Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc183505116" Введение PAGEREF _Toc183505116 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc183505117" 1. Временная структура процентных ставок PAGEREF _Toc183505117 \h 5
HYPERLINK \l "_Toc183505118" 2. Теории временной структуры процентных ставок PAGEREF _Toc183505118 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc183505119" 3. Модели кривой доходности PAGEREF _Toc183505119 \h 18
HYPERLINK \l "_Toc183505120" Заключение PAGEREF _Toc183505120 \h 24
Практическая часть 26
HYPERLINK \l "_Toc183505121" Список использованной литературы 32


Введение
Моделирование кривой доходности непосредственно связано с определением временной структуры процентных ставок. Эта информация важна для всех участников финансового рынка.
Государству, как крупнейшему эмитенту, она позволяет более эффективно управлять своим долгом. Для Центрального банка кривая доходности служит индикатором стоимости денег и ожиданий в экономике, а также позволяет оценить последствия монетарной политике в сложившейся рыночной конъюнктуре и корректировать свою политику в ответ на изменение ситуации на рынке. Участники финансового рынка используют эту информацию для оценки финансовых активов.
Существует множество методов и техник для оценки временной структуры процентных ставок. Так как в любой момент времени на рынке присутствуют однородные долговые инструменты с одинаковыми (или схожими) характеристиками: вероятностью неплатежа, ликвидностью, налогообложением и отличающиеся единственным параметром - сроком до погашения, то можно построить зависимость ставок процента от времени, оставшегося до погашения. Актуальность выбранной темы курсовой работы вызвана тем, что существуют различные теории временной структуры процентных ставок, и избрание той или иной теории приводит к определенному поведению на рынке ценных бумаг.
Целью написания работы является изучение теорий временной структуры процентных ставок.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
Описать временную структуру процентных ставок.
Охарактеризовать теории временной структуры процентных ставок.
Исследовать различные модели кривой доходности
Предметом исследования курсовой работы являются теории временной структуры процентных ставок. Объектом исследования – процентные ставки и кривые доходности ценных бумаг.
Для написания работы была использована специальная литература, посвященная рынку ценных бумаг, теории инвестиций, а также периодические издания.

1. Временная структура процентных ставок
Во многих простых теориях и моделях, оперирующих процентными ставками, предполагается независимость этих ставок от сроков заимствования. Любые рассматриваемые изменения процентной ставки также предполагаются одинаковыми, и зависимость ставки от срока заимствования представляется как прямая линия, двигающаяся вверх или вниз. Однако такое предположение противоречит наблюдаемой действительности. Даже далекие от экономики люди могут уверенно сказать, что процент на банковские вклады зависит, как привило, положительно от срока вклада, а кредитная ставка для предприятий, при прочих равных условиях, увеличивается с периодом заимствования. С развитием рынка активов с фиксированным доходом и теории их оценки, а также с увеличением роли процентных ставок в макроэкономической политике, временная структура процентных ставок, пути ее определения и управления становятся все более важными вопросами в экономической теории и финансах.
Временная структура процентных ставок – это последовательность значений процентных ставок, упорядоченная по сроку погашения в определенный момент времени. Это функция процентной ставки по займу от времени до погашения, графическую презентацию которой называют кривой доходности. Природа процентных ставок определяет природу временной структуры, и в зависимости от типа ставок могут быть построены различные типы кривой доходности: кривая доходности к погашению, кривая бескупонной доходности, кривая форвардной ставки и мгновенной форвардной ставки Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: В 2 т. . - СПб.: Экономическая школа, 2004. – с. 418.
.
Типичной формой кривой доходности является монотонно восходящая линия, которая характерна для большинства развитых стран в периоды стабильной макроэкономической ситуации или роста. Такую кривую часто называют нормальной кривой доходности. Однако на практике также встречается инвертированная (убывающая) кривая доходности, когда ставки по долгосрочным займам ниже ставок по краткосрочным займам; выпуклая форма (с горбом) – когда среднесрочные ставки выше долгосрочных и краткосрочных; U-форма – противоположность выпуклой форме; и S-форма – аналог U-формы, где долгосрочные ставки убывают со сроком погашения. Графики возможных форм кривой доходности представлены на рисунке 1.

Рис. SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 1. Кривые доходности процентных ставок
Для дальнейшего анализа временной структуры процентных ставок необходимо определить различные ставки, а также другие понятия и обозначения, используемые в дальнейшем в работе.
Спот ставка r(0, t) представляет собой ставку, под которую можно инвестировать средства в нулевой период времени на срок t . Спот ставки наблюдаемы и, например, для бескупонных облигаций равны доходностям к погашению Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры. -  М.: ИЭПП, 2006. – с. 142.
.
Через спот ставку может быть определена непрерывно начисляемая форвардная ставка:
EMBED Equation.3 (1)
Форвардная ставка – это ставка по займам, которые осуществляются в будущем периоде t на срок T ? t . Также может быть определена мгновенная форвардная ставка:
EMBED Equation.3 (2)
Между ставкой спот и мгновенной форвардной ставкой существует следующая зависимость:
EMBED Equation.3 (3)
То есть спот ставка равна средней мгновенной форвардной ставке. Кривая мгновенной форвардной ставки пересекает кривую спот ставок в точке максимума последней. Из-за отсутствия развитых форвардных рынков форвардные ставки являются ненаблюдаемыми, и возможна лишь оценка подразумеваемых форвардных ставок на основе данных по существующим финансовым инструментам, например по спот ставкам облигаций.
