Всероссийский заочный финансово-экономический институт


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»
Вариант № 9









Задание 1
ЗАДАЧА 1 (ИЗ КОНТГОЛЬНОЙ РАБОТЫ)
Приведены поквартальные данные о кредитах коммерческого банка, выданных на жилищное строительство (в у.е.) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0.3, ?2=0.6, ?3=0.3.
Оценить точность построенной модели, вычислив среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Проверить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию числа точек поворота;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1.10, d2=1.37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0.32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями 3 и 4.21.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Вычисления провести в среде EXCEL, точность – два знака после запятой.
Решение:
В столбец Y(t), строки 1-16 основной таблицы внесем исходные данные.
Таблица 1
Скопируемв столбец Y(t) таблицы 2 первые 8 значений из соответствующего столбца таблицы 1.
Во таблице 2 под столбцами t и Y(t) вычислим средние значения (используя функцию СРЗНАЧ).
Провести вычисления в столбцах t-tsr, Y-Ysr, (t-tsr)(Y(t)-Ysr), (t-tsr)*(t-tsr). Для этого в соответствующие ячейки первой строки (при t=1) ввести соответствующие формулы, при использовании ссылок на ячейки со значениями tsr, Ysr использовать абсолютную адресацию (указаниям столбца и строки должен предшествовать знак $). Затем содержимое этих ячеек скопируем в остальные ячейки того же столбца.
Под этими столбцами вычислим суммы соответствующих значений.
В ячейки а(0), b(0) основной таблицы введем формулы EMBED Equation.3 .
Во вспомогательной таблице вычислим значения Yr1(t). Для этого в ячейку Yr1(t) введем формулу =a(0)+t*b(0) (с абсолютными ссылками на а(0), b(0)), затем формулу скопируем в остальные ячейки столбца.
Таблица 2
Для визуальной проверки полученных значений построим графики Y(t), Yr1(t). Для этого активизируем в меню «Вставка» позицию «Диаграмма/График», выберем во второй строке самую левую позицию, затем следуем указаниям мастера диаграмм. В качестве данных выберем первые два столбца второй таблицы.

Заполним таблицу 1. В ячейки F(-3), F(-2), F(-1), F(0) ввести нужные формулы ( EMBED Equation.3 , в остальные ячейки формулу скопировать)
Ввеем формулы в ячейки a(1) = ?1 (Y(1) / F(-3) + (1- ?1)*[a(0)+b(0)], b(1) = ?3* [a(1)-a(0)] + (1- ?3)*b(0), F(1) = ?2 *Y(1) / a(1) + (1- ?2)*F(-3), Yr(1) = Yp(0+1) = [a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4). При необходимости используем абсолютные ссылки (со знаком $). Скопируем одновременно эти формулы в строки, соответствующие значениям t=2,…,16.
Таблица 1
Скопируем значения столбцов Yr(1), Y(1) из основной таблицу в таблицу 3 (при копировании использовать режим «копировать только значения»).
Аналогично предыдущему, в первую строку таблицы 3 для вычисления значений E(t), отн. погр., E(t)2 ввести формулы: E(t) = Y(t) – Yr(t), отн. погр. = E(t) / Y(t), E(t)2 = E(t) * E(t). Скопируем эти формулы в остальные ячейки столбца.
Во вторую строку таблицы 3 введем формулы для вычисления (E(2)-E(1))2, E(2)*E(1). Скопируем эти формулы в остальные ячейки столбца.
Во вторую строку таблицы 3 введем формулу для проверки наличия точки поворота (пример =ЕСЛИ(ИЛИ(И(E56<E57;E58<E57);И(E56>E57;E58>E57));1;0), скопируем эту формулу в остальные ячейки столбца за исключением последней.
Таблица 3

Вычислим среднее значение величин из столбца отн. погр., сделаем вывод о точности построенной модели. Условие точности выполнено, так как 0,19% < 5%.
Вычислим число точек поворота (сумма чисел в соответствующем столбце) p = 9, сравним с пороговым значением q> (2 * (N – 2)/ 3 – 2 * \| (16N – 29)/ 90 ), получаем q > 6. Так как р>q, условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
В какой-нибудь ячейке вычислим величину EMBED Unknown = 2,5 сравним с пороговыми (d2) и (d1), для нашего случая берем из таблицы d1=1.08 и d2=1.36. Т.к. d > 2,5, то используем d* = 4 - d = 4 – 2,5 = 1.5. Т.к. d* > d(1), но d* < d(2), то d-критерий не используется.
В какой-нибудь ячейке вычислим статистическую оценку первого коэффициента автокорреляции EMBED Unknown = |0,28| , сравним с пороговым. Если |r(1)| < rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32 - значит уровни независимы.
В какой-нибудь ячейке вычислить величину критерия EMBED Unknown4,35 , сравнить с пороговыми, которые зависят от точек N и уровня значимости. Для N =16 и 5 уровня значимости RS для нормального распределения находится от 3 до 4,21. Полученное значение RS не попало в заданный интервал.
Для вычисления прогнозных значений в ячейку Yr(t), t=17 ввести формулу =(a(16)+(t-16)*b(16))*F(t-4) с абсолютными ссылками на ячейки a(16), b(16)) и с относительной на ячейку t (время). Формулу скопировать в ячейки t=18, 19, 20.
Аналогично п. 8 построим графики Y(t), Yr(t).

