МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ПО ДИСИЦИПЛИНЕ: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ВАРИАНТ 8 Выполнила Студентка 2 курса Специальность ФиК № зач. книжки Преподаватель БРЯНСК 2005 Контрольная работа №1 Задание №1 Из коробки, в которой 15 синих и 5 красных стержней для авторучки, наудачу вынимают стержень, фиксируют его цвет и возвращают обратно в коробку. После этого наудачу одновременно извлекают два стержня. Найти вероятность того, что за оба раза извлекли два красных стержня. Решение: Обозначим возможные события: - вынимают красный стержень при первом изъятии, событие - вынимают синий стержень при первом изъятии; событие - вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие - вынимают один красный стержень при втором изъятии, событие вынимают два красных стержня при втором изъятии, событие С – за оба раза извлекли два красных стержня. Имеем: , вычислим вероятность этого события:
Задание №2 По статистическим данным, в 20 % случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 ( по абсолютной величине). Решение: Вероятность события «вложить свои сбережения в коммерческий банк» p=0,2. По формулам интегральной теоремы Лапласа вероятность отклонения доли от вероятности этого события составит: где - функция Лапласа, имеем . Задание №3 В коробке из 10 деталей -6 окрашенных. Составить закон распределения случайной величины X – числа окрашенных деталей среди трех извлеченных, если после регистрации наличия ( или отсутствия) окрашенности очередной извлеченной детали последняя возвращается назад в коробку. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины. Решение: Величина X принимает значение 0, 1, 2, 3. Вероятности рассчитываем по формуле Бернулли при n=3, P=0.6:
0 1 2 3 Итого
0,064 0,288 0,432 0,216 1,0
Вычислим теперь математическое ожидание этой случайной величины
Составим функцию распределения для случайной величины X:
Задание №4 Плотность вероятности случайной величины X имеет вид:
Найти вероятность того, что в некотором испытании значение этой случайной величины окажется принадлежащим промежутку (-1; 1) и дисперсию D(X). Решение: Вероятность того, что случайная величина X сможет принять значение, находящееся между -1 и 1 находится через плотность вероятности по формуле: Задание №5 Вероятность того, что саженец вишни приживется, равна 0,9. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что среди 2000 посаженных саженцев число прижившихся будет заключено в границах от1850 до 1900? Как нужно изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы. Решение: Для любой случайной величины, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева , для любого . В задаче дано n=2000, p=0.9, математическое ожидание числа нестандартных деталей M(X)=n*p=1800. Неравенство Чебышева оценивает вероятность попадания X в симметрический интервал, поэтому чтобы его применить, следует задать симметрический интервал. Выбираем интервал(1700; 1900)- это интервал симметричный относительно математического ожидания M(X)=1800, Применяем неравенство Чебышева, D(X)=n*p*(1-p)=180. Получаем .