Вычислить определитель матрицы С = А2 + 3А – Е разложением по второй строке, где А = QUOTE Е – единичная матрица. Являются ли столбцы матрицы С линейно независимыми?
Решение:
Вычислим матрицу С.
А2 = А*А
Произведением матриц А*В называется такая матрица С, каждый элемент
mxk kxn mxn
которой Cij равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.
k
Сij = ? ais * bsj, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.
s = 1
A2 = QUOTE * QUOTE = QUOTE = QUOTE .
Произведением матрицы А на число ? называется матрица В = ?*А, элементы которой bij = ?aij для
i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.
3*A = 3 QUOTE = QUOTE .
E = QUOTE – единичная матрица.
Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А+В, элементы которой
Сij = aij+bij для i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.
С QUOTE + QUOTE – QUOTE = QUOTE =
= QUOTE .
Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется
Aij = (-1)i+j * Mij.
Mij – минор элемента аij – это определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Вычислим определитель матрицы С разложением по второй строке матрицы.
?с =| QUOTE = 10 * (-1)2+1 * QUOTE + 3 * (-1)2+2 * QUOTE – 2 *(-1)2+3 * QUOTE =
-10* (-1+25) + 3*(0+85) + 2*(0+17) = -240 + 255 + 34 = 39.
Выясним являются ли столбцы матрицы С = QUOTE линейно независимыми.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличимых от нуля миноров этой матрицы.
Для квадратной матрицы n – го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
?с = 39 ? 0. Значит, С – невырожденная матрица. Её ран равен 3.
И по теореме: ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы) r(C) = 3. Значит и число линейно независимых столбцов равно 3. Значит, все столбцы матрицы С – линейно независимыми.
Ответ: Определитель матрицы С ?с = 39. Все столбцы С линейно независимы.
Найти предел.
QUOTE 1-2х
Решение:
у = QUOTE - непрерывная функция. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
QUOTE 1-2х = QUOTE 1-2х) Если предел QUOTE = a; QUOTE то
QUOTE
Найдем QUOTE 1-2х = [1?] = QUOTE )1-2х = QUOTE )1-2х = QUOTE )1-2х =
= [обозначим QUOTE =t; 4+3x=-3t; 3x = -3t-4; x = QUOTE ] = QUOTE )1-2/3 (-3t-4) = QUOTE )2t+11/3 =
при х>+? t>-?
QUOTE )t)2 * ( QUOTE )11/3) = [по второму замечательному пределу QUOTE )t = e] = e2*1=e2.
Тогда QUOTE 1-2х = QUOTE 1-2х = QUOTE 2
Ответ: QUOTE 1-2х ? 2,896
Найти производную функции у = 3*2-х?n3(2+2х);
Решение:
Применяемые формулы:
y' = (3·2-x(-1)·?n2) ?n3 (2+2x) + 3·2-x · 3?n2 (2+2x) · QUOTE x · (0+2x?n2) =
= -3·2-x?n2·?n3(2+2x)+9·?n2(2+2x) · QUOTE = 3·?n2(2+2x)·?n2(-2-x·?n(2+2x) + QUOTE );
Ответ: у' = 3·?n2(2+2x)·?n2( QUOTE ).
Площадь, занимаемая печатным текстом составляет на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть ширина и высота страницы, чтобы количество израсходованной бумаги было наименьшим.
Решение:
Обозначим х – ширина страницы (см); у – высота страницы (см).
Площадь страницы, S = x · y должна быть минимальной.
2
1,5 1,5
2 Ширина текста х-3 (см),
432 см2 Высота текста у – 4 (см).
у
х
Площадь текста: QUOTE = (х-3) · (у-4); 432 = (х-3) · (у-4). Отсюда: у – 4 = QUOTE ; у = 4 + QUOTE ; у = QUOTE ; у = QUOTE . Тогда S = х · QUOTE ; или S = QUOTE ; По условию задачи х > 3.
Исследуем функцию S = QUOTE ; х є (3,+?) на наибольшее и наименьшее значения.
Находим критические точки
S' = 4 · QUOTE = QUOTE = QUOTE .
Находим критические точки
S' = 0 => QUOTE = 0 => х2 – 6х – 315 = 0; х1,2 = 3 ± QUOTE = 3 ± QUOTE = 3 ± 18. х1 = -15¢ (3, +?) (не рассматриваем) х2 = 21 є (3, +?).
Находим значение S (21);
S (21) = QUOTE = 588 (см2)
Исследуем концы промежутка.
QUOTE = [ QUOTE ] = +?
QUOTE = [ QUOTE , правило Лопиталя] = QUOTE = +?
Вывод: наименьшее значение, равно 588 функция достигает при х=21. Ширина страницы 21 см.
Высота страницы: у = 4+ QUOTE = 4+24 = 28 (см)
Ответ: наименьшее количество бумаги будет израсходовано, если ширина страницы 21 см, высота страницы 28 см.
