Содержание
Задача 1 3
Задача 2 5
Задача 4 12
Список использованной литературы







Задача 1.
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение.
Пусть Bi – необходимый минимум питательных веществ i-го типа. Так, B1=10 кг, B2=20 кг, B3= 7 кг. Ci – стоимость 1 кг j-го набора.
Целевая функция (общие расходы):
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ограничения:
EMBED Equation.3 (азотные удобрения)
EMBED Equation.3 (фосфорные удобрения)
EMBED Equation.3 (калийные удобрения)
EMBED Equation.3
По системе ограничений построим область допустимых решений - область, которая удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений. Она ограничена фигурой Ох2-А-С-Е-В-0x1.
Построим линию целевой функции f(x) = 0 и укажем направление вектор - градиента drad F (xl, х2) = {3;4}. Перемещаем линию F(xl, x2) по направлению вектор - градиента параллельно самой себе (в сторону EMBED Equation.3 ). Первая точка области допустимых решений, которую коснется линия F(xl, x2), является точкой минимума (в нашем случае, линия F(xl, x2) первой коснется т.С).
Найдем координаты угловой точки С (решение нашей задачи):
т.С - пересечение (1) и (2) : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 т.С(2;2)
3. Определим значение F(xl, x2) в угловой точке области допустимых решений - С и определим min:
F(C) = 3*2 + 4*2 = 14 = min f(x)
Решая на максимум значение F(xl, x2) будет стремиться в EMBED Equation.3 , т.к. область допустимых решений не ограничена сверху:


Рис.1. Графический метод решения задачи.

Задача 2.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: •проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане
исходной задачи;
•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение.
1) Сформулируем прямую задачу:
x1 ед. продукции вида А;
x2 ед. продукции вида Б;
х3 ед. продукции вида В;
x4 ед. продукции вида Г.
Выручка от реализации продукции выражается целевой функцией:
f(x) = EMBED Equation.3 = 5х1 + 7х2 + Зх3 + 6x4 EMBED Equation.3 max
На изготовление изделий будет израсходовано (2x1 + 1х2 + 3х3+2х4) ед. ресурса 1, (1x1 +2х2 + 4х3 + 81x4) ед. ресурса 2, (2x1 +4х2+ 1х3+ 1x4) ед. ресурса 3.
Так как запасы ресурса 1 не превышают 200 ед., запасы ресурса 2 не превышают 160 ед., запасы ресурса 3 не превышают 170 ед., то имеем систему ограничений (по ресурсам):
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1)
\Ax4B
Ь >0 =
а) запишем исходную задачу в канонической форме, для чего вводим дополнительные переменные - по одному в каждое управление так, чтобы получить равенство:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (1)