ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Аудиторная работа
по дисциплине
«Экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант - 9
Выполнил:
Проверил:
Проф. Горбатков С.А.
УФА 2005
Задача № 1. Оптимальный план выпуска молочной продукции
Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира сметаны требуется соответственно1,01; 1,01 и 9,45 т молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино/час. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 час. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино/час, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 час. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.
Требуется:
Определить объемы выпуска молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль;
Проанализировать, как изменится прибыль и план выпуска молочной продукции, если основное оборудование может быть занято на 2 часа больше;
Определить, к чему приведет задание по выпуску кефира в объеме не менее 10 т.
Экономико-математическая модель
Обозначим через Х1, Х2, Х3 объемы выпуска молока, кефира и сметаны соответственно.
Целевая функция – это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать:
?(x) =30Х1 + 22Х2 + 136Х3 ? max
Ограничения по ресурсам:
1,01X1 + 1,01Х2 + 9,45Х3 ? 136
0,18Х1 + 0,19Х2 ? 21,4
3,25Х3 ? 16,25
X1 ? 100
X1, Х2, Х3 ? 0
Решение:
Приведем описание технологии получения решения ЗЛП.
1.Создаем таблицу и вводим в нее исходные данные:
2. Вводим зависимость для целевой функции.
Для этого ставим курсор в ячейку Е4, затем нажимаем на кнопку «Мастер функций», которая находится на панели инструментов. Выбираем Категорию «Математические», Функцию «СУММПРОИЗВ» и нажимаем OK:
В появившемся окне «Аргументы функции», в строку «Массив 1» вводим B$3:D$3, а в строку «Массив 2» вводим B4:D4 и нажимаем ОK. В ячейку Е4 введена функция.
3. Вводим зависимости для ограничений.
Ставим курсор в ячейку Е4 ? кнопка Копировать в буфер? курсор в ячейку Е7? кнопка Вставить из буфера? курсор в ячейку Е8? кнопка Вставить из буфера? курсор в ячейку Е9? кнопка Вставить из буфера?курсор в ячейку Е10? кнопка Вставить из буфера.
В строке Меню выбираем Сервис? Поиск решения. В появившемся окне «Поиск решения» назначаем целевую функцию. Для этого ставим курсор в строку «Установить целевую ячейку»? вводим адрес ячейки $E$4, равной «Максимальному значению»? курсор в строку «Изменяя ячейки»? вводим адреса искомых переменных $B$3:$D$3.
4. Вводим ограничения.
Нажимаем на кнопку «Добавить», появляется окно «Добавление ограничения».
В строке «Ссылка на ячейку» вводим адрес $E$7? вводим знак ограничения? в строке «Ограничение» вводим адрес $G$7? нажимаем на кнопку «Добавить». Вводим остальные ограничения по этому же алгоритму. После введения последнего ограничения нажимаем кнопку OK. На экране появляется окно «Поиск решения» с введенными условиями.
5. Вводим параметры для решения ЗЛП.
Для этого в окне «Поиск решения» нажимаем на кнопку «Параметры». Появляется окно «Параметры поиска решения». Устанавливаем в окнах «Линейная модель» (это обеспечивает применение симплекс-метода) и «Неотрицательные значения».
Далее нажимаем кнопку OK и на экране появляется окно «Поиск решения». Нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками B3:D3 и ячейка Е4 с максимальным значением целевой функции.
Нажимаем кнопку OK.
Полученное решение означает, что для максимизации прибыли необходимо:
Х1 = 118,88; Х2 = 0; Х3 = 1,68.
Если основное оборудование может быть занято на 2 часа больше, т.е. 21,4 + 2 = 23,4 часа, то получаем новое ограничение и, следовательно, новый план:
Х1 = 130; Х2 = 0; Х3 = 0,49.
Предположим, что Х2 ? 10, тогда появляется новое ограничение и новый план:
Х1 = 108,33; Х2 = 10; Х3 = 1,74.
Задача № 2. Задача о распределении работ.
На предприятии имеется четыре группы станков, каждый из которых может выполнять любую из пяти видов элементарных операций по обработке деталей, причем операции могут производиться в любом порядке. Максимальное время работы каждой из групп станков соответственно равно 320, 400, 240 и 400 ч.; каждая операция должна выполняться соответственно в течение 336, 224, 224, 288 и 288 ч.
Требуется определить на какой операции и сколько времени использовать каждую группу станков, чтобы обработать максимальное количество деталей, если производительность каждого станка группы задана матрицей C, где cij – производительность станка i при выполнении операции j:
К чему приведет запрет на использование станков второй группы для выполнения операции второго типа?