Далее будут использованы обозначения r(t) = r(0,t) для спот ставки и f (t) = f (0,t) для мгновенной форвардной ставки, которые будут определяться в текущий (нулевой) момент времени.
Цена облигации равна сумме дисконтированных по спот ставке денежных потоков от облигации – купонных выплат и номинала:
EMBED Equation.3 (4)
где N - количество купонов, C i - i-ый купон, выплачиваемый в момент времени t i, P - номинал облигации, выплачиваемый на дату погашения tM . Как правило tN = tM.
Бескупонная доходность (zero-coupon yield, ZCY) – доходность к погашению бескупонной облигации, по которой предусмотрена только одна выплата в дату погашения облигации. Она может быть вычислена по формуле:
EMBED Equation.3 (5)
Дюрация облигации – средний срок выплат по облигации, взвешенный по величине платежа:
EMBED Equation.3 (6)
Дюрация бескупонной облигации равна сроку до ее погашения.
Значение кривой безрисковой доходности и временной структуры процентных ставок можно оценить с точки зрения эмитента-государства, Центрального банка и участников финансового рынка Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры. -  М.: ИЭПП, 2006. – с. 148
.
Для государства определение временной структуры ставок позволяет определить стоимость заимствований, эффективно управлять структурой долга и оптимизировать стоимость его обслуживания.
Для центрального банка как органа денежного регулирования временная структура ставок позволяет оценить ожидания рынка относительно будущих процентных ставок и уровня инфляции.
Индикатором ожиданий среднесрочных процентных ставок могут быть форвардные ставки, которые определяются по спот ставкам. Долгосрочный сегмент кривой доходности может служить индикатором инфляционных ожиданий. Кривая доходности отражает номинальные ставки, которые разбиваются (уравнение Фишера) на реальные ставки и инфляцию. Используя прогноз реальных процентных ставок или предположение об их неизменном значении, можно оценить долгосрочные прогнозы рынка относительно инфляции.
Участниками финансового рынка кривая доходности может быть использована для анализа рынка облигаций и оценки стоимости активов.
Безрисковый характер ставок кривой доходности позволяет оценить специфические премии (за риск, ликвидность, структуру выплат) по корпоративным облигациям и провести сравнительный анализ спрэдов доходностей этих бумаг к кривой доходности. Такой анализ позволяет выявить недооцененные или переоцененные облигации и использовать арбитражные возможности (например, при значительной разнице спрэдов бумаг с одинаковым кредитным качеством). Также анализ спрэдов позволяет оценить планируемую доходность размещаемых облигаций, что помогает корпоративным эмитентам определить оптимальную структуру купонных выплат для привлечения желаемого объема средств.
При оценке активов, например справедливой цены компании, кривая доходности позволяет оценить будущую стоимость заемного капитала. Предполагая постоянство спрэда между доходностями существующих выпусков облигаций компании и кривой доходности, или используя значения спрэда компаний с одинаковым кредитным качеством, можно оценить форвардные ставки для конкретной компании, которые затем использовать как показатель стоимости заемного капитала.
2. Теории временной структуры процентных ставок
Научное объяснение формы временной структуры процентных ставок предлагается тремя альтернативными теориями: теорией чистых ожиданий (pure expectations theory), теорией сегментации рынка (market segmentation theory) и теорией временных предпочтений (preferred habitat theory). Согласно теории чистых ожиданий все различия в значениях спот-ставок для различных сроков вложений обусловлены рыночными ожиданиями уровней краткосрочных процентных ставок, которые установятся в будущем. Она включает два основных положения:
1. Для любого срока вложений m ожидаемые доходности вложений во все бескупонные облигации равны соответствующей спот-ставке s(m):
EMBED Equation.3, (7)
где EMBED Equation.3 – цена бескупонной облигации со сроком до погашения n-m, которая, как ожидается рынком в начальный момент времени, установится через период времени m, P(n) – цена бескупонной облигации со сроком до погашения n в начальный момент времени.
2. Для любого срока вложений m ожидаемые доходности всех возможных стратегий последовательного реинвестирования денежных средств в краткосрочные бескупонные облигации равны соответствующей спот-ставке s(m):
EMBED Equation.3, (8)
где EMBED Equation.3– спот-ставка для срока вложений m-?, которая, как ожидается рынком в начальный момент времени, установится через период времени ?.
Выполнение равенств (7) и (8) обеспечивается в результате торговли между инвесторами, не учитывающими процентный риск при принятии решений. Как предполагается в рамках теории чистых ожиданий, участники рынка готовы к мгновенному перемещению денежных средств в финансовый инструмент с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного срока вложений, вне зависимости от уровня процентного риска, связанного с этой операцией. В результате ожидаемые доходности всех возможных вариантов вложений на заданный срок уравниваются. При этом спот-ставки для различных сроков вложений могут принимать различные значения, но все расхождения между ними определяются исключительно рыночными ожиданиями будущих изменений краткосрочных процентных ставок Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры. -  М.: ИЭПП, 2006. – с. 184.
