Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Контрольная работа
По предмету: Экономико-математические методы и прикладные модели
Выполнила:
Студентка 3 курса
Факультет: финансы и кредит
Вариант-8
Калуга 2008г.
1.8 Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины S1 S2 и S3) Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равны 4 и 6 ден.ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на максимум, и почему?
Решение.
min f(x)= 4x1 + 6x2
3x1 + x2?9
x1+2x2 ?8
x1,x2?0
по скольку x1,x2?0,то решение задачи располагается в I четверти.
Рассмотрим уравнение 3x1 + x2?9
x1 =0 => x2 =9
x2 =0 => x1= 3
Рассмотрим уравнение x1+2x2 ?8
x1=0=> x2=4
x2=0=> x1=8
Рассмотрим уравнение x1 +6x2?12
x1=0=> x2=2
x2=0=> x1=12
Построим вектор, выходящий из начала координат в точку, соответствующую коэффициентам при переменных целевой функции.
Опускаем перпендикуляр.
Для нахождения значения нулевой функции необходимо подставить найденное значение целевой функции:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Подставим удобрения х1=2, х2=3 в целевую функцию:
min F(x)= 4*2+6*3
min F(x) =20
Минимальная стоимость дневного рациона, в котором содержание питательных веществ каждого вила не менее установленного предела, равна 20 единиц.
По скольку область определения функции бесконечна, то максимум функции найти невозможно.
2.8 На основании информации, приведённой в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти её оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственной оценок и теорем двойственности:
Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план её выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II-уменьшить на 5 единиц;
Оценить целесообразность включения в план изделия четвёртого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 еденицы.
Решение.
Сформируем прямую оптимизационную задачу.
Пусть x EMBED Equation.3 количество продукции EMBED Equation.3 -го вида, тогда чтобы максимизировать выручку от реализации готовой продукции, сформируем целевую функцию.
F(x)=3x1+2x2+5x3 => max
x1+2x2+x3?430
3x1+2x3?460
x1+4x2?420
x1…x3?0
Будем считать, что решая задачу симплекс методом, мы найдём оптимальный план.
Симплекс метод.
Приведём задачу к каноническому виду
F(x)=3x1+2x2+5x3+0x4+0x5+0x6
x1+2x2+x3+x4 = 430
3x1+2x3+x5 = 460
x1+4x2+x6 = 420
симплекс таблица:
Поскольку поле приведения задачи к каноническому виду, матрица коэффициентов при переменной в уравнениях ограничений, содержит единичную матрицу. Может быть выделен первый опорный план:
Это будет план - x EQ EMBED Equation.3 (0 0 0 430 460 420)
Целевая функция f(x)=0
F(x)=3*0+2*0+5*0+0*430+0*460+0*420=0
В базис включены вектора А4,А5 ,А6 , образующие единичную матрицу.
Рассчитаем симплекс разности.
1=Z1-C1
Z1= EMBED Equation.3 C*а
1=0*1+0*3+0*1-3= -3
EQ
2=0*2+0*0+0*4-2= -2
3=0*1+0*2+0*0-5= -5
4=0
5=0
6=0
Находим минимальный симплекс разности, это симплекс разности- 3,
Тем самым будет введён вектор А3.
Определим вектор который будет выведен из базиса, для этого рассчитаем отношение Q EMBED Equation.3
Q1=430/1=430
Q2=460/2=230
Q3=420/0=?
По минимальному значению, из базиса выведен вектор А5
На пересечении направляющей строки и направляющего столбца образовался элемент А2, 3=2
Приступим к расчёту новых свободных членов и новых элементов матрицы А.
Свободные члены
-В направляющей строке:
в’2= в2/а2 3=460/2=230
-В других строках:
в’1=в1*а2 3-в2*а13/а2 3=430*2-460*1/2=200
в’3 =в3 *а2 3-в2 *а33 /а2 3=420*2-460*0/2=420
Элементы матрицы А
Находим минимальный симплекс разности, это симплекс разности- 2,
Тем самым будет введён вектор А2.
Определим вектор который будет выведен из базиса, для этого рассчитаем отношение Q EMBED Equation.3
Q1=200/2=100
Q2=230/0=?
Q3=420/4=105
По минимальному значению, из базиса выведен вектор А4
На пересечении направляющей строки и направляющего столбца образовался элемент А1,2=2
Новый опорный план.
