценка ресурса оборудования
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:
EMBED Equation.3
Необходимо найти такие «цены» на типы сырья EMBED Equation.3 ,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.
Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.
Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 тогда
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Подставим оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 в полученные выражения
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
И получим
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , так как 80 < 140, то EMBED Equation.3
В задаче EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решая систему уравнений получим, y1 = 6,67, y2 = 33,33, y3 = 0.
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).


Рис 2.4

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Затраты на 3 изделия превышают цену ( EMBED Equation.3 ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения EMBED Equation.3 (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
Запасы сырья по первому и второму виду были использованы полностью, а по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60.
Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины EMBED Equation.3 приводит к увеличению или уменьшению EMBED Equation.3 . Оно определяется:
EMBED Equation.3
Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц.
При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.
Решим систему уравнений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
И получим
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Новый оптимальный план EMBED Equation.3
Изменение общей стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)
Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.
EMBED Equation.3 , подставим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.

Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%)
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( EMBED Equation.3 ) (таблица 4.1).
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение EMBED Equation.3 уровня ряда считается аномальным.
Таблица 4.1
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Все полученные значения сравнили с табличными значениями, EMBED Equation.3 не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).
Рис 4.1

SHAPE \* MERGEFORMAT Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.2 и 4.3.
Таблица 4.2
Во втором столбце табл. 4.3 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости EMBED Equation.3 (спрос на кредитные ресурсы) от EMBED Equation.3 (время) имеет вид EMBED Equation.3 (рис. 4.5).
Таблица 4.3
Вывод остатков

Рис. 4.4

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
EMBED Equation.3
Таблица 4.2
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1, т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 v (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).
Рис. 4.5

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае EMBED Equation.3 , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 4.3
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Расчет относительной ошибки аппроксимации
Таблица 4.4
EMBED Equation.3
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
t = 1,12
Рис. 4.6

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости EMBED Equation.3 , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при EMBED Equation.3 равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (находим из таблицы 4.1)
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.11).
Таблица 4.5
Таблица прогноза
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.
Рис. 4.7