.
Если операторы рынка придерживаются предположения, что текущий уровень краткосрочной процентной ставки сохранится и в будущем, временная структура имеет вид горизонтальной прямой. Если они полагают, что в дальнейшем краткосрочная ставка будет возрастать, временная структура приобретает положительный наклон. Предположение о формировании понижательного тренда краткосрочных процентных ставок, принятое большинством инвесторов, влечет превышение текущих краткосрочных процентных ставок над долгосрочными.
Теория чистых ожиданий позволяет объяснить сколь угодно сложную форму временной структуры. В частности, локальный максимум спот-ставок при сроке вложений m объясняется предположением инвесторов о росте краткосрочной ставки в течение периода m и последующем снижении ее уровня. Однако теория чистых ожиданий не может объяснить, почему большую часть времени долгосрочные процентные ставки выше краткосрочных, что, ставит под сомнение ее адекватность практике большинства финансовых рынков.
Если рынок корректно описывается теорией чистых ожиданий, то текущая временная структура процентных ставок позволяет определить рыночные ожидания уровней спот–ставок для различных будущих периодов времени. Оценки будущих спот-ставок, полученные в предположении выполнения условий теории чистых ожиданий, получили название форвардных процентных ставок (forward rates). Форвардная ставка, соответствующая будущему периоду (t,t+?), определяется по формуле
EMBED Equation.3. (8)
Мгновенная форвардная ставка f(t) определяется в результате предельного перехода
EMBED Equation.3. (9)
Радикальной альтернативой теории чистых ожиданий выступает теория сегментации, согласно которой определяющую роль на рынке играют не спекулянты, испытывающие нейтральное отношение к процентному риску и стремящиеся максимизировать прибыль, используя собственные прогнозы динамики процентных ставок, а хеджеры, стремящиеся минимизировать уровень процентного риска при помощи точной балансировки портфелей своих активов и обязательств. Как утверждают сторонники теории сегментации, форму временной структуры процентных ставок можно объяснить исходя из интересов крупных институциональных инвесторов, выступающих владельцами большей части облигаций. Коммерческие банки, ведущие расчетные счета и привлекающие средства на короткие сроки, предъявляют спрос главным образом на краткосрочные инструменты. Компании по страхованию ответственности и имущественных рисков заинтересованы прежде всего в среднесрочных объектах вложений, а пенсионные фонды и компании по страхованию жизни формируют основной спрос на долгосрочные облигации. Переток средств между сегментами рынка ограничен и может произойти лишь в случае существенной деформации временной структуры процентных ставок.
Поскольку эмитент облигаций заинтересован в увеличении сроков заимствования, а спектр интересов институциональных инвесторов смещен в сторону краткосрочных инструментов, в большинстве случаев равновесие на рынке устанавливается при превышении долгосрочных процентных ставок над краткосрочными. Усиление позиций долгосрочных инвесторов – страховых компаний и пенсионных фондов – способно деформировать временную структуру процентных ставок, существенно уменьшив тангенс угла ее наклона.
Таким образом, теория сегментации рынка объясняет форму временной структуры процентных ставок не характером прогнозов большинства инвесторов, а соотношением спроса и предложения долговых инструментов различной срочности, рынки которых независимы друг от друга. Поэтому она не позволяет вывести оценки будущих изменений рыночной конъюнктуры из текущей временной структуры процентных ставок Окулов В. Оценка временной структуры процентных ставок на рынке облигаций// Рынок ценных бумаг. - 2002. - N 4. - C. 75.
.
Теория чистых ожиданий и теория сегментации рынка основаны на весьма жестких и нереалистичных предпосылках, несовместимых между собой. Компромисс между утверждениями, выступающими фундаментом этих концепций, достигается в рамках теории временных предпочтений. Согласно теории временных предпочтений, инвесторам присуще стремление к устранению процентного риска, которое у большинства из них, впрочем, не носит абсолютного характера. Принятие определенного уровня риска считается допустимым, если оно компенсируется адекватным приращением ожидаемой доходности вложений.
В результате равновесная временная структура процентных ставок определяется как рыночными ожиданиями, так и временными предпочтениями инвесторов. Эффект временных предпочтений находит выражение в феномене временной премии (term or liquidity premium), которая определяет расхождение между процентными ставками для различных сроков вложений, не обусловленное рыночными ожиданиями будущих изменений конъюнктуры, а также размер вознаграждения за риск, связанный с размещением средств в финансовые инструменты, сроки платежа по которым не совпадают со сроками вложений инвесторов.
Анализ реакции временной структуры процентных ставок на динамику экономической активности в рамках делового цикла дает косвенное подтверждение адекватности теории временных предпочтений. В начале делового цикла временная структура характеризуется положительным наклоном. По мере того, как экономика отдаляется от нижней точки делового цикла, временная структура поднимается параллельно вверх, отражая рост спроса на кредитные ресурсы. Однако при переходе от фазы восстановления к фазе расширения форма временной структуры процентных ставок начинает изменяться.