Приступим к расчёту свободных членов и новых элемементов.
Новые свободные члены
-в направляющей строке:
в’1= в1/а12=200/2=100
-В других строках:
в’2=в2*а12-в1*а22/а12=230*2-200*0/2=230
в’3 =в3 *а12-в1 *а32 /а12=420*2-200*4/2=20
Элементы матрицы А
-В других строках:
а’21=а21*а12-а11*а22/а12=1,5*2-(-0,5)*0/2=-0,5
а’22= а22*а12-а12*а22/а12=0/2=0
а’23= а23*а12-а13*а22/а12=1*2-0*0/2=1
а’24 = а24*а12-а14 *а22/а12=0*2-0*1/2=0
а’25= а25*а12-а15*а22/а12=0,5*2-0*(-0,5)/2=0,5
а’26 = а26*а12-а16*а22/а12=0*2-0*0/2=0
а’31 = а31 *а12-а11*а32/а12=1*2-(-0,5)*4/2=2
а’32= а32*а12-а12*а32/а12=0/2=0
а’33= а33*а12-а13*а32/а12=0*2-4*0/2=0
а’34= а34*а12-а14 *а32/а12=0*2-4*1/2=-2
а’35= а35*а12-а15*а32/а12=0*2-4*(-0,5)/2=1
а’36= а36*а12-а16*а32/а12=1*2-4*0/2=1
Рассчитаем значение целевых функций
x EQ EMBED Equation.3 (0 100 230 0 0 20)
F(x)=3*0+2*100+5*230+0*0+0*0+0*20=1350
Подставим компоненты найденного оптимального плана в сиситему функциональных задач.
F(х)=3*0+2*100+5*230=1350
0+2*100+230=430
3*0+2*230=460
0+4*100=400
y EMBED Equation.3 =0 по теореме 2(если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение исходной задачи обращается в неравенство, i-е компонента оптимального плана двойственной задачи обращается в ноль)
поскольку х EMBED Equation.3 положительны, то по 2 теореме(если i-е компонента оптимального плана двойственной задачи положительно, то i-е ограничение исходной задачи превращается в строгое равенство)
Сформируем двойственную задачу
Max f(x)= 3x1+2x2+5x3
Min u(x)=430y EMBED Equation.3 +460y EMBED Equation.3 +420y EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решим систему уравнений.
EMBED Equation.3
y EMBED Equation.3 =1
y EMBED Equation.3 =2
y EMBED Equation.3 =0
Подставим в оптимальный план .
u(x)= 430*1+460*2+420*0=1350
Поскольку Min u(x)= Max f(x, то можно считать что задача решена.
3.8
Промышленная группа предприятий(холдинг) выпускает продукцию трёх видов, при этом каждое из трёх предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идёт внутреннее потребление), остальная часть поставляется предприятиями холдинга (идёт на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистам управляющей компании получены экономические оценки а EQ EMBED Equation.3 ( i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А ( норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицы А(а EQ EMBED Equation.3 ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятия холдинга.
Решение.
Сформируем модель Леонтьева:
X1= X11+ X12+X13+ Y1
4.8 В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)
(млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель EMBED Equation.3 (t)=а EMBED Equation.3 +а1к, параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.3 (t) – расчётные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна EMBED Equation.3 (t)=а EMBED Equation.3 +а1к с параметром сглаживания EMBED Equation.3 = 0,4; EMBED Equation.3 = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение.
8
13
15
19
25
27
33
35
40
Расчёт параметров моделей с помощью наименьших квадратов.
а1= EMBED Equation.3 EQ EMBED Equation.3
Ycp=8+13+15+19+25/5=16
tcp=1+2+3+4+5/5=3
а1=(8-16)*(1-3)+(13-16)*(2-3)+(15-16)*(3-3)+(19-16)*(4-3)+(25-16)*(5-3)/(1-3) 2 +(2-3) 2 +(3-3) 2 +(4-3) 2 +(5-3) 2 =4
EMBED Equation.3
а EMBED Equation.3 =Ycp- а1*tcp
а EMBED Equation.3 =16-4*3=4
Сформулируем адаптивную модель
Yр(t, k)= а EMBED Equation.3 (t, k)+ а1(t, k)*t
Yр(t, k)=4+4*t
Рассчитаем модель Брауна при EMBED Equation.3 =0,4:
