ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
По курсу:
«Экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант №_1__
Задача 1
1.1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Решение
Введем обозначения:
х1 — инвестиции в акции концерна А.
х2 — инвестиции в акции строительного предприятия В.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:





Построим ОДР задачи:
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
I. (0;300) (300;0)
т.(0;0) – входит в ОДР;
II. (200; 100), (0;0).
т.(1;0) – входит в ОДР;
III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.
т.(0;0) – входит в ОДР.
Рис. 1.
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину ( (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).
Построим некоторую линию уровня 0,08х1+0,1х2=а.
Пусть, например, а = 0
(0;0) (100;-80)
Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.
При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.
Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых.


х1 = 200;
Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 100; х2 = 200 максимальное значение, равное
f(х1,х2) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28
Задача 2
2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие
Запасы сырья


А
Б
В
Г


I
1
2
1
0
18

II
1
1
2
1
30

III
1
3
3
2
40

Цена изделия
12
7
18
10



Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум
выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение
1. Обозначим через хj = 1-4 – количество продукции каждого вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции»:





Оптимальный план задачи получен с помощью надстройки Excel Поиск решения:

Оптимальный план: Х1=18, Х2=0, Х3=0, Х4=11
Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (х1 = 18, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 11)
1 х 18 + 2 х 0 + 1 х 0 + 0 х 11 = 18
1 х 18 + 1 х 0 + 2 х 0 + 1 х 11 = 29 < 30
1 х 18 + 3 х 0 + 3 х 0 + 2 х 11 = 40
Значение целевой функции на этом плане равно:
f (X) = 12 х 18 + 7 х 0 + 18 х 0 + 10 х 11 = 326
2.
Двойственная задача имеет вид:
min (18у1+30у2+40у3)





Для нахождения оценок (у1,у2,у3) используем вторую теорему двойственности.
Т.к. как 2-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то у2=0.
Так как х1>0 и х4>0, то для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:
у2 = 0


у1 = 7, у2 = 0, у3 = 5.
Значение целевой функции составит:
min ?(Y) = 18 х 7 + 30 х 0 + 40 х 5 = 326
f(Х) = ? (Y) = 326
3. Нулевые значения х2, х3 обозначает то, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.
4. Прирост объемов сырья первого типа на единицу дает приращение стоимости на 7 у.е., третьего типа – на 5 у.е., второго типа – не приведет к изменению стоимости. Недефицитным является сырье второго типа. Острее ощущается дефицит сырья первого типа, чем третьего.
Так как изменение сырья II вида не приведет к изменению стоимости получим:


Х = (х1 = 22, х2 = 0,х3 = 0, х4 = 15)
Соответственно выручка увеличится на 78 у.е. и составит 404 у.е.
Изделие «» в план включать невыгодно, т.к. 7 х 2 + 0 х 2 + 5 х 2 – 10 = 14 >0.
Задача 3
3.1 Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.
Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).
Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Вариант №
Для первой строки
Для второй строки
Для третьей строки


1А
2А
ЗА
4А
1Б
2Б
ЗБ
4Б
1В
2В
3В
4В

1
0,1
0,2
0,1
200
0,2
0,1
0,0
150
0,0
0,2
0,1
250


Предприятия (виды продукции)
Коэффициенты прямых затрат aij
Конечный продукт Y


1
2
3


1
1А
2А
ЗА
4А

2
1Б
2Б
ЗБ
4Б

3
1В
2В
3В
4В


Требуется:
1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Решение
Отрасли
Коэффициенты прямых затрат, аij
Конечный продукт, Y


1
2
3


1
0,1
0,2
0,1
200

2
0,2
0,1
0,0
150

3
0,0
0,2
0,1
250


А = , Y =
Найдем матрицу (Е-А):

- =
Вычислим определитель этой матрицы:
0,689
Транспонируем матрицу (Е-А):

Найдем алгебраические дополнения матрицы :





Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

Найдем матрицу В коэффициентов полных материальных затрат:


Матрица А продуктивна, т. к. все элементы матрицы В >0.
Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

Определим элементы первого квадранта:

т.е. элементы первого, второго и третьего столбцов заданной матрицы умножим на величину Х1 = 311,3, Х2 = 235,8, Х3 = 330,2 соответственно.
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.
Построим баланс производства и распределения продукции отраслей.
Производящие структуры
Потребляющие структуры


1
2
3
Конечная продукция
Валовая продукция

1
31,1
47,2
33,0
200
311,3

2
62,3
23,6
0,0
150
235,8

3
0,0
47,2
33,0
250
330,2

Условно чистая продукция
217,9
117,9
264,2
600


Валовая продукция
311,3
235,8
330,2

877,4


Задача 4
4.1. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этог