Краткосрочные ставки продолжают расти, в то время как долгосрочные ставки несколько уменьшаются. Инвесторы понимают, что через какое-то время спрос на кредитные ресурсы перестанет расти, а пик краткосрочных ставок будет пройден. Это приводит к частичному инвертированию временной структуры, когда среднесрочные процентные ставки начинают превышать долгосрочные. Процесс продолжается вплоть до достижения пика делового цикла, когда вся временная структура процентных ставок на некоторое время приобретает отрицательный наклон. Здесь ожидания падения краткосрочных ставок чрезвычайно сильны, и они доминируют над временными предпочтениями инвесторов.
После прохождения пика долгосрочные процентные ставки поднимаются, а краткосрочные ставки практически не меняются, поэтому временная структура процентных ставок выравнивается. По мере распознавания симптомов спада происходит смягчение денежно-кредитной политики, и краткосрочные ставки резко падают. Долгосрочные ставки, в меньшей степени подверженные воздействию денежной политики, тоже снижаются, но на гораздо меньшую величину. Дело в том, что инвесторы предвосхищают наступление периода подъема следующего делового цикла, когда спрос на кредитные ресурсы и краткосрочные процентные ставки начнут подниматься. После прохождения нижней точки делового цикла процентные ставки достигают своего минимума, а временная структура вновь приобретает четко выраженный положительный наклон.
Поскольку большинство инвесторов осуществляют краткосрочные операции, их временные предпочтения смещены в сторону коротких инструментов. Поэтому на большинстве фаз делового цикла долгосрочные ставки превышают краткосрочные ставки.
Теория временных предпочтений обладает двумя важными достоинствами, которые позволяют отдать ей предпочтение перед теориями чистых ожиданий и сегментации рынка. Во-первых, ее предсказания согласуются с практикой большинства финансовых рынков (что не выполняется для теории чистых ожиданий). Во-вторых, она позволяет получать оценки будущих изменений процентных ставок на основе информации о временной структуре (что не выполняется для теории сегментации рынка). Поэтому при решении теоретических и прикладных проблем управления процентным риском портфеля государственных облигаций целесообразно использовать теорию временных предпочтений, а не ее альтернативы.
Реакция цены облигации на сдвиг временной структуры процентных ставок во многом определяется собственными параметрами облигации. Как показал Б.Малкиел, изменчивость цены облигации зависит от ее срока до погашения, купонной ставки и частоты выплаты купонов. Согласно теореме Хопвелла–Кауфмана, изменчивость цены облигации прямо пропорциональна ее дюрации Маколея.
Показатель дюрации (duration) был предложен американским экономистом Ф.Маколеем для измерения эффективной срочности финансовых инструментов с фиксированным доходом. Дюрация рассчитывается как средний срок до получения денежных выплат инвестору, взвешенный по их приведенной стоимости. В качестве ставки дисконтирования Маколей использовал внутреннюю норму доходности финансового инструмента, или его доходность к погашению.
При непрерывном начислении процентов доходность к погашению yj определяется как решение уравнения
EMBED Equation.3, (10)
где Pj – текущая рыночная цена финансового инструмента j, CFji – денежный платеж по финансовому инструменту j через период времени ti.
Тогда формула дюрации Маколея записывается как
EMBED Equation.3. (11)
Как свидетельствует уравнение (11), дюрация бескупонной облигации совпадает с ее сроком до погашения. Дюрация купонной облигации меньше ее срока до погашения, причем это расхождение возрастает по мере увеличения срочности облигации, а также размера выплачиваемых купонов.
Существенной особенностью дюрации Маколея является ее жесткая привязка к внутреннему параметру финансового инструмента – доходности к погашению – и относительная независимость от сложившейся рыночной конъюнктуры. Какой бы ни была форма временной структуры процентных ставок, все денежные поступления от одного финансового инструмента дисконтируются по одной и той же ставке, равной его доходности к погашению. В то же время одновременные денежные платежи по финансовым инструментам с одинаковым уровнем кредитного риска, но с различной доходностью к погашению, дисконтируются по различным ставкам. Сам Маколей осознавал этот недостаток предложенного показателя, но полагал, что практическое осуществление корректной процедуры дисконтирования невозможно в связи с непреодолимостью трудностей, связанных с построением временной структуры процентных ставок.
Продифференцировав цену облигации по ее доходности к погашению, М.Хопвелл и Г.Кауфман показали, что для заданного изменения доходности к погашению процентное изменение цены облигации прямо пропорционально ее дюрации:
EMBED Equation.3. (12)
Дюрация позволяет приближенно оценивать реакцию цены облигации на изменение доходности к погашению, используя простое линейное уравнение. Чем больше значение показателя дюрации, тем выше чувствительность цены облигации к изменению доходности к погашению и тем существеннее потери инвестора в случае неблагоприятного сдвига временной структуры процентных ставок.