5. Составить уравнения касательных к графику функции у = х3 – х, перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью Ох в точке х=6 и с осью Оу в точке у=3. Сделать чертёж
Решение:
Исходя из геометрического смысла производной, уравнение касательной к графику функции, проведенной в точке (х0,у0), имеет вид:
у – у0 = f ' (x0)(x-x0). (1)
Найдем f ' (х) = (х3 – х)' = 3х2 – 1; касательная перпендикулярна прямой, отсекающей на оси Ох отрезок, равный 3. Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид: QUOTE + QUOTE = 1.
Тогда QUOTE + QUOTE = 1 или х+2у = 6 Или: у = - QUOTE х + 3. Угловой коэффициент этой прямой QUOTE = - QUOTE ; Условие перпендикулярности прямых k1 · k2 = -1. Угловой коэффициент касательной QUOTE = 2.
М1 (+1;0); у – 0 = 2 (х-1); 2х – у – 2 = 0.
М2 (-1;0); у – 0 = 2 (х-(-1)); у – 0 = 2х + 2; 2х – у + 2 = 0;
Выполним построения.
2х – у – 2 = 0 2х – у + 2 = 0 у = х3 – х, - кубическая парабола
у ' = 3х2 – 1; у ' = 0 при х = - QUOTE , х = QUOTE ? 0,6.
+ - + знак у '
- QUOTE QUOTE х
max
min y
2x-y+2=0
3 2x-y-2=0
M2 0 M1 6 x
x + 2y = 6
y=x3-x
Ответ: Касательные к кривой у = х2-х, перпендикулярные прямой х+2у = 6
2х – у + 2 = 0;
2х – у – 2 = 0.
Исследовать функцию у = QUOTE · QUOTE и схематично построить её график.
Решение:
Область определения:
х є (-?,+?), т.к. х2 и QUOTE определены при любых значениях х.
Непрерывность.
у1 = х2 непрерывна как квадратичная функция (х є (-?,+?))
у2 = QUOTE непрерывна как сложная показательная функция: у2 = е u , u = 1-x2 при х є (-?,+?).
Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Значит, у = QUOTE · QUOTE непрерывна при всех х є (-?,+?).
Четность, нечетность
f (-х) = (-х)2 · QUOTE = QUOTE · QUOTE = f(х).
Данная функция – четная. Её график симметричен относительно оси Оу.
Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва II рода. Невертикальные асимптоты имеют вид
у = k·x +b, где k = QUOTE ; b = QUOTE ( f (x) – kx).
Найдем k = QUOTE = QUOTE = QUOTE x QUOTE = [?·0 - неопределенность] = QUOTE = [ QUOTE ,правило Лопиталя] = QUOTE = [ QUOTE ].
b = QUOTE = [?·0] = QUOTE = [ QUOTE ] = QUOTE = = QUOTE = [ QUOTE ] = 0
y = 0 – правая невертикальная асимптота. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, то у = 0 является и левой невертикальной асимптотой. Т.Е. у = 0 – асимптота.
Монотонность. Экстремум.
Находим у ';
у ' = 2х QUOTE + QUOTE · (-2х); у ' = 2х QUOTE · (1 - QUOTE ); у ' = 0 => x = 0, x = 1, x = -1 – это критические точки, найденные по необходимому условию экстремума ( В точках экстремума производная дифференцируемой функции равно нулю).
+ - + - знак у'
х Критические точки разбивают область определения на
-1 0 1 промежутки: (-?,-1), (-1,0), (0,1), (1,+?).
Определяем знак у' на каждом промежутке. х є (-?,-1);
Возьмем х = -2; у'(-2) = - 4 · QUOTE · (1-4) = 12 е-3 >0; -2 є (-?, -1) значит при х є (-?, -1), у' > 0. По достаточному условию возрастания функция возрастает на этом промежутке.
х є (-1,0); х = - QUOTE є (-1,0); у' (- QUOTE ) = 2· (- QUOTE ) · QUOTE (1 - QUOTE ) < 0
Значит, при х є (-1,0) функция убывает (по достаточному условию убывания дифференцируемой функции)
х є (0;1); QUOTE є (0;1); у' ( QUOTE ) = 2 · QUOTE QUOTE · (1- QUOTE ) > 0 При х є (0;1); у ' > 0 => функция возрастает
х є (1; +?); 2 є (1; +?); у '(2) = 2·2·е1-4·(1-4) < 0 => функция убывает.
При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «+» на «-». По первому достаточному признаку экстремума в этой точке максимум уmax = у (-1) = (-1)2 · е1-1 = 1
М1 (-1;1) – точка максимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «-» на «+». По первому достаточному условию экстремума в этой точке минимум. уmin = у (0) = 0·е1-0 = 0
М2 (0;0) – точка минимума. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с «+» на «-». В этой точке максимум. уmax = у (1) = 1· е1-1 = 1
М3 (1;1) – точка максимума.
Построим схематично график этой функции.
у
1
х
-1 0 1
Литература:
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов /Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002г.
