Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
филиал в г. Туле

Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант № 6

Выполнил: студент 3 курса
Абморшева И.В.
специальности: БУА и А
группа: вечерняя
№ л/д 06 убд 13246
Руководитель: Луценко А. Г.

Тула, 2009
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S?2; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения У, точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3
Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии EMBED Equation.3 используем формулы:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Построим следующую расчетную таблицу, используя MS Excel:

По данным таблицы рассчитываем значения параметров уравнения линейной регрессии:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Следовательно, искомое уравнение линейной регрессии будет иметь вид: EMBED Equation.3
Таким образом, при увеличении объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции (y) увеличится в среднем на 0,909 млн. руб., что свидетельствует об эффективности работы предприятия.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 . Построить график остатков.
Вычислим остатки по формуле EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 – значения у, вычисленные по модели EMBED Equation.3 .
Остатки рассчитываем в таблице, используя MS Excel:


Остаточная сумма квадратов равна EMBED Equation.3 .
Дисперсию остатков рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.


3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
1) Математическое ожидание случайной величины, как видно из таблицы, равно нулю: EMBED Equation.3 . Сумма всех остатков равна нулю. Предпосылка выполнена.
2) Случайный характер остатков (критерий поворотных точек):
EMBED Equation.3 , где
n – количество наблюдений;
р – количество поворотных точек, р = 5.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , следовательно, свойство случайности остатков выполняется.
3) Независимость уровней ряда остатков (отсутствие / наличие автокорреляции) проверяем с помощью Критерия Дарбина-Уотсона:
EMBED Equation.3
Определяем численное значение коэффициента, используя данные следующей таблицы:

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , находим EMBED Equation.3
Расчетное значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n=10 и к=1 (число факторов) нижнее значение d1=0,88, а верхнее d2=1,32.
Случаи, когда d1 ? d' ? d2 являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.
Расчетный показатель попал в область d1 ? d' ? d2 (0,88 ? 0,89 ? 1,32), следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков не принимается и не отвергается.
Поскольку ситуация оказалась неопределенной, воспользуемся первым
коэффициентом автокорреляции:
EMBED Equation.3
Так как фактическое значение коэффициента меньше табличного для 5%-ного уровня значимости – 0,6319, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.
4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверяем с помощью R/S-критерия:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2,67;3,57), т.е. 2,967 EMBED Equation.3 (2,67;3,57), значит, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.
5. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.
Расчетные значения для обнаружения гетероскедастичности представлены в следующей таблице:

Для обнаружения гетероскедастичности (нарушение гомоскедастичности), используем тест Гольдфельда-Квандта:
а) Упорядочим выборку из n-наблюдений по мере возрастания факторного признака x.

б) Совокупность наблюдений разделим на 2 группы, соответственно с малыми и большими значениями факторного признака х и определим по каждой из групп уравнение регрессии:
- для первой группы уравнение регрессии имеет вид EMBED Equation.3 ;
- для второй группы уравнение регрессии имеет вид EMBED Equation.3 .
в) Вычислим остаточную сумму квадратов:
- для первой регрессии, по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- для второй регрессии, по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Далее определяем расчетное значение F-критерия Фишера по формуле:
EMBED Equation.3 , так как EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Используя надстройки Excel, находим табличное значение F-критерия Фишера: F(0,05; 4; 4) = 6,389.
Сравниваем расчетное значение F-критерия Фишера с табличным значением. Поскольку Fрасч = 3,530 < Fтабл = 6,389, то остатки обладают свойством гомоскедастичности.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
Для оценки статистической значимости, существенности параметров модели парной регрессии EMBED Equation.3 , используем t-критерий Стьюдента. Расчетные значения t-статистики получаем путем сопоставления значения параметров ? (a) и ? (b) с величинами случайных ошибок этих параметров S? и S?:
EMBED Equation.DSMT4
Стандартные ошибки определяем по формулам:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Тогда:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Табличное значение t-критерия при EMBED Equation.3 и степенях свободы (10-2=8) составляет 2,306. Так как tрасч > tтабл, то это говорит о значимости параметров модели.
Для значимого уравнения регрессии строим интервальную оценку:
- для параметра EMBED Equation.3: EMBED Equation.3
?1: 0,909 ± 2,306 • 0,043
?1: 0,909 ± 0,099
Нижняя граница: 0,909 – 0,099 = 0,81
Верхняя граница: 0,909 + 0,099 = 1,008
?1: (0,81 EMBED Equation.3 1,008), следовательно, коэффициент регрессии ?1 значим, так как в эти границы не попадает 0.
- для свободного члена EMBED Equation.3: EMBED Equation.3 ,
?0: 12,242 ± 2,306 • 1,073
?0: 12,242 ± 2,474
Нижняя граница: 12,242 – 2,474 = 9,768
Верхняя граница: 12,242 + 2,474 = 14,716
?0: (9,768 EMBED Equation.3 14,716), следовательно, параметр ?0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
1) Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Качество данной модели высокое.
Таким образом, все изменения объема выпуска продукции в среднем обусловлены на 98,3% изменениями объема капиталовложений и на 1,7% – изменениями факторов, неучтенных в модели.
2) Для проверки значимости модели регрессии используем F-критерий Фишера:
- вычисляем расчетное значение Fрасч по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- определяем табличное значение Fтабл: F(0,05;1;8) = 5,318.
Так как, Fрасч > Fтабл , следовательно, то уравнение регрессии является. статистически значимым.
3) Для оценки точности регрессионной модели используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, которую находим по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Это означает, что в среднем расчетные значения EMBED Equation.3 отличаются от фактических значений на 3,193%.
Так как EMBED Equation.3 =3,193% < 7%, то ошибка считается приемлемой, что свидетельствует о хорошем качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.
Для прогнозирования результативного показателя подставим в уравнение EMBED Equation.3 значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения:
EMBED Equation.3
Тогда точечный прогноз составит: EMBED Equation.3
То есть при уровне значимости EMBED Equation.3 =0,1, если прогнозное значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 31,2, точечный прогноз среднего значения «Y» составит 40,6.
Точечный прогноз обычно сопровождают интервальным, поскольку трудно ожидать совпадения в будущем фактического значения y с EMBED Equation.3 прог. Интервальный прогноз задается с помощью доверительного интервала: EMBED Equation.3 , где U – величина отклонения от линии регрессии.
Величину U находим по формуле:
EMBED Equation.3
Стандартная ошибка – Sу = 1,226;
EMBED Equation.3 рассчитываем с помощью программы Excel – Мастера функций – СТЬЮДРАСПОБР (0,1;8); его значение составит EMBED Equation.3 =1,86.
EMBED Equation.3
В результате находим интервальный прогноз:
Верхняя граница: 40,60 + 2,47=43,07
Нижняя граница: 40,60 – 2,47 = 38,13
Таким образом, с вероятностью 80% объем выпуска продукции (Y, млн.руб.) при ожидаемых объемах капиталовложений (X, млн.руб.), будет находиться в пределах от 38,13 млн.руб. до 43,07 млн.руб.



