Министерство образования Российской Федерации
ВОРОНЕЖСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Финансовая математика»
Задание 1.
Дан временной ряд, характеризующий объем кредитования коммерческим банком жилищного строительства (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пико;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Построение модели Хольта-Уинтерса.
Зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
Yp(t+k) = [ a(t) + k · b(t) ] · F(t+k-L) (1)
где k – период упреждения,
Yp(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
a(t) , b(t) и F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12). Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
a(t) =?1· Y(t) / F(t-L) + (1 - ?1) · [ a(t-1)+b(t-1) ] (2)
b(t) =?3· [ a(t) – a(t-1) ] + (1 - ?3) · b(t-1) (3)
F(t)=?2·Y(t) / a(t)+(1-?2)·F(t-L) (4)
Параметры сглаживания ?1 , ?2 и ?3 должны подбираться путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели). Для поставленной задачи параметры заданы в условии.
Из формул 1 – 4 видно, что для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель, имеет вид:
Yp(t) = a(0) + b(0)*t (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам (6-9):
EMBED Equation.3 (6)
a(0) = Ycp - b(0)·tср (7)
EMBED Equation.3 (8)
EMBED Equation.3 (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (то есть к данным за первые 2 года), находим значения a(0)= 33,893, b(0)= 0,774.
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=33,893+0,774·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (см. табл.1). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 3.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1-4.
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1) и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин
F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[30/34,67+32/37,76]/2= =0,86
Аналогично находим оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:
F(-2) = [ Y(2)/Yp(2) + Y(6)/Yp(6) ] / 2 = 1,08
F(-1) = [ Y(3)/Yp(3) + Y(7)/Yp(7) ] / 2 = 1,27
F(0) = [ Y(4)/Yp(4) + Y(8)/Yp(8) ] / 2 = 0,79
Oценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (1-4).
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Из уравнение 1, полагая t=0, k=1 находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)= 29.69
Из уравнение 2-4, полагая t=1 находим:
a(1)=?1*Y(1)/F(-3)+(1-?1)*[a(0)+b(0)]=34,78
b(1)=?3*[a(1)–a(0)]+(1-?3)*b(0)=0,81
F(1)=?2*Y(1)/a(1)+(1-?2)*F(-3)=0,86
Продолжая аналогично для t=2,3,4…,16, построим модель Хольта-Уинтерса (табл.3). Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примете данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение t равно 16.
Проверка качества модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)} поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%*abs{E(t)}/Y(t) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр.10 табл.1) составляет 34,90, что дает среднюю величину 34,90/16 = 2,18%.
Следовательно, условие точности выполнено.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
t* (a=0.05)N-1=15 = 2,13
Так как |t| < t* условие выполняется, средний уровень Е можно считать нулевым.
Проверка условия адекватности.
Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t) должен обладать свойствами:
а) случайности;
б) независимости последовательных уровней;
в) нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 9 табл. 1) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 11 табл. 1 для этой строки ставится 1, иначе в гр. 11 ставится 0. В первой и последней строке гр. 11 табл. 1 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р = 6.
Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
Функция int, означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16:
EMBED Equation.3
Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 6, q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков невыполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).
Проверку проводим двумя методами:
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона;
б) по первому коэффициенту автокорреляции r1.
Проверка по d-критерию Дарбина-Уотсона. Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d:
EMBED Equation.3 d = 4-2.76 = 1.24
Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное значение из 4.
Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями d1и d2. Для нашего случая d1=1.08, а d2=1.36.
Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна;
Если d1<d<d2, то критерий Дарбина –Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция.
1,08 < 1,24 < 1,36, область неопределенности. Данный критерий не дает ответ на вопрос о независимости уровней ряда остатков.
Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1).
Рассчитаем r1 по формуле
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r1 | < rтаб , то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32. Имеем:
| r1 | = 0,4 > rтаб = 0,32 значит уровни зависимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию.
Рассчитаем значение RS:
RS = ( Emax – Emin ) / S
где Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t)
Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (см. гр. 9 табл. 1)
S - среднее квадратическое отклонение
Emax = 2,36 Emin = - 1,63 , Emax – Emin = 2,36-(-1,63) = 3,99
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5% уровня значимости значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21
Так как 3,00 < 3,833 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, условия адекватности и точности выполнены не в полном объеме. Следовательно, говорить об удовлетворительном качестве модели нельзя, но так как по заданию необходимо провести прогноз показателя Yp(t) на 4 квартала вперед, то делать прогноз будем исходя из построенной модели.
Оценка точности.
Т = 100% - ?ср = 100 – 2,18 = 97,82 %, что больше 90%
Т.к. ?ср = 2,18 < 5% - точность высокая.
Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16) (см. табл.1), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1·b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1·b(16)]·F(13)=
= [ 48,02 + 1 * 0,92]· 0,89 = 43,46
Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20) (см. гр. 8 табл. 1)
