ЗАДАЧА 1 Линейная функция y(t)=a+b*x(t) n = 7 t y(t) x(t) x(t)-xcp (x(t)-xcp) y(t)-ycp (y(t)-ycp) (x(t)-xcp)*
^2(квадр)
^2(квадр) (y(t)-ycp)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 36 60 -9,43 88,90 -6,00 36,00 56,57
2 38 68 -1,43 2,04 -4,00 16,00 5,71
3 46 64 -5,43 29,47 4,00 16,00 -21,71
4 44 72 2,57 6,61 2,00 4,00 5,14
5 48 78 8,57 73,47 6,00 36,00 51,43
6 42 74 4,57 20,90 0,00 0,00 0,00
7 40 70 0,57 0,33 -2,00 4,00 -1,14
28 294 486 0,00 221,71 0,00 112,00 96,00
Средн 42,00 69,43
Расчетн. Отклоне-
Относит x^2 x*y Расчетные формулы:
yp(t) ние E(t) E(t)^2 ошибка
ур(t)=а+b*x
9 10 11 12 13 14 E(t)=y(t)-yр(t)
37,92 -1,92 3,68 5,33 3600,00 2160,00
41,38 -3,38 11,43 8,90 4624,00 2584,00
39,65 6,35 40,33 13,81 4096,00 2944,00
43,11 0,89 0,79 2,01 5184,00 3168,00
45,71 2,29 5,24 4,77 6084,00 3744,00
43,98 -1,98 3,92 4,71 5476,00 3108,00
42,25 -2,25 5,05 5,62 4900,00 2800,00
294,00 0,00 70,43 45,14 33964,00 20508,00
Средн 4852,00 2929,71
Для оценки параметров модели используется метод наименьших квадратов. Значение параметра b можно найти по формуле: b = 96 / 221,71 = 0,4330 Также значение этого параметра вычисляется и по такой формуле: b =(2929.71 – 42 * 69.43)/(4852 - 69.43 ^ 2) = 0,4330 Значение параметра а можно найти по формуле: а = 42 - 0,4330 * 69,43 = 11,3381 Определение индекса корреляции. Индекс корреляции вычисляется по формуле: С помощью этого индекса оценивается теснота связи рассматриваемых признаков. Чем ближе его значение к единице, тем теснее связь. R = корень[ 1 - 70,43/112,00 ] = 0,6092 А также теснота связи рассматриваемых явлений оценивается с помощью коэффициента линейной корреляции r(x,y): r (x,y) = 96,00/ корень (112,00*221,71) = 0,6092 Чем ближе это значение по модулю к единице, тем теснее связь. В данном случае связь заметная. Определение коэффициента детерминации. Коэффициент детерминации вычисляется по формуле: R2 = 1-70,43/112,00 = 0,3711 Для линейной модели парной регрессии R2 = r2(x,y). Для оценки статистической значимости линейной модели парной регрессии используется критерий Фишера (F-критерий): так как число факторов k=1, k2=n-k-1=7-1-1=5. Если принять уровень значимости равным 0,05, k1=1, k2=5, то табличное значение F-критерия будет равно 6,61. F = 0,3711 / [(1 - 0,3711) / (7-2)] = 2,95 Расчетное значение критерия Фишера меньше табличного, следовательно, уравнение регрессии признается статистически незначимым. Определение средней относительной ошибки: Еотн. = 45,14 / 7 = 6,45 Прогнозное значение х = 69,43 + 0,1 * 69,43 = 76,37 ФОРМУЛА: Прогнозное значение у = 11,9381 + 0,4330 * 76,3714 = 45,01 ФОРМУЛА: Se = корень (70,43 / 5) = 3,7532 Коэффициент Стьюдента при ? = 0,1, m = n-2 = 5 равен 2,015 Погрешность прогноза U (?=0,1, n = 7) равна: U = 3,75 * 2,015 * КОРЕНЬ (1 + 1/7 + ((76,37-69,43)2) * 221,71) = 8,82 Верхняя граница прогноза: 45,01 + 8,82 = 53,83 Нижняя граница прогноза: 45,01 - 8,82 = 36,19 Степенная функция у = а * хb lg y=lg a+b lg x Y=A+bX t Y(t)=lg[y(t)] X(t)=lg[x(t)] X(t)-Xcp (X(t)-Xcp) Y(t)-Ycp (Y(t)-Ycp) (X(t)-Xcp)*
