ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
СЕРПУХОВСКОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО
ФАКУЛЬТЕТ: финансово-кредитный
КАФЕДРА: высшей математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Теория вероятностей и математическая статистика»

Исполнитель: Жмыхова Юлия Николаевна
Специальность: финансы и кредит
Курс: 2
Группа: 255
№ зачётной книжки: 05УБД71019
Руководитель: Борисова Вера Ионовна
Г. Серпухов
2007
Задание №1. Чтобы установить содержание золы в каменном угле из очень большой партии было взято 500 проб. Результаты анализа приведены в таблице:
Содержание золы,%
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
17-19
19-21
Итого

Число проб
33
71
107
119
92
50
21
7
500


Найти:
а) вероятность того, что процент зольности всей партии отличается от среднего выборочного не более чем на 0,5% (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля проб угля этой партии, содержащего не более 13% золы;
в) объём бесповоротной выборки, при котором те же границы для указанной доли (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
а) среднеквадратичекое оклонение выборочного среднего находим по формуле

Вероятность оклонения от среднего значения будет равна

б) определяем выборочную долю банков по формуле

Среднеквадратичное отклолнение выборочной доли при больших N найдём по формуле
Вероятность отклонения выборочной доли от генеральной доли находим по формуле .
Квантиль уровня надёжности находим из условия
Ф(t)=0,95;

Построим доверительный интервал:



в) находим t: Ф()=0,9876,
Определим из пропорции
;

Ответ: а) 0б9995; б) (0,6185;0,7015); в) 659.
Задание №2. По данным задачи 1, используя х2-критерий Пирсона, при уровне значимости а=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – процент зольности угля – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соотетствующую нормальную кривую.
Решение:
i
Xi,
Xi+1
середина Xi
Ni
XiNi
NiXi^2
Pi
NPi
(Ni-NPi)^2
(Ni-NPi)^2/NPi

1
5
7
6
33
198
1188
0,051
25,68
53,51
2,08

2
7
9
8
71
568
4544
0,127
63,27
59,73
0,94

3
9
11
10
107
1070
10700
0,213
106,53
0,22
0

4
11
13
12
119
1428
17136
0,245
122,62
13,12
0,11

5
13
15
14
92
1288
18032
0,193
96,5
20,26
0,21

6
15
17
16
50
800
12800
0,104
51,92
3,68
0,07

7
17
19
18
21
378
6804
0,038
19,09
3,65
0,19

8
19
21
20
7
140
2800
0,01
4,79
4,86
1,01

?
 
 
 
500
5870
74004
 
 
 
4,6233


Вычислиим необходимые суммы. Параметры нормального закона рапределения заменим наилучшими оценками по выборке
.
Находим критическое значение при числе степеней свободы k=m-r-1:
k=8-2-1=5;
=11,1;
наблюдаемое значение Х2=4,6233;
т.к. , то гипотеза о нормальном распределени процента зольности угля принимается.

Ответ: гипотеза принимается.
Задание №3. Рапределение 100 семей по доходу на члена домохозяйства Х(тыс.руб.) и потребления мяса Y(кг) за месяц дано в таблице:
 
2
4
6
8
10
Итого

0,5
10
4
 

 
14

1
6
10
2

 
18

1,5
 
15
12

 
27

2
 

14
2
1
17

2,5
 

9
3
1
13

3
 

 
5
6
11

Итого
16
29
37
10
8
100


Необходимо:
Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.
Предпологая, что между переменными X иY существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессий, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпритацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне а=0,05 оценить его значимость, сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднемесячное потребление мяса, если доход на члена семьи составляет тысячу рублей.
Решение:
Xi/Yj
2
4
6
8
10
Итого
Yi
NiXi
NiXi2
Xcp
1,65

0,5
10
4
 
 
 
14
2,571
7
3,5
Ycp
5,3

1
6
10
2
 
 
18
3,556
18
18
S2X
0,583

1,5
 
15
12
 
 
27
4,889
40,5
60,75
S2Y
4,91

2
 
 
14
2
1
17
6,471
34
68
µ
1,455

2,5
 
 
9
3
1
13
6,769
32,5
81,25
bxy
0,657

3
 
 
 
5
6
11
9,091
33
99
byx
1, 906

Итого
16
29
37
10
8
100
 
165
330,5
r=
0,86

Xj
0,688
1,19
1,905
2,65
2,813
 
 
1,65
0,583
t=
20,282

NjYj
32
116
222
80
50
530
5,3
 
 
 
 

NjYj2
64
464
1332
640
800
3300
4,91
 
 
 
 

?NijXiYj
22
138
423
212
225
1020
1,455
 
 
 
 


Сделаем необходимые вычисления. Найдём групповые средние значения и дисперсию переменных X и Y, их ковариацию. Итоговые результаты сгруппируем в крайнем правом столбце. Построим эмпирическими линиями регрессии .
Найдём средние значения дохода на члена домохозяйства M(X)=1,6500 (тыс.руб.) и потребления мяса M(Y)=5,3000(кг), выборочные дисперсии S2(X)=0,5825; S2(Y)=4,9100 и ковариацию K=M(XY)-M(X)M(Y)=1,4550.
Найдём коэффициенты регрессии
Коэффициент показывает, что при увеличении дохода на члена домохозяйства на 1 тыс.руб. потребление мяса увеличивается в среднем на 1,9 кг за месяц.
Коэффициент показывает, что для увеличения потребления мяса на 1 кг за месяц надо увеличить доход на члена домохощяйства в среднем на 0,66 тыс. руб.
Составим уравнение прямых регрессии Yx и Xy и построим эти линии
Yx – 5,3=1,9064(х-1,65);
Xy – 1,65=0,6566(y-5,3).
б) Выборочный коэффициент корреляции равен
Связь между перемнными X и Y тесная прямая, т.к.
Оценим значимость r:



Между переменными X и Y существует линейная корреляционная связь.
в) При доходе на члена семьи X в тысячу руьлей потребление мяса Y в месяц будет равно в среднем
yx - 5,3=1,9064(x-1,65);
yx = 5,3+1,9064(1-1,65);
yx = 4,0608 (кг).

Ответ: yx - 5,3=1,9064(x-1,65); Xy – 1,65=0,6566(y-5,3); ;
при Х=1 тыс.руб. Y=4,0608 кг.
Список литературы.
Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика»
«ЮНИТИ-ДАНА», Москва, 2002