Задание 2
Даны цены (максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю,
- момент,
- скорость изменения цен,
- индекс относительной силы
- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение:
Сформируем таблицу исходных данных

С помощью мастера диаграмм построим гистограмму (штриховую диаграмму).

Для вычисления экспоненциальной средней сформируем таблицу

Вычисления проводем по формуле EMAi=k*Ci+(1-k)*EMAi-1. при i=6,…,10, n=5, k=2/(n+1)=1/3, значение EMA5 принимаем равным средней цене закрытия за 1-5 дни.
Аналогично п. 8 задачи 1 построим графики цены закрытия и экспоненциальной средней(в одной системе координат.

Для вычисления осцилляторов сформируем таблицу
Вычисления проведем по формулам MOMi=Ci – Ci-5, EMBED Equation.3 (i=6,7,8,9,10), пониж. и повыш. (i=2,3,…,10) (вычислим с использованием функции ЕСЛИ, см. п. 14 задачи 1).
Вычислим при i=6,…,10 введя в верхние ячейки и копируя в остальные ячейки формулы AUi - суммы повыш. за предшествующие 5 дней, ADi - суммы пониж. за предшествующие 5 дней,), RSIi=100- EMBED Equation.3 .
Построим графики МОМ, ROC, RCI.

Для вычисления стохастических линий сформировать таблицу
Для вычисления значений минимальных и максимальных цен за предшествующие дни используем функции МАКС и МИН. Вычисляем по формулам
%K=100(цена – мин)/ (макс-мин),
%R=100?%K (вычисления проводем при i=5,6,…,10),
%D (вычисления проводем при i=7,8,9,10) равен отношению сумм цена – мин и макс-мин за три предшествующих дня.


Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет – время в годах, I – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
3.1. Банк выдал ссуду, размером S рублей. Дата выдачи ссуды - T н, возврата - T k. День выдачи и день возврата считается за один день. Процента рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
3.1.1 точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2 обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3 обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
K = 365, t = 71, I = S*i*t / K = 4500000*0,5*71 / 365 = 437671,23 руб.;
K = 360, t = 71, I = S*i*t / K = 4500000*0,5*71 / 360 = 443750 руб.;
K = 360, t = 71, I = S*i*t / K = 4500000*0,5*72 / 360 = 450000 руб.
3.2. Через T дн дней после подписания договора должник уплатит S рублей. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
P = S / (1 + T дн / 360 *i) = 4500000 / (1 + 90 / 360 *0,5)= 4000000 руб.;
D = S – P = 4500000 – 4000000 = 50000 руб.
3.3. Через T дн дней предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
D = S * d * T дн / 360 = 4500000 * 0,5 * 90 /360 = 562500 руб.;
P = S – D = 4500000 – 562500 = 3937500 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму S рублей и сроком на T лет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
Р = S * (1 + i)n = 4500000 * (1 + 0,5)5 = 34171875 руб.
3.5. Ссуда размером S рублей предоставлена на T лет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
Р = S * (1 + im / m)n*m = 4500000 * (1 + 0,5/4)5*4 = 47452922 руб,.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, номинальной ставки i% годовых.
Решение:
(1 + i э)n = (1 + im/ m) m*n
i э = (1 + i / m)m - 1 = (1 + 0,5 / 4) 4 - 1 =0,6%.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Решение:
(1 + i э)n = (1 + im / m) n*m
im =( m |/(1 + i э) – 1)*m = (4 |/(1 + 0,5) – 1)*4 = 0,43%.
3.8. Через T лет лет предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее совместную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Решение:
S = Р * (1 + i )n
Р = S / (1 + i )n = 4500000/(1 + 0,5) 5 = 592592,6 руб.
3.9. Через T лет лет по векселю должна быть выплачена сумма S рублей. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Решение:
d = i
Р = S * (1 - i )n = 4500000*(1 - 0,5) 5 = 140625 руб.,
D = S – P = 4500000 – 140625 = 4359375 руб.
3.10. В течение T лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S рублей, на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
Р = S * ((1 + i э)n – 1)/ i э= 4500000 * (1 + 0,6) 5– 1)/ 0,6 = 71143200 руб.