Для оценки параметров модели используется метод наименьших квадратов. Значение параметра b можно найти по формуле: b = 0,006394 / 0,00892 = 0,71687 Также значение этого параметра вычисляется и по такой формуле: b = ( 2,98418 - 1,6213 * 1,8401 ) / ( 3,38719 - 1,84012) = 0,7169 Значение параметра а можно найти по формуле: А = 1,6213 - 0,71687 * 1,8401 = 0,3022 lg y = lg a + b*lg x = 0,3022 + 0,71687 * lg x y(t) = 2,0052 * x(t) ^ (0,71687) Найдено потенцированием предыдущей строки y прог = 2,0052 * 76,37^ (0,71687) = 44,8723 Определение индекса корреляции. R = корень [ 1 - 70,769 / 112,00 ] = 0,6067 Следовательно, связь заметная. Коэффициент детерминации: R2 = 0,3681 Для оценки статистической значимости регрессии используется критерий Фишера (F-критерий): R = корень [ 1 - 70,769 / 112,00 ] = 0,6067 Следовательно, связь заметная. Коэффициент детерминации: R2 = 0,3681 Для оценки статистической значимости регрессии используется критерий Фишера (F-критерий): , так как число факторов k=1, k2=n-k-1=7-1-1=5. Если принять уровень значимости равным 0,05, k1=1, k2=5, то табличное значение F-критерия будет равно 6,61. F = 0,3681 / ((1 - 0,3681) / 5) = 2,91 Расчетное значение критерия Фишера меньше табличного, следовательно, уравнение регрессии признается статистически незначимым. Определение средней относительной ошибки: Еотн. = 44,730 / 7 = 6,39 Показательная функция y(t) = a * bx Логарифмируем обе части уравнения. lg y = lg a + х lg b = Y(t) = А + В*x(t) t Y(t)=lg[y(t)] x(t) x(t)-xcp (x(t)-xcp) Y(t)-Ycp (Y(t)-Ycp) (x(t)-xcp)*
Для оценки параметров модели используется метод наименьших квадратов. Значение параметра b можно найти по формуле: B = 1,0157 / 221,71 = 0,0046 Также значение этого параметра вычисляется и по такой формуле: B = (112,71 - 1,6213 * 69,43) / (4852,00 - 69,43*69,43) = 0,0046 Значение параметра а можно найти по формуле: А = 1,6213 - 0,0046 * 69,43 = 1,3032 Y(t) = А + В*x(t) = lg(y(t)) = lg(a) + lg(b)*x(t) После потенцирования получаем: y(t)pасчетное = 10^1,3032 * 10^ (0,004581) ^x(t) y(t)р = 20,10 * 1,0106^ x(t) y(t)прогнозное = 20,10 * 1,0106 ^ 73,37 = 44,9854 Определение индекса корреляции. R = корень [ 1 - 69,89 / 112,00 ] = 0,6132 Связь заметная. Коэффициент детерминации: R2 = 0,6132 ^ 2 = 0,3760 Для оценки статистической значимости регрессии используется критерий Фишера (F-критерий): , так как число факторов k=1, k2=n-k-1=7-1-1=5. Если принять уровень значимости равным 0,05, k1=1, k2=5, то табличное значение F-критерия будет равно 6,61. F = 0,3760 / [ (1 - 0,3760) / (7 -2) ] = 3,01 Расчетное значение критерия Фишера меньше табличного, следовательно, уравнение регрессии признается статистически незначимым. Определение средней относительной ошибки: Еотн. = 44,33 / 7 = 6,33 Гиперболическая функция y(t)=a*b/x(t)=a+b*(1/x(t))=a+b*X(t), где X(t)=1/x(t) t y(t) X(t)=1/x(t) X(t)-Xcp (X(t)-Xcp) y(t)-ycp (y(t)-ycp) (X(t)-Xcp)*
