Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика»
Вариант № 22
Выполнил:
Проверил:
Тула, 2006 г.
Задание I.
Исходные данные:
определить наличие тренда Y(t);
построить линейную модель Y(t)=a0+a1t, параметры которой оценить с помощью МНК;
оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d1=1,08 и d2=1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1)=0,36;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;
4) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P=70% используйте коэффициент t=1,11)
Все расчеты проводились с использованием программы «Статэксперт», результаты которых представлены в виде таблиц и графиков.
1) Определение наличия тренда.
Определим статистики временного ряда:
Результаты проверки гипотезы об отсутствии тренда приведены в таблице:
Приведем графики.
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
2) Построим линейную модель.
Рассмотрим уравнение вида EMBED Equation.3 , где t – время. С помощью данной функции будем аппроксимировать функцию, заданную таблично с помощью метода наименьших квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями: EMBED Equation.3 (1).
Параметры модели EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 согласно методу наименьших квадратов находятся из решения системы уравнений из преобразования (1):
EMBED Equation.3
Решая эту систему, получим:
EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - средние значения соответственно моментов наблюдения и уровней ряда.
3) Оценим адекватность, точность и качество построенной модели.

4) Приведем характеристики остатков.
5) Построим прогноз на 3 шага вперёд
Приведем график прогноза:
EMBED Excel.Sheet.8
Построим графики абсолютной и относительной ошибок:
EMBED Excel.Sheet.8
EMBED Excel.Sheet.8
Задание II.
1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t).
Исходя из следующих данных:
С помощью Excel рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции переменных. Для этого воспользуемся стандартной функцией:
1) в главном меню последовательно выбираем пункты Вставка / Функция;
2) в открывшемся окне Мастер функций выбираем Категория: Статистические / Функция: КОРРЕЛ;
3) заполняем Массив1 и Массив2 необходимым множеством данных (Y(t) и X1(t), Y(t) и X2(t), X1(t) и X2(t));
4) результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Матрица коэффициентов парной корреляции
Коэффициент корреляции также можно вычислить по следующей формуле:
EMBED Equation.3 ;
Для удобства вычисления коэффициента корреляции ry,x1 предварительные расчеты сведем в таблицу:
В итоге при подстановке значений вычисляем ry,x1:
EMBED Equation.3
По аналогии расчета коэффициента ry,x1 вычисляем коэффициент парной корреляции ry,x2 и rx1,x2:
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3
Полученные значения коэффициентов парной корреляции сведем в следующую таблицу:
Из таблицы видно, что значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь переменной Y(t) с коэффициентом X2(t). Но в то же время коэффициент rx1,x2 также имеет тесную межфакторную связь, которая превышает тесноту связи X1(t) с Y(t). В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор X1(t) как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.
2) Построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t)=а0+а1 X(t).
Для проведения регрессионного анализа воспользуемся EXCEL:
1) в главном меню последовательно выбираем пункты Сервис / Анализ данных;
2) в открывшемся окне Анализ данных выбираем Инструменты анализа: Регрессия;
3) заполняем Входной интервал Y и Входной интервал X множеством данных Y(t) и X2(t);
4) отмечаем флажком Метки;
5) в поле Остатки отмечаем флажком Остатки, График остатков, График подбора;
6) результат регрессионного анализа представлен в табл. 2.1-2.3;
Таблица 2.1
Во втором столбце табл.2.1 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости Y(t) от X2(t) имеет вид: Y(t)= 86,4539-0,5888 • X(t)
Таблица 2.2
Расчеты по модели регрессии
EMBED Excel.Chart.8 \s
Оценка параметров модели без ПЭВМ.
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии для X2(t).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Y(t)= 86,4539-0,5888 • X(t).
3) Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
Оценим качество построенной модели, исследуя адекватность.
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
а) при проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей (с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона).
Таблица 2.3
Данные для вычисления d-критерия
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 попало в интервал от d2 до 2, значит модель уровня ряда остатков независима, автокорреляции нет, свойство независимости выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
б) проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.
EMBED Excel.Chart.8 \s
В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:
EMBED Equation.3 . Количество поворотных точек равно 5 (график остатков).
в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия.
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 -максимальный уровень ряда остатков, равный 2,3212;
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, равный -2,6226;
EMBED Equation.3 -среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3 ,
Тогда:
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7…3,7), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
г) проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента.
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 -среднее значение уровней остаточного ряда;
EMBED Equation.3 -среднеквадратическое отклонение уровней остаточного ряда.
В нашем случае EMBED Equation.3 =0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
Для расширенной характеристики модели регрессии вычислим несколько дополнительных показателей: коэффициент детерминации R2 и коэффициент множественной корреляции R:
Коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3
R2 показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, более 91,76 % вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора.
R – коэффициент множественной корреляции. R=0,9579 показывает тесноту связи зависимой переменной Y с факторами X, включенными в модель.
4) Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и ?-коэффициент.
а) Расчет коэффициента эластичности.
Он показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора Х на 1% от своего среднего значения:
EMBED Equation.3
Для линейной модели производная по функции равна коэффициенту при Х, т.е. а1. Тогда получим:
EMBED Equation.3
Следовательно, при изменении Х на 1% от своего среднего значения величина Y в среднем изменится на 0,27%.
б) Расчет ?-коэффициента.
?-коэффициент показывает, на какую часть сигмы изменяется результативный признак, при изменении факторного признака на величину его сигмы. Сравнение ?-коэффициентов при различных факторах дает возможность оценить силу их воздействия на результативный признак. Он вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
Дисперсии определим по формулам:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Все необходимые вычисления сведем в таблицу:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Тогда:
EMBED Equation.3 - при изменении факторного признака на величину его сигмы результативный признак изменяется на 0,96 сигмы.
5) Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70 % используйте коэффициент v = 1,11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).
Для вычисления прогнозных оценок Y на основе построенной модели необходимо получить прогнозные оценки фактора X.
Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста САП.
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
Построим прогноз на 2 шага вперед. Для этого определим значение X на первом и втором шагах соответственно:
EMBED Equation.3 ;
l=1;
EMBED Equation.3 ;
l=2;
EMBED Equation.3 .
Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим в модель:
Y(t)= 86,4539-0,5888 • X(t).
найденные прогнозные значения фактора X:
Y(10)= 86,4539-0,5888 • X(10)= 86,4539-0,5888 •45,375=59,74
Y(11)= 86,4539-0,5888 • X(11)= 86,4539-0,5888 •48,75=57,75
Определим доверительный интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:
- верхняя граница прогноза: Y(N+l) + U(l);
- нижняя граница прогноза: Y(N+l) – U(l).
Величина U(l) имеет вид:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 - стандартная ошибка. Значение ошибки было определено при исследовании модели на точность и адекватность ( EMBED Equation.3 = 1,7563).
Необходимые вычисления для определения доверительного интервала сведем в таблицу:
EMBED Equation.3
Для прогноза на два шага имеем:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Результаты прогнозных оценок по модели регрессии представим в таблице:
Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.
EMBED Excel.Chart.8 \s