7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.







8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
Гиперболической;
Степенной;
Показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Гиперболическая модель
Уравнение гиперболической модели парной регрессии EMBED Equation.3
Произведём линеаризацию модели путём замены EMBED Equation.3 .
В результате получим линейное уравнение EMBED Equation.3
Для получения необходимых значений построим следующую таблицу:

Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
EMBED Equation.3 .
В полученное уравнение регрессии подставляем имеющиеся значения х, таким образом, найдем теоретические значения EMBED Equation.3 . Затем по этим данным построим график гиперболической модели регрессии.


Степенная функция
Уравнение степенной модели имеет вид: EMBED Equation.3
Приведем это уравнение к линейному виду. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
EMBED Equation.3
Обозначим EMBED Equation.3 . Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии.
Найдем параметры линейного уравнения регрессии степенной функции используя данные следующей таблицы:

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,6767+0,6250Х.
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: EMBED Equation.3
Использовав функцию СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим уравнение степенной модели регрессии: EMBED Equation.3
Найдем теоретические значения EMBED Equation.3 , подставив имеющиеся значения х в полученное уравнение регрессии. По этим данным построим график степенной модели регрессии.


Показательная функция
Уравнение показательной кривой: EMBED Equation.3
Приведем это уравнение к линейному виду. Для этого также произведем логарифмирование обеих частей уравнения: EMBED Equation.3 .
Введем обозначения EMBED Equation.3 .
С учетом этих обозначений получим линейное уравнение регрессии: Y = A + Bx.
Найдем параметры линейного уравнения регрессии показательной функции используя данные следующей таблицы:

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=1,2405+0,0116х.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения: EMBED Equation.3
Использовав функцию СТЕПЕНЬ Мастера функций Excel, получим уравнение степенной модели регрессии: EMBED Equation.3
Построим график показательной модели регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
а) Линейная модель
Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (также его можно найти с помощью программы Регрессия надстройки Анализ данных пакета Excel):
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Качество данной модели высокое.
Это означает, что все изменения в объеме выпуска продукции обусловлены в среднем на 98,3% изменениями объема капиталовложений и на 1,7% – вариациями неучтенных в модели факторов.
Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
Значит, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,636%.
Средняя относительная ошибка аппроксимации для линейной модели была найдена в пункте 5 и она равна:
EMBED Equation.3
Это означает, что в среднем расчетные значения EMBED Equation.3 для линейной модели отличаются от фактических значений на 3,193%.

б) Гиперболическая модель
Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 89,5 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Коэффициент эластичности рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
Если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,485%.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 7,257 %.
в) Степенная модель
Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 98,3% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Коэффициент эластичности для степенной функции рассчитывается по формуле:
EMBED Equation.3
Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,625%.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения y для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,412 %.
г) Показательная модель
Коэффициент детерминации рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 97,6% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Коэффициент эластичности для показательной модели рассчитываем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,628%.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по формуле:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения y для показательной модели отличаются от фактических значений на 3,819 %.
Для сравнения моделей построим сводную таблицу результатов.
По данной таблице можно сделать вывод что, наилучшей является линейная модель, т.к. у нее наибольший коэффициент детерминации и наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.