Всероссийский Заочный Финансово-Экономический Институт
Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика»
Вариант №10
Преподаватель: Гармаш А.Н.
Москва, 2006 г.
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ( EMBED Equation.3 ).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( EMBED Equation.3 ), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Данные для расчетов представлены в таблице 1.
EMBED Excel.Sheet.8
Решение:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую оценку коэффициента регрессии.
Уравнение (модель) линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3 .
Параметры a и b можно оценить методом наименьших квадратов. Для автоматизации расчетов используем программу РЕГРЕССИЯ статистического пакета «Анализ данных» MS Excel (Приложение 1).
Полученные коэффициенты a и b запишем в уравнение линейной регрессии: EMBED Equation.3
Коэффициент регрессии b=1,381 показывает, что с увеличением объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпуска продукции Y в среднем увеличится на 1,381 млн. руб.
2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков, построить график остатков.
Остатки рассчитываются по формуле:
EMBED Equation.3
В данной задаче остатки рассчитаны в таблице MS Excel (Приложение 2).
Остаточная сумма квадратов определяется с помощью функции СУММКВ.
EMBED Equation.3
Дисперсия остатков вычисляется с помощью функции ДИСП = 1,62 (Приложение 3).
Для построения графика остатков используется Мастер диаграмм (Приложение 4).
3. Проверить выполнение предпосылок МНК (оценить адекватность модели).
Для оценки адекватности модели исследуют остатки EMBED Equation.3 .
Исследование остатков предполагает проверку наличия у них следующих пяти свойств (предпосылок МНК):
а. Нулевая (или близкая к ней) средняя величина остатка.
б. Случайность характера остатка.
в. Независимость (отсутствие автокорреляции) остатков.
г. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.
д. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.
А.
Для вычисления среднего значения остатка используем функцию СРЗНАЧ (Приложение 5).
В данной задаче EMBED Equation.3 , поэтому первое свойство остатков выполняется.
Б.
Для проверки случайности остатков используем критерий поворотных точек. Анализируя построенный график остатков делаем вывод, что в этой задаче число поворотных точек р=8. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:
EMBED Equation.3 при n=10
В нашем случае p=8 EMBED Equation.3 , т.е. свойство случайности остатков выполняется.
В.
При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) используется коэффициент автокорреляции EMBED Equation.3 .
Для расчета автокорреляции используется стандартная функция КОРРЕЛ(С25-С33;С26-С34)= -0,5349 (Приложение 6).
Оценим значимость полученного коэффициента автокорреляции с использованием t-критерия:
Расчетное значение t-критерия: EMBED Equation.3 =1,79 (расчет выполнен средствами Excel).
Табличное значение t-статистики определяется с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,306 (Приложение 7).
Поскольку расчетное значение t-критерия меньше табличного, то коэффициент автокорреляции незначим, т.е. остатки не автокоррелированы. Свойства независимости остатков выполняется.
Модель в целом адекватна.
Г.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяется при помощи R/S-критерия.
EMBED Equation.3 (Приложение 8).
Полученное значение этого критерия попадает между табулированными границами (2,67-3,57) с заданным уровнем значимости ( EMBED Equation.3 ) и n=10, таким образом, свойство нормальности остатков выполняется.
Д.
Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольдфельда-Кванта необходимо выполнить следующие шаги:
Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной Х (Приложение 9);
Разделение совокупности на две группы соответственно с малыми и большими значениями фактора Х, определение по каждой из групп уравнений регрессии. Разделение на две группы по фактору Х примет вид:
Выполнив в Excel функцию РЕГРЕССИЯ для каждой группы получим уравнения регрессии:
EMBED Equation.3
Определение остаточной суммы квадратов для первой и второй регрессий. С помощью функции СУММКВ получим: для первой регрессии СУММКВ=7,663, для второй 4,596.
Вычисление расчетного значения F-статистики. 7,663/4,596=1,667.
Вычисление табличного значения F-статистики, которое производится при помощи функции FРАСПОБР (Приложение 10). EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 =0,1. EMBED Equation.3 =5, m=2, n=10.
EMBED Equation.3
Значение F-расчетного меньше F-табличного, что свидетельствует о том, что гетероскедастичность не обнаружена и, следовательно, выполняются свойства гомоскедастичности остатков.
Оценка адекватности модели выполнена.
Построенная модель является адекватной реальному процессу, её можно использовать для построения прогнозных оценок.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ( EMBED Equation.3 ).
Для оценки статистической значимости параметров полученной модели используем t-критерий. Расчетное значение t-статистики определяется по формулам (Приложение 11):
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Табличное значение t-критерия можно определить с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,306 (Приложение 12).
Поскольку EMBED Equation.3 , то параметр а статистически значим.
EMBED Equation.3 , следовательно, параметр b статистически значим, существенно отличается от 0.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( EMBED Equation.3 ), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент детерминации EMBED Equation.3 можно, например, определить по формуле:
EMBED Equation.3 (Приложение 13).
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 99,3% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Соответственно, все изменения в Y на 0,7 % обусловлены изменениями факторов, неучтенных в модели.
