ЗАДАНИЕ 1
В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
EMBED Equation.3
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 1
Произведем расчет:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Получим линейное уравнение вида: EMBED Equation.3
Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.
Таблица 2
Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное EMBED Equation.3 , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) EMBED Equation.3 . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
EMBED Equation.3
Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 3
Модель Хольта-Уинтерса
Проверка качества модели.
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности EMBED Equation.3 между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.
Таблица 4
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Проверка точности модели.
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.
Проверка условия адекватности.
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е EMBED Equation.3 сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем значение EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.
EMBED Equation.3
Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
EMBED Equation.3
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
EMBED Equation.3
Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е(t) являются независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения EMBED Equation.3 < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: EMBED Equation.3 =0,20 < rтабл. = 0,32 – значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - максимальное значение уровней ряда остатков EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 - минимальное значение уровней ряда остатков EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
S – среднее квадратическое отклонение.
Emax – Emin = 2,69 – (-1,43) = 4,13
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на год.
Расчет прогнозных значений экономического показателя.
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 (см. табл. 1.4) по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где k – период упреждения;
EMBED Equation.3 - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
EMBED Equation.3 - коэффициенты модели;
EMBED Equation.3 - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
EMBED Equation.3 - период сезонности.
Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных
ЗАДАНИЕ 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.
Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение
Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:
EMBED Equation.3 ,
где k = 2 / (n + 1),
EMBED Equation.3 - цена закрытия t-го дня;
EMBED Equation.3 - значение EMA текущего дня t.
Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня EMBED Equation.3 и цены n дней тому назад EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 - цена закрытия t-го дня.
EMBED Equation.3 - значение МОМ текущего дня t.
Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - цена закрытия t-го дня.
EMBED Equation.3 - значение ROC текущего дня t.
Таблица 1
Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней,
момента, скорости изменения цен
Для расчета индекса относительной силы используем формулу:
EMBED Equation.3 ,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 2
Результаты расчета индекса относительной силы
Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - значение индекса текущего дня t;
EMBED Equation.3 - цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 – минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - значение индекса текущего дня t;
EMBED Equation.3 - цена закрытия t-го дня;
L5 и Н5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 сглаживают, беря их трехдневную сумму.
EMBED Equation.3
Таблица 3
Результаты расчетов %R, %К, %D
ЗАДАНИЕ 3
3.1. Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
3.1.1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 365 = 550 000,00 руб.
3.1.2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73 / 360 = 557 638,89 руб.
3.1.3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74 / 360 = 565 277,78 руб.
3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб. Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение
P = S / (1 + ni) = 5 000 000 / (1 + 0,55 х 90 / 360) = 4 395 604,40 руб.
D = S – P = 5 000 000 – 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.
3.3. Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90 / 360 = 687 500,00 руб.
P = S – D = 5 000 000 – 687 500,00= 4 312 500,00 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
S = P x (1+i)n = 5 000 000 х (1+0,55)5 = 44 733 048,44 руб.
3.5. Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение
N = 5 x 4 = 20
S = P x (1+j / m)N = 5 000 000 х (1 + 0,55 / 4)20 = 65 765 497,67 руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.
Решение
iэ = (1 + j / m)m - 1 = (1 + 0,55 / 4)4 – 1 = 0,6742, т.е. 67,42%.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.
Решение
j = m x [(1 + iэ)1/m - 1] = 4 x [(1 + 0,55)(1/4) – 1] = 0,46316, т.е. 46,316%.
3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.
Решение
EMBED Equation.3 руб.
3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.
Решение
P = S (1 – dсл)n = 5 000 000 x (1 – 0,55)5 = 92 264,06 руб.
D = S – P = 5 000 000 – 92 264,06 = 4907735,94 руб.
3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
EMBED Equation.3 руб.
