Контрольная работа № 1
Вычислить определитель матрицы С=А2 + 3А – Е разложением по второй строке, где EMBED Equation.3 , Е – единичная матрица. Являются ли столбцы матрицы С линейно независимыми?
РЕШЕНИЕ:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Поскольку EMBED Equation.3 , то столбцы матрицы С являются линейно независимыми.
2) Найти предел: EMBED Equation.3
РЕШЕНИЕ:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3) Найти производную функции: EMBED Equation.3
РЕШЕНИЕ:
EMBED Equation.3
4) Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см., а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть ширина и высота страницы, чтобы количество израсходованной бумаги было наименьшим?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х – ширина страницы, тогда (х-3) – ширина печатной страницы. Поскольку площадь печатной площади равна 432 (см2), то значит высота печатной площади равна EMBED Equation.3 см., а высота страницы равна EMBED Equation.3 см.
Тогда количество израсходованной бумаги равно EMBED Equation.3 см2
Пусть f(x) – количество израсходованной бумаги. Найдём минимум f(x) с помощью производной.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 не подходит, т. к. отрицательное число EMBED Equation.3 см. ширина страницы. Тогда высота страницы равна EMBED Equation.3
5) Составить уравнения касательных к графику функций EMBED Equation.3 , перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 и с осью EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 . Сделать чертеж.
РЕШЕНИЕ:
Найдём уравнение прямой, пересекающейся с осью EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 , а с осью EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Эта прямая имеет угловой коэффициент: EMBED Equation.3
Значит управления касательных к графику будут иметь угловой коэффициент EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Найдём точки на графике функции EMBED Equation.3 , в которых угловой коэффициент равен 2, т. е. такие, где EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
6) Исследовать функцию EMBED Equation.3 и схематично построить её график.
РЕШЕНИЕ:
EMBED Equation.3
Значит EMBED Equation.3 - чётная функция и график симметричен относительно оси EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 - не периодична, т. к. не содержит тригонометрических функций
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- точки перегибов EMBED Equation.3
Найдём асимптоты:
Вертикальных асимптот нет, т. к. нет точек разрыва.
EMBED Equation.3
Значит EMBED Equation.3 - горизонтальная асимптота, при EMBED Equation.3
Наклонных асимптот нет, поскольку есть горизонтальная.