Однако функциональная зависимость между ценой облигации и ее доходностью к погашению не является линейной: цена облигации более чувствительна к снижению доходности к погашению, нежели к ее увеличению, а облигации с одинаковой дюрацией по-разному реагируют на большие изменения доходности к погашению. C.Диллер и Р.Даттатрейа проиллюстрировали эти эффекты при помощи разложения в ряд Тейлора функции зависимости цены облигации от ее доходности к погашению:
EMBED Equation.3. (13)
Отсюда
EMBED Equation.3, (14)
где выпуклость (convexity) облигации Сj определяется из условия
EMBED Equation.3. (15)
Чем больше выпуклость облигации, тем меньше потери инвестора в случае роста процентных ставок и тем больше его выигрыш в случае падения процентных ставок. Облигации с большой выпуклостью обладают чертами опциона: они позволяют ограничить размер потерь при неблагоприятном изменении рыночной конъюнктуры, сохраняя при этом возможность получения прибыли при благоприятном сдвиге временной структуры.
3. Модели кривой доходности
На протяжении более чем тридцати лет исследований структуры процентных ставок было предложено множество моделей ее оценки на основе рыночных данных. Всё множество подходов к построению кривой доходности можно разделить на функциональные модели и модели, основанные на сплайнах, которые отличаются различным соотношением между качеством приближения к реальным данным и гладкостью.
Функциональный подход предполагает представление кривой доходности как единой функции для всех сроков погашения. Вид функции может быть получен из моделей поведения процентных ставок и отвечать теоретическим предпосылкам экономических моделей, или может использоваться класс аппроксимирующих функций, например экспоненциальные или полиноминальные функции.
Функция кривой доходности может быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например из модели Васичека. В этой модели изменение краткосрочных процентных ставок задается уравнением:
dr(t) = ? (r(?) ? r(t))dt +?dz(t) , (16)
где z(t) - стандартное броуновское движение. При отсутствии случайного члена, то есть ? = 0 , решением является экспоненциальная функция:
r(t) = r(?) ? (r(?) ? r(0))e?t? (17)
Величины r(?) и r(0) равны равновесной краткосрочной ставке и некоторой начальной краткосрочной ставке. Масштабирующий параметр ? характеризует скорость приближения текущего значения ставки к равновесному уровню.
Кривая доходности в стохастической модели Васичека задается формулой:
EMBED Equation.3 (18)
Кривая доходности Васичека может быть прямой линий, возрастающей или убывающей, однако данная функция не позволяет кривой доходности иметь S-форму, горб (среднесрочные ставки выше как краткосрочных, так и среднесрочных), или, наоборот, U-форму Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры. -  М.: ИЭПП, 2006. – с. 217.
.
Кроме модели Васичека для получения функции кривой доходности могут быть использованы другие стохастические модели краткосрочных ставок, например модели Хала-Уайта, Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли. Однако использование более сложных моделей, несмотря на свою теоретическую обоснованность, приводит к получению сложных многопараметрических функций кривой доходности, которые плохо приближаются к рыночным данным.
Модель Нельсона-Сигеля (Nelson-Siegel, 1987) является одной из наиболее часто применяемых моделей на практике. В их работе «Parsimonious Modeling of Yield Curve» («Простое моделирование кривой доходности») было отмечено, что класс функций, легко представляющий типичные формы кривой доходности, связан с решением дифференциальных Уравнений. Кроме того, «теория ожиданий временной структуры процентных ставок дает эвристическую мотивацию для исследования этого класса функций, так как если спот ставки задаются дифференциальным уравнением, то форвардные ставки, являясь прогнозами (ожиданий), будут решениями этих уравнений».
Эксперименты с классом функций, являющихся решением линейного дифференциального уравнения второго порядка с действительными и неравными корнями характеристического уравнения, показали плохое приближение к реальным данным и отсутствие сходимости оценок, что является признаком избыточного количества параметров. Авторами было сделано предположение о равенстве корней характеристического уравнения, что дает более простое выражение для мгновенной форвардной процентной ставки:
EMBED Equation.3 (19)
Интегрирование функции (19) от 0 до дает выражение для спот ставок в данной модели:
EMBED Equation.3 (20)
Кривая доходности Нельсона-Сигеля может принимать любые формы: монотонно возрастающую или убывающую, выпуклую (с горбом), U-форму и S-форму, которые встречаются на практике. Кроме того, каждое слагаемое в функции спот ставок оказывает наибольшее влияние на кратко-, средне- и долгосрочный сегмент кривой доходности, что добавляет гибкости модели.
Данная модель хорошо зарекомендовала себя на рынках как развитых, так и развивающихся стран. Она хорошо подходит для описания временной структуры ставок при малом количестве ценных бумаг, на основе доходностей которых строится кривая доходности, а также позволяет получить гладкую форму кривой, которую можно использовать в макроэкономических исследованиях и оценке финансовых инструментов.
Модель Свенссона (Svensson, 1994) является модификацией модели Нельсона-Сигеля. В этой модели в формулу (19) добавляется еще одно слагаемое, которое позволяет получить еще один горб у кривой доходности:
EMBED Equation.3 (21)
Исследуя структуру форвардных ставок Швеции, Свенссон обнаружил недостаточную гибкость модели Нельсона-Сигеля при описании отдельных сегментов кривой доходности. Добавление слагаемого позволяет более точно оценить специфическую структуру ставок в отдельные промежутки времени, как правило, на краткосрочном сегменте кривой доходности. При оценке параметров модели Свенссона иногда используют значения четырех коэффициентов, полученные при оценке модели Нельсона-Сигеля, а затем проверяют значимость дополнительного слагаемого. Если модификация приводит к значительному улучшению приближения оцененной кривой к рыночным данным, и коэффициент a2 оказывается значимым, то используют модель Свенссона, в противном случае используют базовую модель Нельсона-Сигеля. Такой метод используется в оценке кривой бескупонной доходности Национальным банком Бельгии.
