7 ВАРИАНТ
Задача 1.
Решите графическим методом задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции f(x) при заданных ограничениях.
f(x)=3x1+3x2
x1-2x2?2
-2x1+x2?6
2x1+x2?6
x1+2x2?6
x1,2?0
Решение
Построим ОДР задачи.
Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми.
x1-2x2=2,
-2x1+x2=6,
2x1+x2=6,
x1+2x2=6.
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти Декартовой системы координат представляет собой многоугольник OACDE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (3,3) с началом координат О (0,0).
Построим некоторую линию уровня 3x1+3x2=a.
Пусть, например, а=0. На графике такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектор-градиенту.
При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. При таком движении линии уровня ОХ предельными точками являются соответственно точка С и точка О. Далее она выходит из ОДР.
Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим какую часть плоскости описывает неравенство x1-2x2?2.
Построим прямую x1-2x2=2. она проходит через точки (2;0) и (0;1) (для того, чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащей прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением, и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству).
Аналогично, графически можно изобразить все ограничения задачи ЛП.
Вторая прямая (по неравенству-2x1+x2?6) проходит через точки (-3;0) и (0;6).
Третья прямая (по неравенству 2x1+x2?6) проходит через точки (3;0) и (0;6).
Четвертая прямая (по неравенству x1+2x2?6) проходит через точки (6;0) и (0;3).
Определим координаты точки С, являющейся точкой пересечения третьей и четвертой прямых. 2x1+x2=6, x1+2x2=6. Имеем x1=2 и x2=2.
Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при x1=2, x2=2 максимальное значение, равное f(x)=3×2+3×2=12..
График см. на рис.1.











Задача 2.1.
Решите симплекс-методом задачу линейного программирования.
max f(x)=(-6x1-4x2+4x3)
x1+x2+x3?-1
-2x1-x2+x3?1
x1,2,3?0
Решение
Решаем задачу с помощью табличного процессора Excel.
Запускаем программу Microsoft Excel.
Создаем текстовую форму – таблицу для ввода условий задачи (см.рис.2).

Вводим исходные данные задачи в созданную форму – таблицу, представленную на рисунке 3.

Введем зависимость для целевой функции:
- курсор в ячейку Е4;
- курсор на кнопку «Мастер функций»;
- в диалоговом окне Мастер функций: шаг 1 из 2 курсор в окно «Категория», в котором выбираем категорию Математические;
- курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ;
- в диалоговом окне СУММПРОИЗВ в строку «Массив1» ввести B$3:D$3; в строку «Массив 2» ввести B4:D4. Ok.
Вводим зависимости для ограничений аналогичным образом (см.пункт4). Полученную таблицу см. на рис.4.

Находим решение следующим образом:
- в строке Меню выбираем Сервис. В развернутом меню выбираем команду Поиск решения. Появляется диалоговое окно Поиск решения. (см.рис.5)

- назначаем целевую функцию (в строке Установить целевую ячейку вводим $E$4; ставим флажок в строке Равной по максимальному значению; в строке Изменяя ячейки вводим B$3:D$3);
- вводим ограничения (нажимаем на кнопку Добавить, появляется диалоговое окно Добавление ограничения. В строке Ссылка на ячейку вводим $E$7 ставим знак ограничения >=, в строке Ограничение вводим $G$7. Нажимаем кнопку Добавить. Аналогично вводим следующее ограничение.

- вводим параметры для решения ЗЛП (во вкладке Параметры).
- нажимаем кнопку Выполнить в диалоговом окне Поиск решений.
- в появившемся диалоговом окне Результаты поиска решения выбираем Сохранить найденное решение.
В исходной таблице появляются заполненные ячейки B3:D3 и E4 с максимальными значениями. Это и есть полученный результат. См. рисунок

Задача 3.
Решите симплекс-методом задачу линейного программирования.
max f(x)=(10x1+2x2)
2x1+x2?1
x1+4x2 ?3
x1,2,3?0
Решение
Решаем задачу с помощью табличного процессора Excel.
Запускаем программу Microsoft Excel.
Создаем текстовую форму – таблицу для ввода условий задачи (см.рис.7).

Вводим исходные данные задачи в созданную форму – таблицу, представленную на рисунке.

Введем зависимость для целевой функции:
- курсор в ячейку Е3;
- курсор на кнопку «Мастер функций»;
- в диалоговом окне Мастер функций: шаг 1 из 2 курсор в окно «Категория», в котором выбираем категорию Математические;
- курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ;
- в диалоговом окне СУММПРОИЗВ в строку «Массив1» ввести B$2:С$2; в строку «Массив 2» ввести B3:С3. Ok.
Вводим зависимости для ограничений аналогичным образом (см.пункт4). Полученную таблицу см. на рис.

