Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Филиал в г. Барнауле
Факультет Региональная кафедра
«Финансово-кредитный» математики и информатики


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант № 8
Барнаул 2007 г
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость обмена выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Наблюдение
Объем выпуска продукции, Y
Объем капиталовложения, X

10
13
3

4
19
7

8
15
7

3
22
10

5
21
12

7
20
14

1
26
17

9
30
20

6
26
21

2
27
22


Т р е б у е т с я :
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (? = 0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (? = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ? = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1). Отсортируем значение фактора Х по возрастанию. Коэффициенты а и в существуют, если . В нашем примере . Значения коэффициентов а и в можно увидеть из итогов программы «регрессия» (a =11,78; в=0,76).
Строим линейную регрессионную модель вида:

Вывод: при увеличении объема капиталовложений на 1 млн. руб., объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,76млн. руб.
2). Остатки вычисляются автоматически в программе «регрессия».
Остатки

-1,064014282

1,892884468

-2,107115532

2,610558531

0,089007906

-2,432542719

1,285131344

3,002805407

-1,757969906

-1,518745218


Остаточная сумма квадратов () так же есть в программе «регрессия» в графе «SS». Дисперсию остатков можно рассчитать (= SS/n = 3,796).
SS

226,9392757

37,96072431

264,9



3). Предпосылки МНК (условия Гаусса – Маркова)
- свойство случайности величины Е;
- мат. Ожидание случайного члена равно 0, а дисперсия постоянна;
- случайные члены для любых 2 наблюдений некоррелированы;
- распределение случайного члена является нормальным.
1) Первое условие проверяется с помощью критерия поворотных точек (Р), затем рассчитаем критическое значение (Ркрит = ). Число поворотных точек вычислим с помощью функции если (категория логические). Р = 6, след. Ркрит = = 2.
Так как Р > Ркрит, след. компонента случайна, т.е. свойство случайности остатков выполняется.
2) М(Ei) выполняется автоматически. Находим с помощью функции СРЗНАЧ среднее значение остатков. Оно равно 0.
Условие D(Ei) = выполняется в 2 этапа:
а) отсутствие гетероскедастичности
б) проверяется с помошью теста Голдфельда – Квандта:
- упорядочим все 10 наблюдений по возрастанию переменной Х;
- выберем 4 первых и 4 последних наблюдений m. Строим по ним отдельные (вспомогательные) регрессии


SS1=
9,292929293

SS2=
10,46428571


- рассчитываем статистику F =
SSmax/SSmin=
1,126048137


- по таблице критических точек распределения Фишера находим
Fкрит (?; k1; k2). K1 = k2 = m – p – 1
F kp=
=FРАСПОБР(0,05;2;2)


Fкрит = 19. Т.к. F < Fкрит, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, т.е. модель можно считать гомоскедастичной, след. Условие D(Ei) = выполняется.
3) Проверим на наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина – Уотсона.
суммкв(Е)=
37,96072431

суммквразн(Е)=
99,20984854

суммпроизв(Е)=
-13,36355668



свойство независимости

суммкв(Е)=
37,96072431

суммквразн(Е)=
99,20984854

суммпроизв(Е)=
-13,36355668

d=
2,613486712

r(1)=
-0,352036399

r kp=
0,619806421




(из таблицы). d=2.61 попадает в зону Но это свидетельствует об отсутствии автокорреляции в остатках.
Так как r(1) < r kp, след. Гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается, и свойство независимости остатков выполняется.
4) Последнее условие проверяется с помощью R/S – критерия
Se находится из программы «регрессия» в графе «стандартная ошибка».

нормальное распределение

Emax=
3,002805407

Emin=
-2,432542719

S(E)=
2,178322873

R/S=
2,495198574

нормальное распределение
 

Emax=
=МАКС(C46:C55)

Emin=
=МИН(C46:C55)

S(E)=
2,17832287279183

R/S=
=(L24-L25)/L26



По таблице критических значений R/S при n= 10, ?= 0,05 R/S = 2,495 попадает в интервал между к1 и к2, след. Распределение случайного члена является нормальным.
Вывод: все пункты проверки предпосылок МНК выполняются.
4) Для проверки значимости коэффициента корреляции с помощью t- критерия Стьюдента используем . Из итогов программы «регрессия» , t(a) = 7,2854489, t(b) = 6,915643232 , = 2,306004133
>, т.е. коэффициент является значимым его необходимо оставить.
>, т.е. коэффициент является значимым, его необходимо оставить.
5). Из итогов программы «регрессия» =0,8567 r ==0,93. Так как индекс детерминации равен 0,93, следует, что связь между объемом выпуска продукции (Y) и объемом капиталовложений (X) тесная.
Оценим значимость уравнения по критерию Фишера.
Из итогов программы «регрессия» найдем F-статистику(47,826). (0,05; 1; 8) = 5,32 (по таблице F- критерия Фишера). >, след. Уравнение является значимым. Объем выпущенной продукции на 46,8% зависит от объема капиталовложений и на 53,2% от неучтенных.
Так как = 0,838785146 (из программы регрессия), то модель является довольно хорошей.
Для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо провести дополнительные расчеты. С помощью функции ABS рассчитаем относительную погрешность. Затем по формуле находим среднюю ошибку аппроксимации.
= 8,,40,
5% <<15% след. Модель удовлетворительная.
Модель является адекватной и качественной, т.к. почти все пункты проверки выполняются.
6).
прогнозирование

Х*=
17,6

Y*=
25,17




Хср=
13,3

квадроткл(X)=
392,1

S(Yт*)=
0,835625601


0,383609616

размах=
3,141629735

нижн.гр.=
22,030

верх.гр.=
28,313




Находим прогнозное значение величины Х*, оно равно 17,6. Находим прогнозное значение величины Y* = a + bX* = 25,17. Рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования .
Хср=
13,3

квадроткл(X)=
392,1


Вычисляем размах доверительного интервала U(Yt*)=S(Yt*)*tкрит,
Tкрит =( ?; n-p-1)=(0,1;8)=1,86
размах=
2,70


Определяем границы доверительного интервала Uнижн = Yt*- U(Yt*)
Uверх = Yt*+ U(Yt*)
нижн.гр.=
22,476

верх.гр.=
27,867


7).

8). Гиперболическая модель . Введем новую переменную , тогда . Рассчитываем столбец значения 1/Х, Yt, E, Eотн. С помощью программы «регрессия» находим а и в.


а=27,38; в=-50,97. Чтобы рассчитать Yt, будем последовательно подставлять в модель значения 1/Х. Е = Y- Yt, Eотн рассчитаем с помощью функции ABS. Eотн = ABS (Y/E).
X
Y
1/Х
Yт
Е
Е отн

3
13
0,33
10,39
2,61
20,05%

7
19
0,14
20,10
-1,10
5,80%

7
15
0,14
20,10
-5,10
34,01%

10
22
0,10
22,29
-0,29
1,30%

12
21
0,08
23,14
-2,14
10,17%

14
20
0,07
23,74
-3,74
18,71%

17
26
0,06
24,38
1,62
6,21%

20
30
0,05
24,83
5,17
17,22%

21
26
0,05
24,96
1,04
4,02%

22
27
0,05
25,07
1,93
7,16%


Рассчитаем сумму квадратов Е с помощью функции СУММКВ (категория математические), она равна 86,80. Еср. Отн рассчитаем с помощью функции СРЗНАЧ, она равна Еотн = 12,47%.
Для расчета R-квадрата нужно найти квадратное отклонение У(с помощью фун