Задания к контрольной работе по дисциплине «Эконометрика»
Вариант задания к контрольной работе выбирается по учебному пособию [1, стр. 63 - 65]:
Таблица 1
Задание № 1
Исходные данные:
Таблица 2
1) определить наличие тренда EMBED Equation.3 ;
2) построить линейную модель EMBED Equation.3 , параметры которой оценить с помощью МНК;
2) оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
? случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
? независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого EMBED Equation.3 ;
? нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
4) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности EMBED Equation.3 используйте коэффициент EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 );
Решение
1. Определение наличия тренда EMBED Equation.3
Динамический ряд EMBED Equation.3 является временным, так как изменение экономического показателя EMBED Equation.3 происходит в зависимости от времени EMBED Equation.3 .
Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то в этом случае говорят о наличии тренда.
Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, т.е. основная тенденция изменения временного ряда.
Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней.
Разобьем динамический ряд EMBED Equation.3 на две части, каждая из которых представляет собой самостоятельную выборочную совокупность, имеющую нормальное распределение:
EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - уровни ряда;
EMBED Equation.3 - число уровней ряда.
Принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей. По каждой части ряда рассчитаем значение среднего уровня и дисперсию.
Значения средних уровней рассчитаем по формулам:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Дисперсии для каждой части ряда рассчитаем по формулам:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 9,666.
Проверяем однородность дисперсии для первой и второй групп наблюдения.
Рассчитаем EMBED Equation.3 - критерий Фишера по формуле:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
По таблице «Значения EMBED Equation.3 - критерия Фишера при уровне значимости EMBED Equation.3 » определяем табличное значение критерия Фишера EMBED Equation.3 [2, с. 111, 112].
Поскольку EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 , дисперсии однородны, т.е. различаются не значительно, а расхождение между ними носит случайный характер.
Проверяем гипотезу о равенстве средних уровней (отсутствие тренда):
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем дисперсию для всего ряда по формуле:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем EMBED Equation.3 - критерий Стьюдента по формуле:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
По таблице «Значения EMBED Equation.3 - критерия Стьюдента при уровне значимости EMBED Equation.3 » на основе заданной вероятности 0,95 и числа степеней свободы EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 определяем табличное значение EMBED Equation.3 - критерия Стьюдента [2, с. 113]:
EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то нулевая гипотеза о равенстве средних уровней отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании тренда в исходном временном ряду EMBED Equation.3 .
Определение наличия тренда в исходном временном ряду можно осуществить с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel.
Производим ввод исходных данных:

Рис. 1. Ввод исходных данных
На основании исходных данных строим поле корреляции и добавляем линию тренда (рис. 2):
? в главном меню выбираем Вставка/Диаграмма и строим поле корреляции;
? в области построения диаграммы выделяем график, нажимаем правую кнопку мыши и из контекстного меню выбираем команду Добавить линию тренда;
? в диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем Линейная, на вкладке Параметры выбираем Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации EMBED Equation.3 .

Рис. 2. Определение наличия тренда
Из графика динамического ряда EMBED Equation.3 видно наличие возрастающей тенденции, что может свидетельствовать о возможности существования линейного тренда.
Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней, для чего разбиваем динамический ряд EMBED Equation.3 на две самостоятельные выборочные совокупности (Рис. 2).
С помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel определяем EMBED Equation.3 - критерий Фишера и проводим двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.
Для этого:
? в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 3). Щёлкаем по кнопке ОК.
? заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 4): интервал переменной 1 - $B$3:$B$7, интервал переменной 2 - $B$8:$B$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щёлкаем по кнопке ОК.
Получаем результаты расчета Двухвыборочного F-теста для дисперсии (табл. 3).

Рис. 3. Анализ данных Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Рис. 4. Двухвыборочный F-тест для дисперсии
Таблица 3
Осуществляем перевод по формулам:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Поскольку EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 , дисперсии однородны, т.е. различаются не значительно, а расхождение между ними носит случайный характер.
Аналогично с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel проводим двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.
Для этого:
? в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 5). Щёлкаем по кнопке ОК.

Рис. 5. Анализ данных Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
? заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный t-тест c одинаковыми дисперсиями (рис. 6): интервал переменной 1 - $B$3:$B$7, интервал переменной 2 - $B$8:$B$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щёлкаем по кнопке ОК.

Рис. 6. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
Получаем результаты расчета Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями (таблица 4).
Так как EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то нулевая гипотеза о равенстве средних уровней отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании тренда в исходном временном ряду EMBED Equation.3 .