Оценка значимости уравнения регрессии проводится с помощью F-критерия. Расчетное значение F-критерия в нашем случае определяется по формуле:
EMBED Equation.3
Табличное значение F-критерия определяется с помощью функции FРАСП (Приложение 14).
EMBED Equation.3
Поскольку расчетное значение F-критерия Фишера больше табличного, то уравнение регрессии признается значимым, соответствующим фактическим данным.
Находим среднюю относительную ошибку аппроксимации (Приложение 15):
EMBED Equation.3 2,4%
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 2,4%, т.е. получена модель хорошего качества, высокой точности).
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимально значения.
Х прогн=44*0,8=35,2
Y прогн=5,431+1,381*35,2=54,05
Коэффициент Стьюдента EMBED Equation.3 для 8 степеней свободы и на уровне значимости EMBED Equation.3 рассчитывается при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР(0,1;8)=1,8595.
Отклонение от линии регрессии рассчитывается по формуле: EMBED Equation.3 , где Se=1,350 (см. значение «Стандартная ошибка»).
Вычислив величину отклонения от линии регрессии можно найти доверительный интервал, в котором ожидается появление прогнозируемого среднего значения Y=54,05: границы задаются интервалом EMBED Equation.3 . Интервал в данной задаче: (51,386;56,697).
Расчет произведен при использовании MS Excel (Приложение 16).
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Строим график «Линейная регрессия»: скопируем в лист с вычислениями прогнозируемых значений график подбора с листа «Регрессия Y». Соединим точки графика отрезками (активировать курсором точки – тип данных – отрезки).
Переименовываем график подбора в «Линейную регрессию». К существующим данным добавляем новые (Исходные данные – Ряд – Добавить): для точечного прогноза, нижней и верхней границ прогноза, указывая соответствующие данные (Приложение 17).
8. Составить уравнения гиперболической (а), степенной (б), показательной (в) нелинейной регрессий. Построить графики построенных уравнений регрессии.
а) гиперболическая
Модель гиперболической регрессии имеет вид: EMBED Equation.3
Приведем эту модель к линейному виду осуществив замену переменных: EMBED Equation.3 . Получим линейное уравнение вида EMBED Equation.3 . С помощью функции РЕГРЕССИЯ получим значения a=83,340 и b=-947,945 и модель вида EMBED Equation.3 .
Т.е. модель гиперболической регрессии имеет вид EMBED Equation.3
Построим вспомогательные таблицы и с помощью Мастера диаграмм построим модель гиперболической регрессии в MS Excel.
EMBED Excel.Chart.8 \s
б) степенная
Модель степенной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3
Осуществим линеализацию модели. Прологарифмируем уравнение, получим EMBED Equation.3 . Представим, что EMBED Equation.3 . Тогда получим линейную модель EMBED Equation.3
С помощью функции MS Excel составим дополнительные таблицы для расчета и используем функцию РЕГРЕССИЯ для нахождения параметров a и b. Получим А=0,376, a=2,377, b=0,879 и, следовательно, модель степенной регрессии вида EMBED Equation.3
Найдем теоретическое значение y, построим график степенной регрессии при использовании функции Мастер диаграмм.
EMBED Excel.Chart.8 \s
в) показательная
Уравнение показательной кривой EMBED Equation.3
Линеализируем переменные:
EMBED Equation.3 Введем обозначения: EMBED Equation.3 , получим EMBED Equation.3
Найдем значение Y=lg y, с помощью функции РЕГРЕССИЯ найдем параметры А=1,2404, В=0,0135. Тогда модель показательной регрессии примет вид EMBED Equation.3
Найдем теоретическое значение y, построим график степенной регрессии при использовании функции Мастер диаграмм.
EMBED Excel.Chart.8 \s
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
а) гиперболическая
Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 18).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,9367
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 93,67% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Соответственно, все изменения в Y на 6,33% обусловлены изменениями факторов, неучтенных в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации: EMBED Equation.3 =7,72%
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 7,72 %, т.е. получена модель среднего качества.
б) степенная
Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 19).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,994
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 99,4% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Соответственно, все изменения в Y на 0,6% обусловлены изменениями факторов, неучтенных в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации: EMBED Equation.3 =2,4%
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 2,4 %, т.е. получена модель хорошего качества, высокой точности.
в) показательная
Рассчитаем характеристики точности модели (Приложение 20).
Индекс детерминации: EMBED Equation.3 =0,9422
Таким образом, все вариации в объеме выпуска продукции Y на 94,2% обусловлены вариацией в объеме капиталовложений X, т.е. изменениями в факторе X, учтенном в модели.
Соответственно, все изменения в Y на 5,8% обусловлены изменениями факторов, неучтенных в модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации: EMBED Equation.3 =6,88%
Таким образом, модельные значения EMBED Equation.3 отклоняются от фактических значений Y в среднем на 6,88%, т.е. получена модель среднего качества.
Сравнение полученных моделей
Для сравнения моделей используем полученные данные. Построим таблицу:
Сравнив модели по этим характеристикам можем сделать вывод:
Степенная модель имеет большее значение коэффициента детерминации R2 небольшую относительную ошибку аппроксимации Еотн., следовательно, степенная модель лучше остальных оценивает взаимосвязь.
Приложение 1 «Применение MS Excel для нахождения параметров регрессии»