Экономико-математическая модель
F = EMBED Equation.3 Сijxij ?max
EMBED Equation.3 xij = 1 , j=M, M=336, 224, 224, 288, 288
EMBED Equation.3 xij = 1, i?M, M=320, 400, 240, 400
xij ? 0
Решение:
1. Создаем форму для решения задачи (матрицу назначений). Резервируем изменяемые ячейки: в блок ячеек B3:F6 вводим «1». Таким образом резервируется место, где после решения задачи будет находится распределение, на какой операции и сколько времени использовать каждую группу станков, чтобы обработать максимальное кол-во деталей.
2. Вводим граничные условия.
Введение условия использования фонда времени каждой группы станков:
EMBED Equation.3 xij=1, i?320, 400, 240, 400,
где xij – время использования i-ой группы станков на j-ой операции;
5 – количество операций.
Для этого выполняем следующие операции:
Курсор в ячейку А3 ?щелкнуть знак «?» ?выделить необходимые для суммирования ячейки B3:F3 ?нажать Enter (подтверждение ввода формулы для суммирования) ? курсор в А3 ? копировать в буфер (т.е. копировать в буфер формулу, введенную для ячейки А3) ? выделить ячейки А4:А6 ? вставить из буфера (вставка формулы для суммирования в А4:А6).
Введение условия выполнения каждой операции, т.е. время выполнения j-ой операции:
EMBED Equation.3 xij = 1 , j=336, 224, 224, 288, 288.
Для этого выполняем следующие операции:
Курсор в ячейку В7 ?щелкнуть знак «?» (при этом автоматически выделяется весь столбец В3:В6) ?нажать Enter (подтверждение суммирования показателей выделенного столбца) ? курсор в В7 ? копировать в буфер (т.е. копировать в буфер формулу, введенную для ячейки В7) ? выделить ячейки С7:F7 ? вставить из буфера (вставка формулы для суммирования в С7:F7).
3. Вводим исходные данные.
4. Назначаем целевую функцию.
Для вычисления значения целевой функции необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для ее вычисления:
F = EMBED Equation.3 Сijxij ,
где Сij – производительность i-ой группы станков при выполнении j-ой операции,
xij – время использования i-ой группы станков на j-ой операции.
Для этого:
Курсор в ячейку В17 (в данную ячейку будет помещаться значение целевой функции после решения задачи) ? щелкнуть «Мастер функций» (значок fx ) ? в окне «Категория» выбрать «Математические» ? в окне «Функция» выбрать «СУММПРОИЗВ» ? OK.
В окне «СУММПРОИЗВ» указываем адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией:
В поле Массив 1 указываем адреса В11:F14, в поле Массив 2 указываем адреса В3:F6 ? OK.
В поле ячейки В17 появляется значение – 76, равное произведению «1» на производительность каждой группы станков на конкретной операции.
5. Вводим зависимости из математической модели.
Выполняем следующие операции:
Щелкаем Сервис ? Поиск решения ? курсор подводим в поле «Установить целевую ячейку» ? вводим адрес $В$17 (таким образом производится указание ячейки, куда при решении задачи помещается значение целевой функции) ? устанавливаем направление изменения целевой функции, равное «максимальному значению» ? вводим адреса изменяемых ячеек B3:F6. Для этого щелкаем в поле «Изменяя ячейки» и вводим адреса $B$3:$F$6 ?вводим ограничения задачи. Для этого щелкаем «Добавить ограничения» ? в строке «Ссылка на ячейку» вводим $B$7: $F$7, выбираем знак «=», в строке «Ограничение» вводим $B$15:$F$15 (это время выполнения каждой операции) ? добавить ? в строке «Ссылка на ячейку» вводим $G$3: $G$6, выбираем знак « ? », в строке «Ограничение» вводим $G$11: $G$14 (условие использования фонда времени каждой группы станков) ? ОК.
6. Ввод ограничений.
Щелкаем «Параметры» ? ставим флажки на «Линейную модель» и «Неотрицательные значения» ?OK.
Осуществляется выход в поле «Поиск решения». Нажимаем «Выполнить».
Вывод: Чтобы обработать максимальное количество деталей 6384шт., необходимо следующим образом распределить работу между группами станков по операциям:
Если изменить одно условие, т.е. ввести запрет на использование станков второй группы для выполнения операций первого типа (добавляем еще одно ограничение: вводим $В$4 = 0), то получаем новый план:
