`Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Калужский филиал
Контрольная работа
По дисциплине: «Экономико - математические методы и прикладные модели»
Вариант № 4
Выполнила:
студентка Вересова О.В.,
группа ФНО, день,
факультет «М и М»,
специализация «Менеджмент организации»,
№ личного дела 08ММД46524
Проверил:
Степович М.А.
Калуга 2009
Задача 1.4
Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем – не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешивания компонентов, их себестоимость и их октановом числе приведены в таблице.
Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы себестоимость была минимальной.
Экономико-математическая модель
Обозначим х1, х2, х3, х4 – количество компонентов автомобильного бензина.
Целевая функция – это выражение, которое необходимо минимизировать:
F(x)=40x1+45x2+60x3+70x4 -> min
68x1+72x2+80x3+90x4>=76*1000
0.35x1+0.35x2+0.3x3+0.2x4<=0.3*1000
х1<=700
x2<=600
x3<=500
x4<=300
x1, x2, x3, x4>=0
В программе Microsoft Excel создадим текстовую форму – таблицу для ввода условий. Вводим исходные данные задачи в созданную таблицу, представленную на рис. 1.
Рис 1. Исходные данные.
Вводим зависимость для целевой функции с помощью «Мастер функций»
в окне «Категория» выбираем категорию Математические;
в окне Функции на СУММПРОИЗВ;
на экране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ;
в строку «Массив 1» вводим В3:Е3;
в строку «Массив 2» вводим В4:Е4=>кнопка «Ок». Рис. 2 Рис. 2.
Вводим зависимости для ограничений:
содержание ячейки Е3 скопировать в ячейки Е4-Е10
Выбираем с строке МЕНЮ имя СЕРВИС => ПОИСК РЕШЕНИЯ. Появляется диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ
Назначить целевую функцию: курсор в строку УСТАНОВИТЬ ЦЕЛЕВУЮ ЯЧЕЙКУ;
Вводим адрес ячейки Е3;
Вводим направление целевой функции – МИНИМАЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ;
Курсор в строку изменяя ячейки ;
Вводим адрес В3:Е3;
Вводим ограничения: нажимаем на ДОБАВИТЬ. Появляется диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ вводим адрес Е10;
Вводим знак «=»;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F10 -> ДОБАВИТЬ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E4;
Вводим знак « >=»;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F4-> ДОБАВИТЬ ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E5;
Вводим знак «<=»;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F5-> ДОБАВИТЬ ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E6;
Вводим знак «<=» ;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F6 -> ДОБАВИТЬ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E7;
Вводим знак «<=» ;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F7 -> ДОБАВИТЬ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E8;
Вводим знак «<=» ;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F8 -> ДОБАВИТЬ;
В строке ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ адрес E9;
Вводим знак «<=» ;
В строке ОГРАНИЧЕНИЕ адрес F9 -> ДОБАВИТЬ;
Нажимаем «Ок»
На экране появилось диалоговое окно ПОИСК РЕШЕНИЯ с введенными условиями. Рис. 3.
Рис. 4
Нажимаем ВЫПОЛНИТЬ. Появляется РЕЗУЛЬТАТЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ, выбираем в поле ТИП ОТЧЕТА – РЕЗУЛЬТАТЫ, рис.5 Нажимаем «Ок».
Рис. 5
Ответ: оптимальное решение в данной ситуации определяется вектором объемов смешиваемых компонент (550 т; 50т; 100; 300т), оценка затрат – 51250 ден.ед.
Задача 2.4
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1 тонны песку с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования .
Требуется:
Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.
Экономико-математическая модель
Исходные данные транспортной задачи приведены выше. В каждой клетке заданы удельные транспортные затраты на перевозку груза {cij}. Слева указаны мощности поставщиков - карьеров {ai}, а сверху – мощности потребителей – участков {bi}. Обозначим через xij количество единиц груза (тонн песка), запланированных к перевозке от i–го карьера к j–му участку. Требуется найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями {xij}- объем перевозимого груза.
Целевая функция (общие затраты на перевозку):
EMBED Equation.3
Ограничения по ресурсам: EMBED Equation.3
Х11 + Х12 + Х13 + Х14 + Х15 = А1 = 9
Х21 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 = А2 = 11
Х31 + Х32 + Х33 + Х34 + Х35 = А3 = 14
Исходная транспортная задача является открытой, т.к. суммарные запасы меньше суммарных потребностей.
Ограничения по заказам: EMBED Equation.3
Х11 + Х21 + Х31 ? В1 ? 8
Х12 + Х22 + Х32 ? В2 ? 9
Х13 + Х23 + Х33 ? В3 ? 13
Х14 + Х24 + Х34 ? В4 ? 8
Х15 + Х25 + Х35 ? В5 ? 12
Решение с помощью Excel
Ввод условий задачи состоит из следующих шагов:
Создание формы для ввода условий задачи.
Ввод исходных данных.
Ввод зависимостей из математической модели.
Назначение целевой функции.
Ввод ограничений и граничных условий.
Создадим форму для ввода условий задачи. Для этого создадим в Excel таблицу следующего вида (РИС.2.1):
РИС 2.1. Исходные данные для транспортной задачи
В ячейку A1 введем текст: «Исходные данные»;
В ячейки A4,…,A6 введем значения мощностей поставщиков a1…a3 соответственно;
В ячейки B3,…F3 введем значения мощностей потребителей b1…b5 соответственно;
В ячейки B4,…F6 введем значения матрицы транспортных затрат c11…c35 соответственно.
Далее создадим форму для поиска матрицы перевозок (РИС.2.2)
РИС.2.2 Форма для поиска матрицы перевозок
В ячейку A9 введем текст «Матрица перевозок»;
Изменяемые ячейки – B11:F13. В эти ячейки будет записан оптимальный план перевозок xij.
В ячейки A11,…,A13 записываем формулы: =СУММ(B11:F11); =СУММ(B12:F12); =СУММ(B13:F13).
В ячейки B10,…,F10 записываем формулы =СУММ(B11:B13); =СУММ(С11:С13); =СУММ(D11:D13).
Форма для записи оптимального плана поиска создана. Определим целевую ячейку, в которой будет записано значение минимума функции (1). Пусть это будет ячейка B16. Запишем в нее формулу =СУММПРОИЗВ(B4:F6;B11:F13).
РИС.2.3 Форма для поиска матрицы перевозок
Далее в меню Excel Сервис выполняем пункт Поиск решения.
На экране появится диалоговое окно (РИС.2.4)
РИС.2.4 Диалоговое окно Поиск решения
В поле Установить целевую запишем ячейку $B$16 – выбранную целевую ячейку. Введем направление целевой функции минимальному значению.
В графу Изменяя ячейки запишем $B$11:$F$13, соответствующие матрице оптимального плана перевозок.
После этого требуется установить ограничения. Нажав на кнопку Добавить вызовем диалоговое окно Добавление ограничений. Для ввода этих ограничений вызовем диалоговое окно Добавление ограничений (РИС.2.5).
РИС.2.5 Диалоговое окно Добавление ограничений
В поле Ссылка на ячейку вводится A11, в следующее поле вводится =, в следующее поле Ограничение вводится A4. Затем нажимаем на кнопку OK. Возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
Для ввода ограничений вновь вызовем диалоговое окно Добавление ограничений нажатием кнопки Добавить
В поле Ссылка на ячейку вводится B10, в следующее поле вводится ?, в следующее поле Ограничение вводится B3. Затем нажимаем на кнопку OK. Вновь возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
Введя все данные, нажимаем кнопку Параметры. На экране появляется одноименное диалоговое окно (РИС.2.6). Устанавливаем флажок Неотрицательные значения и флажок Линейная модель, нажимаем на кнопку OK и вновь возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
РИС.2.6 Диалоговое окно Параметры поиска решения
В диалоговом окне Поиск решения (РИС.2.7) нажимаем кнопку Выполнить.
РИС.2.7 Диалоговое окно Поиск решения после ввода всех данных
Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.
Нажимаем на кнопку ОК и возвращаемся в исходный лист Excel. Найденный оптимальный план перевозок содержится в ячейках B11:F13, а минимальное значение целевой функции в ячейке B16 (РИС.2.8).
РИС.2.8 Решение транспортной задачи
Итак, при распределении, указанном в «Матрице перевозок»
достигается минимальное значение транспортных расходов F(x) = 195 у.е.
Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.
а) Введем дополнительное условие: Х12 = 0. получим:
РИС.2.7а. Диалоговое окно Поиск решения после ввода всех данных
Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.
РИС.2.8а. Решение транспортной задачи
Итак, при распределении, указанном в «Матрице перевозок» ничего не меняется, так как оптимальный план изначально предполагал запрет на перевозки от первого карьера до 2-го участка достигается минимальное значение транспортных расходов F(x) = 1000 у.е.
б) Введем дополнительное условие: Х12 ? 3. получим:
РИС.2.7б. Диалоговое окно Поиск решения после ввода всех данных
Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.
Итак, при распределении, указанном в «Матрице перевозок» ничего не меняется, так как оптимальный план изначально предполагал запрет на перевозки от первого карьера до 2-го участка, что удовлетворяет условию «меньше 3 тонн».
Задача 3. Дополнительная задача (вариант № 4)
Постановка экономической задачи
Необходимо решить транспортную задачу: минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе.
Таблица тарифов на перевозку продукции и объемов запасов на складе и заказов.
Экономико-математическая модель
В каждой клетке заданы удельные транспортные затраты на перевозку продукции {cij}. Слева указаны мощности поставщиков - складов {ai}, а сверху – объемы заказов потребителей – заказчиков {bi}. Обозначим через xij количество единиц продукции, запланированных к доставке от i–го склада к j–му заказчику. Требуется найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями {xij}- объем доставки продукции с минимальными затратами.
Целевая функция (общие затраты на перевозку):
EMBED Equation.3
Ограничения по ресурсам: EMBED Equation.3
Х11 + Х12 + Х13 + Х14 + Х15 = А1 = 60
Х21 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 = А2 = 30
Х31 + Х32 + Х33 + Х34 + Х35 = А3 = 40
Транспортная задача не является закрытой, поэтому ограничения по заказам:
EMBED Equation.3
Х11 + Х21 + Х31 ? В1 ? 10
Х12 + Х22 + Х32 ? В2 ? 20
Х13 + Х23 + Х33 ? В3 ? 40
Х14 + Х24 + Х34 ? В4 ? 30
Х15 + Х25 + Х35 ? В5 ? 65
Ограничения на неотрицательность:
Х11,12,13…45 >= 0
Решение с помощью Excel
Ввод условий задачи состоит из следующих шагов:
1.Создание формы для ввода условий задачи.
2.Ввод исходных данных.
3.Ввод зависимостей из математической модели.
4.Назначение целевой функции.
5. Ввод ограничений и граничных условий.
Создадим форму для ввода условий задачи. Для этого создадим в Excel таблицу следующего вида (РИС.3.1):
РИС.3.1. Исходные данные для транспортной задачи
В ячейку A1 введем текст: «Исходные данные»;
В ячейки A4,…,A6 введем значения мощностей поставщиков a1…a3 соответственно;
В ячейки B3,…,F3 введем значения мощностей потребителей b1…b5 соответственно;
В ячейки B4,…,F6 введем значения матрицы транспортных затрат c11…c35 соответственно.
Далее создадим форму для поиска матрицы перевозок (РИС.3.2)
РИС.3.2. Форма для поиска матрицы доставок
В ячейку A9 введем текст «Матрица перевозок»;
Изменяемые ячейки – B11:F13. В эти ячейки будет записан оптимальный план перевозок xij.
В ячейки A11,…,A13 записываем формулы: =СУММ(B11:F11); =СУММ(B12:F12); =СУММ(B13:F13).
В ячейки B10,…,F10 записываем формулы =СУММ(B11:B13); =СУММ(С11:С13); =СУММ(D11:D13).
Форма для записи оптимального плана поиска создана. Определим целевую ячейку, в котором будет записано значение минимума функции (1). Пусть это будет ячейка B16. Запишем в нее формулу =СУММПРОИЗВ(B4:F6;B11:F13).
РИС.3.3 Форма для поиска матрицы перевозок
Далее в меню Excel Сервис выполняем пункт Поиск решения.
На экране появится диалоговое окно (РИС.3.4)
РИС.3.4 Диалоговое окно Поиск решения
В поле Установить целевую запишем ячейку $B$16 – выбранную целевую ячейку. Введем направление целевой функции минимальному значению.
В графу Изменяя ячейки запишем $B$11:$F$13, соответствующие матрице оптимального плана перевозок.
После этого требуется установить ограничения. Нажав на кнопку Добавить вызовем диалоговое окно Добавление ограничений. Для ввода этих ограничений вызовем диалоговое окно Добавление ограничений (РИС.3.5).
РИС.3.5 Диалоговое окно Добавление ограничений
В поле Ссылка на ячейку вводится A11, в следующее поле вводится =, в следующее поле Ограничение вводится A4. Затем нажимаем на кнопку OK. Возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
Для ввода ограничений вновь вызовем диалоговое окно Добавление ограничений нажатием кнопки Добавить
В поле Ссылка на ячейку вводится B10, в следующее поле вводится ?, в следующее поле Ограничение вводится B3. Затем нажимаем на кнопку OK. Вновь возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
Введя все данные, нажимаем кнопку Параметры. На экране появляется одноименное диалоговое окно (РИС.3.6). Устанавливаем флажок Неотрицательные значения и флажок Линейная модель, нажимаем на кнопку OK и вновь возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения.
РИС.3.6 Диалоговое окно Параметры поиска решения
В диалоговом окне Поиск решения (РИС.3.7) нажимаем кнопку Выполнить.
РИС.3.7. Диалоговое окно Поиск решения после ввода всех данных
Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.
Нажимаем на кнопку ОК и возвращаемся в исходный лист Excel. Найденный оптимальный план перевозок содержится в ячейках B11:F13, а минимальное значение целевой функции в ячейке B16 (РИС.3.8).
РИС.3.8. Решение транспортной задачи
Итак, при распределении, указанном в «Матрице перевозок»
достигается минимальное значение транспортных расходов F(x) = 630 у.е.
Список используемой литературы
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач.-М.: ВЗФЭИ, 2004.
Орлова И. В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000.
