Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Контрольная работа Вариант №1 Выполнила Специальность № личного дела Группа Дисциплина ЭММ ПМ Преподаватель
Вариант №1 Задача 1.1. Условия задачи: Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год? Решение: Математическая модель имеет вид. F = 0,08x1 + 0,1x2 ? max - целевая функция (прибыль) x1 + x2 ? 300 x1 ? 2x2 = x1 -2x2 ?0 - ограничения по сумме вложений x2 ? 100 x1 ? 0; x2 ? 0; Управляющие переменные: x1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А , x2 – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно; F – прибыль. Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:
A B C D E F G H
1
2
3 переменные х1 х2
4 значения
<--свободные ячейки
5
6 цел-я функция коэф-ты Cj значение F
7
0,08 0,1
=СУММПРОИЗВ(В7:С7;В4:С4)
8
9 ограничения коэф-ты аij формула знак bi
10 1-ое 1 1
=СУММПРОИЗВ(В10:С10;В4:С4) <= 300
11 2-ое 1 -2
=СУММПРОИЗВ(В11:С11;В4:С4) >= 0
12 3-ие 0 1
=СУММПРОИЗВ(В12:С12;В4:С4) <= 100
Диалоговое окно программы «Поиск решения» Установить целевую ячейку $F$7 Равной О max значению Изменяя ячейки :$B$4:$C$4 Ограничения: $F$10<=$H$10 v Линейная модель $F$11>=$H$11 v Неотрицательные значения $F$12<=$H$12 Результат работы программы «Поиск решения»
через эти две точки проведем линию (L). 3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат ? (с1 ; с2 ); ? (0,08 ; 0,1 ). 4. При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции. x1 + x2 = 300 x2 =100 x1 = 300 -x2 x1 = 300 – 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26. 5. Ответ: max (F) =26 и достигается при x1 =200; x2 =100; Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед. 6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ?. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при x1 = 0; x2 = 0. Задача 2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации каждого вида продукции приведены в таблице. Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья
А Б В Г
I 1 2 1 0 18
II 1 1 2 1 30
III 1 3 3 2 40
Цена изделия 12 7 18 10
Требуется: 1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план с помощью теорем двойственности. 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида; оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья. Решение: 1. Математическая модель имеет вид. F = 18x1 + 30x2 + 40x3 ? min (стоимость ресурсов) x1 + x2 + x3 ?12 2x1 +x2 + 3x3 ?7 - стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы x1 + 2x2 +3x3 ?18 продукции, при нормах расходах сырья соответственно 0x1 + x2 +2x3 ?10 (А, Б, В, Г). Управляющие переменные: x1 – двойственная оценка или теневая цена 1–ого ресурса x2 – двойственная оценка или теневая цена 2–ого ресурса x3 – двойственная оценка или теневая цена 3–го ресурса Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:
A B C D E F G
1
2
3 переменные х1 х2 х3
4 значения
<--свободные ячейки
5
6 цел-я функция коэф-ты Cj значение F
7 F 18 30 40 =СУММПРОИЗВ(В7:D7;В4:D4)
8
9 ограничения коэф-ты аij формула знак bi
10 1-ое 1 1 1 =СУММПРОИЗВ(В10:D10;В4:D4) >= 12
11 2-ое 2 1 3 =СУММПРОИЗВ(В11:D11;В4:D4) >= 7
12 3-ие 1 2 3 =СУММПРОИЗВ(В12:D12;В4:D4) >= 18
13 4-ое 0 1 2 =СУММПРОИЗВ(В13:D13;В4:D4) >= 10
Диалоговое окно программы «Поиск решения» Установить целевую ячейку $E$7 Равной О min значению Изменяя ячейки :$B$4:$D$4 Ограничения: $E$10: $E$13>=$G$10: $G$13 v Линейная модель v Неотрицательные значения
Результат работы программы «Поиск решения»
A B C D E F G
1
2
3 переменные х1 х2 х3
4 значения 7 0 5 <--свободные ячейки
5
6 цел-я функция коэф-ты Cj значение F
7 F 18 30 40 326
8
9 ограничения коэф-ты аij формула знак bi
10 1-ое 1 1 1 12 >= 12
11 2-ое 2 1 3 29 >= 7
12 3-ие 1 2 3 22 >= 18
13 4-ое 0 1 2 10 >= 10
.
Результ. Нормир. Целевой Допустимое Допустимое
Ячейка Имя значение стоимость Коэффициент Увеличение Уменьшение
Ячейка Имя значение Цена Правая часть Увеличение Уменьшение
$E$10 1-ое формула 12 18 12 1E+30 4
$E$11 2-ое формула 29 0 7 22 1E+30
$E$12 3-ие формула 22 0 18 4 1E+30
$E$13 4-ое формула 10 11 10 14 4
3. Если продукция вошла в оптимальный план хj >0, то в двойственных оценках она не убыточна, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна ее цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимально. В нашей задаче – это предприятия вида А и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одной единицы продукции больше его цены, то это изделие не во
