Контрольная работа №1
Задание №1
Из коробки, в которой 15 синих и 5 красных стержней для авторучки, наудачу вынимают стержень, фиксируют его цвет и возвращают обратно в коробку. После этого наудачу одновременно извлекают два стержня. Найти вероятность того, что за оба раза извлекли два красных стержня.
Решение:
Обозначим возможные события: EMBED Equation.3 - вынимают красный стержень при первом изъятии, событие EMBED Equation.3 - вынимают синий стержень при первом изъятии; событие EMBED Equation.3 - вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие EMBED Equation.3 - вынимают один красный стержень при втором изъятии, событие EMBED Equation.3 вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие С – за оба раза извлекли два красных стержня.
Имеем: EMBED Equation.3 , вычислим вероятность этого события:
EMBED Equation.3
Задание №2
По статистическим данным, в 20 % случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 ( по абсолютной величине).
Решение:
Вероятность события «вложить свои сбережения в коммерческий банк» p=0,2. По формулам интегральной теоремы Лапласа вероятность отклонения доли от вероятности этого события составит:
EMBED Equation.3 где EMBED Equation.3 - функция Лапласа, имеем
EMBED Equation.3 .
Задание №3
В коробке из 10 деталей -6 окрашенных. Составить закон распределения случайной величины X – числа окрашенных деталей среди трех извлеченных, если после регистрации наличия ( или отсутствия) окрашенности очередной извлеченной детали последняя возвращается назад в коробку. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины.
Решение:
Величина X принимает значение 0, 1, 2, 3. Вероятности рассчитываем по формуле Бернулли при n=3, P=0.6:
EMBED Equation.3
Вычислим теперь математическое ожидание этой случайной величины
EMBED Equation.3
Составим функцию распределения для случайной величины X:
EMBED Equation.3
Задание №4
Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:
EMBED Equation.3
Найти вероятность того, что в некотором испытании значение этой случайной величины окажется принадлежащим промежутку (-1; 1) и дисперсию D(X).
Решение:
Вероятность того, что случайная величина X сможет принять значение, находящееся между -1 и 1 находится через плотность вероятности по формуле: EMBED Equation.3
Задание №5
Вероятность того, что саженец вишни приживется, равна 0,9. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что среди 2000 посаженных саженцев число прижившихся будет заключено в границах от1850 до 1900? Как нужно изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.
Решение:
Для любой случайной величины, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
EMBED Equation.3 , для любого EMBED Equation.3 .
В задаче дано n=2000, p=0.9, математическое ожидание числа нестандартных деталей M(X)=n*p=1800. Неравенство Чебышева оценивает вероятность попадания X в симметрический интервал, поэтому чтобы его применить, следует задать симметрический интервал. Выбираем интервал(1700; 1900)- это интервал симметричный относительно математического ожидания M(X)=1800, Применяем неравенство Чебышева, EMBED Equation.3 D(X)=n*p*(1-p)=180. Получаем EMBED Equation.3 .