Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант 4
Задача №1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков Se-квадрат, построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (альфа=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (альфа=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости альфа=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
Привести графики построенных моделей.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение:
1) Построим модель Yт=a0+a1*X. Коэффициенты a0, a1 этой модели определяются по методу наименьших квадратов. Получим их и дополнительную статистическую информацию о качестве построенной модели с помощью средств Excel: сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ.
ВЫВОД ИТОГОВ:
Дисперсионный анализ
Получили уравнение линейной регрессии Yт=13.89+2.4X. Коэффициент регрессии а1=2.4 говорит о том, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции в среднем увеличится на 2.4 млн. руб.
2) ВЫВОД ОСТАТКА:
Оценим дисперсию остатков:
EMBED Equation.3
5,095843023.
Проверим выполнение предпосылок МНК.
1) свойство независимости EMBED Equation.3 по d-критерию Дарбина-Уотсона:
354,62.
EMBED Equation.3
1,71.
2) Т.к модуль рассчитанного первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|=0,01< r таб=0,32 - значит уровни независимы.
3) Проверка нормальности распределения остаточной компаненты по R/S- критерию. Рассчитаем значение RS:
Emax = 8,066037736;
Emin = -6,540638607;
Se = 5,095843023;
EMBED Equation.3 2,866390561.
Т.к 2.67 < 2,87 <3.57, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
4 свойство гомоскедастичности. Упорядочим данные по мере возрастания переменной х:
Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии.
Первая группа:
ВЫВОД ИТОГОВ
Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы к1=n1-m=4, к2=n-n2-m=4, т.е. Fкр=6,39.
EMBED Equation.3
Т.к. , то имеет место гомоскедастичность.
4) Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Стьюдента: их значения содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" соответственно в строках "t-статистики".
t(a0) = 0,465;
t(a1) = 4,334.
EMBED Equation.3 Критическое значение при =5%, k=n-p-1=10-2-1=7 составляет tкр=2,36.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 |0,465| <2,36; таким образом, на уровне значимости =5% коэффициент a1 не является значимым. |4,334| > 2,36; таким образом, на уровне значимости = 5% коэффициент a2 является значимым.
EMBED Equation.3 5) Рассмотрим коэффициент детерминации, его значение содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" в строке "R-квадрат".
0,968363041. Таким образом, изменение объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений X.
Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Фишера:
EMBED Equation.3 F= 244,87.
Критическое значение при =5%, k1=p= 1, k2=n-p-1=10-1-1=8 составляет Fкр=5,59.
F= 244,87 >Fкр следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель переменной X.
EMBED Equation.3 Найдем среднюю относительную ошибку:
3,86.
В среднем расчетные значения y для регрессионной модели отличаются от фактических на 3,86%.
6) Прогнозное значение переменной Х: X*= 0,8*maxX= 43,2.
По уравнению модели рассчитаем Yт*=13,89+2,4*43,2 = 117,64. 117,64
7) График:
EMBED Equation.3 8) Для построения нелинейных регрессионных моделей используем прием линеаризации уравнений. Модель степенной парной регрессии имеет вид yт=a*x^b. Логарифмируя обе части равенства, получим ln(yт)=ln(a)+b*ln(x).
Обозначим тогда
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 линейная модель.
EMBED Equation.3 Рассчитаем по исходным данным столбцы (мастер функций / математические / LN).
Используем функцию "ЛИНЕЙН" для определения коэффициентов линейной модели: 0,86 и 1,54. Таким образом, b= 0,86, A= 1,54. Определим a=e^A=4,66 (мастер функций/математические/EXP). yт= 4,66*x^0,86 – уравнение степенной модели. Для расчета yт(xi) по полученному уравнению можно использовать функцию "СТЕПЕНЬ". Результаты вычислений для степенной модели приведем в таблице и покажем на графике.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Средняя относительная ошибка аппроксимации 3,95514518.
Коэффициент детерминации 0,967116721.
EMBED Equation.3 Модель показательной парной регрессии имеет вид yт = a*b^x. Логарифмируя, получим ln(yт)=ln(a)+x*ln(b). Обозначим
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 тогда линейная модель. Рассчитаем по исходным данным столбец
Найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: 0,02 и 3,78. Таким образом, B = 0,02, A= 3,78. Определим a=e^A= 43,68 ; b=e^B= 1,02 и запишем уравнение показательной модели yт=43,68*(1,02)^x. Результаты вычислений для показательной модели приведем в таблице и покажем на графике.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Средняя относительная ошибка аппроксимации 4,2378.
Коэффициент детерминации 0,9667.
EMBED Equation.3 Модель гиперболической парной регрессии имеет вид yт = a+b/x.
Обозначим и получим линейную модель.
Рассчитаем по исходным данным столбец.
И найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: -3293,90 и 198,76.
Таким образом, b = -3293,90; a = 198,76. Следовательно, уравнение гиперболической модели yт=198,76-3293,76/x. Результаты расчетов для гиперболической модели приведем в таблице и покажем на графике.
EMBED Equation.3 Выберем в качестве наилучшей линейную модель. Она имеет лучшую точность, в среднем расчетные данные для гиперболической модели отличаются от фактических на 3.86%. = 0.968, следовательно, изменение объема выпуска продукции Y на 96.8% объясняется изменением объема капиталовложений X.
Задача № 2 (а, б).
Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
EMBED Equation.3 Решение:
a) Система одновременных уравнений
В первом уравнение 3 эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует 2 экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и первое уравнение идентифицируемо.
Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует
одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении три эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует две экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и третье уравнение идентифицируемо.
Следовательно, система идентифицирована.
EMBED Equation.3
б) Система одновременных уравнений:
В первом уравнение 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и второе уравнение не идентифицируемо.
Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит,
достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1= H.
Проверка на достаточное условие:
Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и третье уравнение не идентифицируемо.
Следовательно, система не идентифицирована.
Задача № 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:
Y1 = a0 + a1*Y2 + a2*X1 + e1;
Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X2 + e2.
Решение:
EMBED Equation.3 Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.
Первое уравнение:
ВЫВОД ИТОГОВ
EMBED Equation.3
.
Второе уравнение:
ВЫВОД ИТОГОВ
Дисперсионный анализ
EMBED Equation.3
.
EMBED Equation.3 Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:
EMBED Equation.3 Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели:
.
Таким образом, b12=0.12, a11=0.72.
Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
.
Таким образом, b21=4.64, a22=1.09.
EMBED Equation.3 Свободные члены структурной формы находим из уравнения:
;
EMBED Equation.3 .
Вычислим средние значения:
Y1,cp = 34,0833;
Y2,cp = 73,8;
X1,cp = 5,83333;
X2,cp = 8,33333.
Таким образом,
A01 = 34.08-0.12*73.8-0.72*5.83 = 21,026;
A02 = 73.8-4.64*34.08-1.09*8.33 = -93,41.
Окончательный вид структурной модели:
Y1=21.03+0.12Y2+0.72X1;
Y2=-93.41+4.64y1+1.09X2.