Таблица 4
2. Построение линейной модели EMBED Equation.3
Линейная модель регрессии описывается уравнением вида:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - постоянная величина (свободный член уравнения);
EMBED Equation.3 - коэффициент регрессии.
Построение этой модели сводится к определению параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 по существующим исходным данным.
Классический подход при определении параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 основан на методе наименьших квадратов (МНК). Содержание данного метода состоит в том, чтобы подобрать такие значения параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений EMBED Equation.3 от расчетных EMBED Equation.3 была бы минимальной:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Таким образом, решается задача оптимизации:
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Исходя из этих двух условий, получается система нормальных уравнений:
EMBED Equation.3 .
Откуда
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - средние значения;
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - текущие значения;
EMBED Equation.3 - число уровней ряда.
Построим линейную модель регрессии EMBED Equation.3 .
Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 5.
Таблица 5
Определим коэффициент регрессии:
EMBED Equation.3 .
Определим значение постоянной величины:
EMBED Equation.3 .
Уравнение линейной регрессии EMBED Equation.3 имеет вид:
EMBED Equation.3 .
Аналогично можно получить параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа данных в МS Еxcel .
Для этого:
? в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис. 7). Щёлкаем по кнопке ОК.
? заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис. 8): входной интервал Y - $C$3:$C$11, входной интервал X - $B$3:$B$11; параметры вывода – Новый рабочий лист; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щёлкаем по кнопке ОК.

Рис. 7. Анализ данных

Рис. 8. Регрессия
Получаем результаты расчета Регрессия (таблица 6).
Таблица 6
Во втором столбце таблицы 6 содержатся коэффициенты уравнения регрессии EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение линейной регрессии EMBED Equation.3 имеет вид:
EMBED Equation.3 .
3. Оценка адекватности уравнения модели
Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна. Под адекватностью понимается соответствие модели исследуемому процессу, т.е. наблюдается соответствие значений, определенных по кривой роста, EMBED Equation.3 фактическим данным EMBED Equation.3 .
Модель является адекватной, если значения остаточной последовательности ( EMBED Equation.3 ) удовлетворяют ряду требований:
? значения остаточной последовательности EMBED Equation.3 должны быть случайными величинами;
? значения остаточной последовательности должны быть независимыми случайными величинами, т.е. не должно наблюдаться автокорреляции в остаточной последовательности.
? значение EMBED Equation.3 должны быть распределены по нормальному закону;
? математическое ожидание значений остаточной последовательности должно быть близким к нулю.
а) оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков
Для оценки случайности остаточной компоненты построенной модели исследуем ряд остатков отклонений расчетных значений EMBED Equation.3 от фактических EMBED Equation.3 . Для этого проведем предварительные расчеты, результаты которых приведены в таблице 7.
Таблица 7
Определим количество поворотных точек, т.е. таких точек, значение уровня в которых одновременно больше соседних с ним или, наоборот, одновременно меньше предыдущего и последующего за ним уровня.
Введем обозначения: 1 – точка поворота; 0 – отсутствие точки поворота.
Из расчета (таблица 7) и графика остатков (рис. 9) видно, что количество поворотных точек EMBED Equation.3 .

Рис. 9. График остатков
Критическое число поворотных точек определяется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), то свойство случайности остаточной компоненты выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
б) оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию
Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
EMBED Equation.3 ,
По данным таблицы 7:
EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 попадает в интервал EMBED Equation.3 , то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. В этом случае критерий преобразуется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Вычисленное значение EMBED Equation.3 попадает в интервал EMBED Equation.3 , следовательно, значения остаточной последовательности EMBED Equation.3 являются независимыми случайными величинами, т.е. в остаточной последовательности не наблюдается автокорреляции. Модель адекватна по d-критерию Дарбина - Уотсона, поэтому нет необходимости в проверке адекватности модели по первому коэффициенту корреляции.
в) оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию
Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины EMBED Equation.3 к стандартному отклонению EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - максимальный и минимальный уровни ряда остатков;
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение;
EMBED Equation.3 - среднее значение ряда остатков;
n – количество уровней ряда.
Берем значения из таблицы 7: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Так как EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Тогда
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 , то значения остаточной компоненты EMBED Equation.3 не случайны. Модель не адекватна по R/S-критерию.
г) оценка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков
Из таблицы 7 видно, что среднее значение ряда остатков равно нулю ( EMBED Equation.3 ), следовательно, расчетное значение t-критерия Стьюдента:
EMBED Equation.3 ,
т.е. условие EMBED Equation.3 выполняется.
Следовательно, гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. Модель адекватна по данному критерию.
Общие выводы:
- линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики, кроме исследования оценки нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию, соответственно для построения точечного и интервального прогноза на два шага вперед, необходимо провести оценку точности модели (п.4), и если ошибка не будет превосходить 15%, то модель будет считаться приемлемой.
- модель может быть использована для построения прогнозных оценок.
4. Оценка точности модели
Точность модели характеризуется величиной отклонения фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем, с использованием трендовой модели.
В качестве статистических показателей точности применяются среднеквадратическое отклонение и средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации.
Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:
EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 , то из таблицы 7 видно, что EMBED Equation.3 .
Тогда,
EMBED Equation.3 .
Средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации определяется по формуле:
EMBED Equation.3 .
Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 8.
Таблица 8
Окончательно: EMBED Equation.3 .
Так как EMBED Equation.3 , то модель является адекватной и достаточно точной, поэтому она может быть использована для краткосрочного прогноза.
5. Точечный и интервальный прогнозы
EMBED Equation.3
Для периода упреждения на EMBED Equation.3 шаг вперед:
EMBED Equation.3 ,
Для периода упреждения на EMBED Equation.3 шага вперед:
EMBED Equation.3 .
Подставив полученные значения EMBED Equation.3 в линейную модель, получим точечные прогнозы:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Интервальный прогноз рассчитывается по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где доверительный интервал
EMBED Equation.3 .
Тогда, при табличном критерии Стьюдента EMBED Equation.3
для EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
для EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Интервальный прогноз на два шага вперед при уровне вероятности EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Результаты прогнозных оценок по модели регрессии представлены в таблице 9.
Таблица 9
Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования представлены на рис. 10.