Находим решение следующим образом:
- в строке Меню выбираем Сервис. В развернутом меню выбираем команду Поиск решения. Появляется диалоговое окно Поиск решения. (см.рис. )

- назначаем целевую функцию (в строке Установить целевую ячейку вводим $E$3; ставим флажок в строке Равной по максимальному значению; в строке Изменяя ячейки вводим B$2:C$2);
- вводим ограничения (нажимаем на кнопку Добавить, появляется диалоговое окно Добавление ограничения. Вводим следующее ограничение.
- вводим параметры для решения ЗЛП (во вкладке Параметры).
- нажимаем кнопку Выполнить в диалоговом окне Поиск решений.
- в появившемся диалоговом окне Результаты поиска решения выбираем Сохранить найденное решение.

В исходной таблице появляются заполненные ячейки B2:С2 и E3 с максимальными значениями. Это и есть полученный результат. См. рисунок

Задача 4.
Заданы матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей A=(aij) и вектор конечной продукции Y.
Требуется:
проверить продуктивность матрицы А;
построить баланс производства и распределения продукции отраслей.

А= EMBED Equation.3 Y= EMBED Equation.3
Требуется:
проверить продуктивность матрицы А;
построить баланс производства и распределения продукции отраслей.
Решение
Для решения задачи воспользуемся табличным процессором Excel.
1. Проверим продуктивность матрицы А. Для этого вычислим матрицу коэффициентов прямых затрат B=(E-A)-1.
Для вычисления обратной матрицы необходимо:
- выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы;
- выбрать функцию МОБР в категории Математические;
- ввести диапазон ячеек, где содержится матрица Е-А;
- нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы (Е-А). Массив Е-А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы B=(E-A)-1 и введем форму для вычислений МОБР (B6:D8).
См.рисунок

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно матрица А – продуктивна.
2. Построим баланс производства и распределения продукции отраслей. Для этого вычислим вектор валового выпуска Х по формуле X=BY.
В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон ячеек B15:B17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Х=(E-A)-1Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12, G10:G12). Далее нажимаем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.
Имеем: см. рисунок

Заполняем схему МОБ. Получаем : см.рисунок

Задача 5.
Наладчик обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определите:
- вероятность того, что наладчик будет занят обслуживанием станка;
- коэффициент простоя наладчика;
- коэффициент простоя станка.
Решение
Поток поступающих требований на обслуживание станков пуассоновский с параметром ?=2ст./ч. Обслуживание одного станка занимает у наладчика 10 минут ( EMBED Equation.3 ), а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону. Тогда ?=1/ EMBED Equation.3 =1/(1/6ч)=6ст./ч, а ?= ?/ ?=2/6=1/3.
Обслуживающим каналом здесь является наладчик; так как станки обслуживает один рабочий, то n=1. Общее число требований не может превышать числа станков, т.е. m=3.
Система может находиться в четырех различных состояниях:
все станки работают;
один стоит и обслуживается наладчиком, а два работают;
два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания;
три стоят, из них один обслуживается, а два ждут очереди.
Для ответа на поставленные вопросы можно воспользоваться формулами:
EMBED Equation.3 =Ро
EMBED Equation.3 =2/3Ро
EMBED Equation.3 =2/9Ро
Сведем вычисления в таблицу.
1/Ро= EMBED Equation.3 , Ро=9/26.
Величина Ро=9/26 равна вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свободен. Таким образом, рабочий будет занят 1-9/26=17/26 всего рабочего времени.
Математическое ожидание числа станков, стоящих в очереди, равно
EMBED Equation.3 . Суммируя пятую графу, получим Моч=5/13, следовательно, в среднем из трех станков 5/13 станка будет простаивать в ожидании пока освободится наладчик.
Суммируя шестую графу, получим математическое ожидание простаивающих станков. Моч =33/26, т.е. в среднем 33/26 станка не будет выдавать продукцию. Коэффициент простоя станка равен: Кпр.об.= Моч/3=(33/26)/3=11/26, т.е. каждый станок простаивает 11/26 часть рабочего времени в ожидании пока наладчик освободится.
Коэффициент простоя наладчика в данном случае совпадает с Ро, так как n=1, следовательно Кпр.нал.=9/26.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2004. – 144с.
Экономико-математические методы и прикладные модели. Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме «Оптимизационные экономико-математические модели. Методы оптимальных решений». Для студентов III курса по всем специальностям ВЗФЭИ. – М.:ВЗФЭИ, 2002. – 72с.
Экономико-математические методы и прикладные модели. Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. Для студентов III курса по специальности 060400 – «Финансы и кредит» и 060500 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»/ ВЗФЭИ. – М.:ВЗФЭИ, 2002. – 104с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайитбегов и др.; Под ред. В.В.Федосеева. – М.:ЮНИТИ, 2001. – 391с.