МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
EMBED Unknown
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине финансовая математика
Вариант № 6







Задание 1.
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Таблица 1
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3;?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
EMBED Equation.3
где k - период упреждения;
Yp(t) - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
a(t), B(t), F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L - период сезонности (для квартальных данных L=4).
Коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:
Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные (таб. 1).
EMBED Equation.3
Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы. Линейная модель имеет вид:
Таблица 2
Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:

EMBED Equation.3




Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения a(0), b(0).
EMBED Equation.3
a(0) = Yср – b(0)*tср = 44,9 - 0,845*4,5=41,07.
Тогда линейное уравнение будет иметь вид: Yp(t)=41,07+0,845*t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.
(таб. 3).
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)
Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса. Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2= 0,8599,
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=1,0797;
F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=1,2797$
F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=0,7804;
Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул.
EMBED Equation.3
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая что t=0, k=1, находим Yp(1):
Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=36,04
Из уравнений, полагая, что t=1, находим:
a(1)=?1*Y(1)/F(-3)+(1-?1)*[a(0)+b(0)]=41,90
b(1)=?3*[a(1)-a(0)]+(1-?3)*b(0)= 0,84
F(1)=?2*Y(1)/a(1)+(1-?2)*F(-3)=0,8595;
Аналогично рассчитаем значения Yp(T), a(t). B(t) и F(t) для t=2
Yp(2)=[a(1)+1*b(1)]*F(-2)=46,15
a(2)=?1*Y(2)/F(-2)+(1-?1)*[a(1)+b(1)]=42,70
b(2)=?3*[a(2)-a(1)]+(1-?3)*b(1)=0,83
F(2)=?2*Y(2)/a(2)+(1-?2)*F(-2)=1,0782;

для t=3:
Yp(3)=[a(2)+1*b(2)]*F(-1)=55,71
a(3)=?1*Y(3)/F(-1)+(1-?1)*[a(2)+b(2)]=43,36
b(3)=?3*[a(3)-a(2)]+(1-?3)*b(2)=0,78
F(3)=?2*Y(3)/a(3)+(1-?2)*F(-1)=1,2729;

для t=4:
Yp(4)=[a(3)+1*b(3)]*F(0)=35,27
a(4)=?1*Y(4)/F(0)+(1-?1)*[a(3)+b(3)]=44,35
b(4)=?3*[a(4)-a(3)]+(1-?3)*b(3)=0,84
F(4)=?2*Y(4)/a(4)+(1-?2)*F(0)=0,7856

для t=5:
Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=38.84
a(5)=?1*Y(5)/F(1)+(1-?1)*[a(4)+b(4)]=45,25
b(5)=?3*[a(5)-a(4)]+(1-?3)*b(4)=0,86
F(5)=?2*Y(5)/a(5)+(1-?2)*F(1)=0,8609;
Продолжая аналогично для t=6,7,8,…16, строится модель Хольта-Уинтерса. При использовании MS Office Excel составим следующую таблицу с введением соответствующих формул в нужные ячейки, что облегчит процесс вычисления (таб. 4).
Таблица 4 LINK Excel.Sheet.8 "C:\\Documents and Settings\\Администратор\\Рабочий стол\\контр работа по фин мат-ке.xls" "Лист1!R147C1:R169C9" \a \f 4 \h \* MERGEFORMAT

Проверка точности модели
Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 8,00, что дает среднюю величину 8,00/16=0,5%. -0,5<5%
Следовательно, условие точности выполнено.
Проверка условия адекватности.
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл.5).
Таблица 5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=8
Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=8, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков.
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона
EMBED Equation.3
В нашем случае d2<d<2, 1,37<1,987<2. Уровни ряда остатков являются независимыми.
б) по первому коэффициенту автокорреляции
EMBED Equation.3


Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1)<r табл., то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)|=0,122<rтаб=0,32 – условие независимости выполняется.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax – Emin)/S,
где Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t),
Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t),
S - среднее квадратическое отклонение;
EMBED Equation.3
Emax=2,121
Emin=-0,934
RS= (2,121-(-0,934))/0,92=3,41
Полученное значение попадает в заданный интервал, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построение точечного прогноза
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20).
Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16.
Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).
Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)=49,7
Yp(18)=Yp(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16+2-4)=62,2
Yp(19)=Yp(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16+3-4)=74,7
Yp(20)=Yp(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16+4-4)= 46,2
Рис. 1

Задание № 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных (таб. 6).
Таблица 6
Решение:
Экспоненциальная скользящая средняя.
EMAt= Ct*k+EMAt-1*(1-k),
где k=2/(n+1)
Ct – цена закрытия t-го дня
Таблица 7
Расчет 10-дневной ЕМА и ее сравнение с МА
Момент
MOMt=Ct – Ct-n
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении
Скорость изменения цен
EMBED Equation.3
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.
Индекс относительной силы
EMBED Equation.3 ,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 8
Расчет МОМ, ROC и RSI
Стохастические линии (таб. 9).
%Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5);
%Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);
EMBED Equation.3 ;
где Ct – цена закрытия текущего дня.
L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
Таблица 9

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6
Задание №3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 10. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
Таблица 10
Банк выдал ссуду, размером 3 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 14.01.02, возврата – 18.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 35 % годовых. Найти:
точные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
I = S·n·i
где n = t/K
t=17+28+17+1=63
К = 365; t = 63; I = 3 000 000 · 63 / 365 · 0,35 = 181 232,88 руб.;
К = 360; t = 53; I = 3 000 000 · 63 / 360 · 0,35 = 183 750 руб.;
t = 16 + 30 + 18 = 64
К = 360; t = 64; I = 3 000 000 · 64 / 360 · 0,35 = 186 666,67 руб.
Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 3 000 000 руб. Кредит выдан под 35% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
EMBED Equation.3 - первоначальная сумма;
D = S – P - дисконт.
EMBED Equation.3 2 758 620,69 руб.
D = 3 000 000 – 2 758 620,69 = 241 379,31 руб.
Через 9 дней предприятие должно получить по векселю 3 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
D = S·n·d - дисконт;
P = S – D - полученная сумма.
D = 3 000 000 · 0.35 · 90 / 360 = 262 500 руб.
P = S – D = 3 000 000 – 262 500 = 2 737 500 руб.
В кредитном договоре на сумму 3 000 000 руб. и сроком 5 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 35% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
S = P(1+i)n
S = 3 000 000 · (1 + 0.35)5 = 13 452 099 руб.
Ссуда, размером 3 000 000 руб. предоставлена на 5 года. Проценты сложные, ставка – 35% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
S = P(1+j/m)N
Число периодов начисления в году m=4
S = 3 000 000 · (1+0,35 / 4)20 = 16 058 552 руб.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 35% годовых.
Решение:
iэ = (1+j/m)m – 1
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
iэ = (1+0,35/4)4 – 1 = 0,3986 или 39,86%
Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 35% годовых.
Решение:
j = m[( 1+iэ )1/m – 1]
j = 4·[( 1+0.35)1/4 – 1] = 0,3116 т.е. 31,16%
Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 35% годовых.
Решение:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 669 040,5 руб.
Через 5 года по векселю должна быть выплачена сумма 3 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 35% годовых. Определить дисконт.
Решение:
P = S(1 - dсл)n
где dсл – сложная годовая учетная ставка
P = 3 000 000 · (1 – 0,35)5 = 348 087 руб.
D = S – P = 3 000 000 – 348 087 = 2 651 913 руб.
В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3 000 000, на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 35%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 25 061 522 млн. руб.