Рис. 10. Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования
Задание № 2
Исходные данные:
Таблица 10
1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции EMBED Equation.3 с EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной EMBED Equation.3 ;
2) построить линейную однопараметрическую модель регрессии EMBED Equation.3 ;
3) оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
4) для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и EMBED Equation.3 -коэффициент;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности EMBED Equation.3 используйте коэффициент EMBED Equation.3 ). Прогнозные оценки фактора EMBED Equation.3 на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).
Решение
1. Матрица коэффициентов парной корреляции EMBED Equation.3 с EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
На основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции определяют взаимную зависимость переменных.
Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
EMBED Equation.3 .
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента EMBED Equation.3 приведены в таблице 11.
Тогда EMBED Equation.3 .
Таблица 11
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента EMBED Equation.3 приведены в таблице 12.
Таблица 12
Тогда EMBED Equation.3
Для построения полной матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо вычислить коэффициент EMBED Equation.3 (таблица 13).
Тогда
EMBED Equation.3 .
Таким образом, матрица коэффициентов парной корреляции, построенная по вычисленным значениям, имеет вид (таблица 14).
Таблица 13
Таблица 14
Аналогично с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel проводим корреляционный анализ. Для этого:
? в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щёлкаем по кнопке ОК.
? заполняем формы в диалоговом окне Корреляция: входной интервал - $B$3:$D$11, выходной интервал - $A$13. Щёлкаем по кнопке ОК.
Результаты расчета приведены на рис. 11.

Рис. 11. Результаты корреляционного анализа
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что фактор EMBED Equation.3 наиболее тесно связан с зависимой переменной EMBED Equation.3 , так как EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 наиболее близок к 1.
2. Построение линейной однопараметрической
модели регрессии EMBED Equation.3
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии для EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
Так как данная модель линейна относительно параметров EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , то для их оценки применим метод наименьших квадратов. Тогда:
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - средние значения;
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - текущие значения;
EMBED Equation.3 - число уровней ряда.
Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 15.
Таблица 15
Определим коэффициент регрессии:
EMBED Equation.3 .
Определим значение постоянной величины:
EMBED Equation.3 .
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
EMBED Equation.3 .
Аналогично можно получить параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа данных в МS Еxcel.
Для этого:
? в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис. 12). Щёлкаем по кнопке ОК.

Рис. 12. Анализ данных
? заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис. 13): входной интервал Y - $B$3:$B$11, входной интервал X - $C$3:$C$11; параметры вывода – Выходной интервал - $А$63; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щёлкаем по кнопке ОК.

Рис. 13. Регрессия
Получаем результаты расчета Регрессия (таблица 16).
Таблица 16
Во втором столбце таблицы 16 содержатся коэффициенты уравнения регрессии EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
EMBED Equation.3 .
Результаты расчета по модели регрессии приведены в таблице 17.
Таблица 17
3. Оценка адекватности и точности линейной
однопараметрической модели регрессии
Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:
? в адекватности вида уравнения модели;
? в статистической значимости модели регрессии в целом (F-критерий Фишера);
? в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;
? в точности модели (в качестве меры точности используют оценки значений ошибок).
3.1. Оценка адекватности уравнения модели
Уравнение модели является адекватным, если:
? математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко нулю (t-критерий Стьюдента);
? значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);
? значения остаточного ряда независимы (d-критерий Дарбина-Уотсона);
? значения остаточного ряда подчинены нормальному закону (R/S-критерий).
а) t-критерий Стьюдента
Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической нулевой гипотезы EMBED Equation.3 . С этой целью находим t-критерий Стьюдента.
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение;
EMBED Equation.3 - среднее значение ряда остатков;
EMBED Equation.3 – текущие значения уровней ряда остатков;
n – количество уровней ряда.
Если расчетное значение t < tтабл , то гипотеза Н0 принимается.
Промежуточные результаты расчетов, проведенных для t-критерия Стьюдента, а также остальных критериев адекватности (рассчитанных в порядке аналогичном описанному в Задании I), приведены в таблице 18.
Среднеквадратическое отклонение:
EMBED Equation.3 .
t-критерий Стьюдента:
EMBED Equation.3 .
Так как расчетное значение t-критерия Стьюдента близко к нулю и меньше табличного значения, например, tтабл (1-?)=0,9 m=7 = 1, 8946, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда выполняется. Модель адекватна по данному критерию.