Сплайновые модели основываются на кусочном приближении индивидуальных сегментов кривой доходности сплайновыми функциями, которые гладко соединяются в узловых точках. На ограниченном интервале любая непрерывная функция может быть приближена произвольной полиноминальной функцией, и точность приближения увеличивается с ростом степени полинома. Однако использование единственной полиноминальной функции высокой степени для приближения кривой доходности для всех сроков погашения часто отличается недостаточной сглаженностью полученной кривой доходности. Для решения этой проблемы полиноминальные функции высоких порядков приближаются последовательностью полиномов низких порядков. Как правило, в качестве сплайновых функций используются квадратичные или кубические полиномы, аппроксимирующие кривую доходности на отдельных сегментах между узловыми точками, в которых значения ставок определяются из рыночных данных. Гладкое соединение сплайнов обеспечивается путем подбора параметров соседних сплайнов таким образом, чтобы их значения и значения первой производной (квадратичные сплайны), или значения первой и второй производной (кубические сплайны), совпадали в узловых точках.
При очень большом количестве узловых точек кривизна каждого сплайна может быть любой и кривая доходности в таком случае может быть негладкой, значительно изменяясь на отдельных сегментах при изменении значений ставок в узловых точках. В 1995 году Fisher, Nychka и Zervos разработали метод сглаживающих сплайнов (smoothing splines), который позволяет получить гладкое приближение кривой доходности с использованием сплайнов, сохраняя качество приближения. В их методе изначально задается максимальное количество узловых точек, что приводит к разделению кривой доходности на множество участков и появлению большого числа параметров, задающих каждый сплайн. Затем определяется оптимальное число узловых точек путем минимизации отношения суммы квадратов ошибок к количеству u1087 параметров всей кривой доходности. Таким образом удается исключить некоторую часть узловых точек и параметров, которые не вносят существенный вклад в улучшение качества приближения модели.
Выбор модели для приближения кривой доходности на конкретном рынке определяется несколькими факторами. Важным фактором является количество торгуемых облигаций, на основе данных по которым оценивается кривая доходности. Функциональные модели хорошо подходят для экстраполяции – они позволяют достаточно точно оценить ставки для тех сроков погашения, близко к которым не погашается ни одна бумага. Также они позволяют получить адекватные оценки ставок между сроками погашения торгуемых бумаг, если существуют большие разрывы данных. Сплайновые модели дают хорошие результаты при большом количестве торгуемых бумаг, достаточно равномерно распределенных по срокам погашения. Однако их можно использовать только для интерполяции – для оценки ставок на сроках в диапазоне между минимальным и максимальным сроком среди торгующихся бумаг. За этими пределами полиноминальные сплайны без ограничений на абсолютное значение и значения производных стремятся к бесконечности.
Другим критерием, тесно связанным с первым, является ликвидность рынка. Большое число сделок и большие объемы торгов минимизируют возможность нерыночного ценообразования и появления случайных скачков цен и доходностей, связанных с единичными сделками. В таком случае выбор модели может зависеть от целей анализа. Если определение временной структуры ставок требуется для макроэкономического анализа, оценки ожиданий ставок и инфляции, то функциональные модели имеют преимущество за счет своей гладкости, экстраполирующих возможностей и простоты оценки. Если же определение структуры ставок требуется для оценки финансовых активов, например для определения стоимостей торгующихся облигаций, и выявления арбитражных возможностей, то сплайновые модели имеют преимущество. При выполнении первого ограничения на значительное количество одновременно торгуемых ценных бумаг, сплайновые модели позволяют оценить особенности каждого временного участка кривой доходности и получить более точные оценки справедливых стоимостей ценных бумаг. Если рынок низколиквидный, и по некоторым бумагам в день проходят единичные сделки, или сделки отсутствуют, то это чревато появлением значительных случайных выбросов данных, из-за чего сплайновые модели могут дать необоснованный изгиб на определенных участках. Функциональные модели благодаря своей сравнительной жесткости позволяют сгладить такие выбросы, добавляя кривым доходности преемственности, которая предполагает возможность сравнения кривых, построенных в разные моменты времени (торговые дни).
Заключение
На основе анализа, проведенного в работе, были сделаны следующие выводы.
Временная структура процентных ставок – это последовательность значений процентных ставок, упорядоченная по сроку погашения в определенный момент времени. Природа процентных ставок определяет природу временной структуры, и в зависимости от типа ставок могут быть построены различные типы кривой доходности: кривая доходности к погашению, кривая бескупонной доходности, кривая форвардной ставки и мгновенной форвардной ставки.
Существуют три наиболее признанные теории, объясняющие форму кривой временной структуры процентных ставок, а именно: теория чистых ожиданий, теория предпочтения ликвидности и теория сегментации рынка.
В соответствии с теорией чистых ожиданий форвардная ставка в среднем равна ожидаемой будущей ставке спот для того же периода времени, для которого рассчитана форвардная ставка. В теории полагается, что инвесторы стремятся получить наибольший уровень доходности и не имеют временных предпочтений относительно выбора облигаций в рамках некоторого инвестиционного горизонта. Поэтому рост доходности облигаций с каким-либо сроком погашения по сравнению с другими облигациями привлечет к ним внимание инвесторов. Они начнут активно покупать данные бумаги. Цена их возрастет, и, следовательно, понизится доходность. Одновременно инвесторы будут продавать другие облигации, чтобы купить более доходные. Поэтому цена их упадет, а доходность вырастет. В результате таких действий через некоторое время на рынке установится равновесие.
Теория предпочтения ликвидности утверждает, что инвесторы не безразличны к срокам до погашения облигаций, а предпочитают краткосрочные бумаги долгосрочным, поскольку они характеризуются меньшим риском.
Краткосрочные облигации более привлекательны для вкладчиков, поэтому они готовы платить за них дополнительную сумму денег, которая называется премией за ликвидность. В результате доходность краткосрочных бумаг ниже долгосрочных. В свою очередь, долгосрочные облигации должны быть более доходными, чтобы вкладчики согласились покупать их. Таким образом, инвестор получит более высокую доходность, если приобретет долгосрочную бумагу вместо последовательной покупки краткосрочных бумаг в течение того же периода времени. Такая ситуация наблюдается, когда форвардные ставки больше будущей ожидаемой ставки спот для этого же периода. Разница между ними равна премии за ликвидность.
Основным положением теории сегментации рынка является тезис о том, что рынок облигаций поделен на сегменты, в которых действуют определенные инвесторы. Каждый сегмент представляет собой нишу для каждого участника в силу экономических или законодательных ограничений. На рынке облигаций преобладают институциональные инвесторы, имеющие свои предпочтения.
В данной работе также были описаны различные модели и методы построения кривой доходности, а также ее применение при анализе финансовых рынков и формировании портфеля активов. На выбор конкретной модели оказывают влияние множество факторов, и на рынке рублевых облигаций более применимой является оценка модели Нельсона-Сигеля.

Расчетная (практическая) часть
Задача №4
Рассматривается возможность приобретения еврооблигаций МФ РФ на 09.04.03г. Имеются следующие данные. Дата выпуска – 26.06.1997г. Дата погашения – 26.06.2007г. Купонная ставка – 10%. Число выплат – 2 раза в год. Средняя курсовая цена – 99,70. требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 12% годовых.
Определить дюрацию этого обязательства. Как изменится цена облигации, если рыночная ставка: а) возрастет на 1,5%; б) упадет на 0,5%.
Решение
1. С помощью функции «ДЛИТ» в Excel рассчитаем дюрацию облигации.
Для этого необходимо установить параметры выбранной функции, а именно: дату соглашения (дата покупки) 09.04.2003г.; дату вступления в силу (дата погашения) 26.06.2007г.; ставку купона равная 3%; норма доходности 12%; частоту выплат равную 2 и базис равный 1.
В итоге получаем следующий результат: 3,4139
2. Изменение цены облигации при изменении рыночной ставки определим с помощью функции Excel ЦЕНА
Необходимо определить цену облигации, если норма доходности инвестора была равна 13,5%. Для этого установим параметры выбранной функции, а именно: дату соглашения (дата покупки) 09.04.2003г.; дату вступления в силу (дата погашения) 26.06.2007г.; ставку купона равная 3%; норма доходности 13,5%; за сумму погашения примем среднюю курсовую цену равную 99,70; частоту выплат равную 2 и базис равный 1.
Получаем результат равный 88,81.
2. Аналогичным способом можно определить стоимость данной облигации, при условии, что рыночная ставка (норма доходности) упадет до 11,5%. Устанавливаем те же параметры выбранной функции ЦЕНА, изменяя при этом только доходность инвестора равной по условию 11,5%.
Полученный результат равен 94,88
Задача №8
Акции предприятия «Н» продаются по 45,00. Ожидаемый дивиденд равен 3,00. Инвестор считает, что стоимость акции в следующем году вырастет на 11,11%.
Определить ожидаемую доходность инвестиции. Как изменится доходность при прочих неизменных условиях, если инвестор намеревается продать акцию через 2 года, а ее стоимость снизится на 15% от предыдущего уровня?
Решение
Доходность однопериодной инвестиции можно определить по формуле:
EMBED Equation.3 , где Р0 – цена акций в периоде t=0.
EMBED Equation.3
Поскольку все условия кроме цены акций остаются неизменными можно рассчитать доходность акций по модели нулевого роста.
EMBED Equation.3 , где r – норма доходности для инвестора.
EMBED Equation.3
Задача №15
Имеются следующие данные о значении фондового индекса и стоимости акций А.




Необходимо определить бета коэффициент акции. Построить график линии SML для акции А.
Решение
Построим модель зависимости доходности акции от индекса рынка. Такая взаимосвязь может быть описана линейной регрессионной моделью:
EMBED Equation.3
где:
EMBED Equation.3 - доходность ценной бумаги I за определенный период (зависимая переменная),
EMBED Equation.3 - коэффициент смещения,
EMBED Equation.3 - коэффициент наклона,
EMBED Equation.3 - доходность на рыночный индекс за тот же период (независимая объясняющая переменная)
EMBED Equation.3 - случайная погрешность (средняя погрешность обычно принимается равной 0).
С помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа Excel получаем:

Бета-коэффициент (индекс) равен 0,028
Построим линию рынка ценных бумаг (SML). Данная линия показывает зависимость между доходом ценной бумаги и ее бета-коэффицициентом, дня ее построения необходимо определить безрисковый уровень доходности, допустим, что он равен 4%.
EMBED Equation.3
где: EMBED Equation.3 -смещение от идеальной линии SML,
EMBED Equation.3 - средняя доходность рынка;
mf – безрисковый уровень доходности;
В нашем случае EMBED Equation.3 = 4; EMBED Equation.3 = 704,29; EMBED Equation.3 =0,03;
EMBED Equation.3 ;
Получаем:
EMBED Excel.Chart.8 \s




Задача 17
Текущая цена акции В составляет 65,00. Стоимость трехмесячного опциона «колл» с ценой исполнения 60,00 равна 6,20. стандартное отклонение по акции В равно 0,18. Безрисковая ставка составляет 10%
Определить справедливую стоимость опциона. Выгодно ли осуществить покупку опциона?
Решение:
Определим стоимость опциона «колл» по модели Блэка-Шоулза:
EMBED Equation.3
где
EMBED Equation.3 - текущая рыночная цена базового актива
EMBED Equation.3 - цена исполнения опциона
EMBED Equation.3 - безрисковая ставка доходности
Т – время до истечения опциона(в долях в расчете на год)
EMBED Equation.3 - стандартное отклонение доходности
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - нормальное распределение величины d
EMBED Equation.3
С помощью функции Excel «НОРМРАСП» рассчитаем нормальное распределение d:
EMBED Equation.3 = 0,8873; EMBED Equation.3 = 0,8691
Теперь можно рассчитать стоимость опциона:
EMBED Equation.3
Справедливая цена опциона равна 6,81, т.об. его покупка по цене 6,20 будет выгодна для инвестора.
Задача 23
На рынке капитала обращаются два инструмента Д и А, торговлю которыми осуществляют брокеры К, Н и М. Сложившаяся к настоящему моменту конъюнктура рынка представлена в таблице.
Какие сделки должен осуществить инвестор, чтобы осуществить возможность арбитража, и какова его максимальная прибыль при разовой сделке?
Решение
У брокера Н – оптимальный портфель для покупки. Необходимо купить 4 портфеля по 60 д.е. заплатив 240 д.е. для их дальнейшей продажи. И мы их перепродаем К и М по установленным на рынке ценам. В результате получаем прибыль 80 д.е. + 185 д.е. = 265 д.е. Но 240 – вложили, т.е. получаем 265 д.е. - 240 д.е. = 25 д.е. – максимальная прибыль при разовой сделки.

Список использованной литературы
Балабанов И.Т.Основы финансового менеджмента. Как управлять капиталом? Изд. 2-е. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 384 с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционный анализ. М.: ЮНИТИ, 2001. – 286 с.
Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: В 2 т. . - СПб.: Экономическая школа, 2004. - 1166 с.
Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. - М.: ИНФРА-М, 2001. - 368 с
Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. - М.: Тривола, 1995. - 240 с.
Виниченко И. Риск процентной ставки. // Банковские технологии, 2005, №5. – с.15–19.
Воронцовский А.В. Инвестиции и финансрование: Методы оценки и обоснования. Спб. Изд-во СПбГУ, 2005 - 525 с.
Дж.К.Ван Хорн Основы управления финансами. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 800 с.
Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры. -  М.: ИЭПП, 2006. – 416 с.
Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Практикум по российскому рынку ценных бумаг. - М.:Издательство БЕК, 1999. - 784 с.
Количественные методы финансового анализа. /под ред. Брауна С., Крицмена М. - М.: ИНФРА-М, 1996. – 336 с.
Крушвитц Лутц, Шобель Райнер Теория временных предпочтений в условиях неопределенности будущих состояний //Вестник СПбГУ, 2005, № 5. - С.65-82.
Окулов, В. Оценка временной структуры процентных ставок на рынке облигаций// Рынок ценных бумаг. - 2002. - N 4. - C. 74-76.
Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. – М: ИНФРА–М, 2004. – 202 с.
Роуз П.С. Банковский менеджмент. - М.: Дело Лтд, 2005. - 743 с.
Рынок ценных бумаг и его финансовые институты Уч.пособ. /Под ред. В.С.Торкановского. - СПб.: АО «Комплект», 2004. - 421 с.
Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. – М: ИНФРА–М, 2001. – 287 с.
Чесноков А.С. Инвестиционная стратегия, опционы и фьючерсы Изд. пятое. - М.: ПАИМС, 2005. - 112 с.
Шарп. У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли  Д.В. Инвестиции -М.: ИНФРА-М, НФПК NTF, 2004. - 1028 с.
Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 590 с.