Задача № 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.):
Требуется:
1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
- линейную,
- степенную,
- показательную,
- гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
- индекс корреляции,
- среднюю относительную ошибку,
- коэффициент детерминации,
- F – критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличатся на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.
Решение:
1. Для характеристики У от Х построим:
а) линейную модель регрессии
у(х) = a + b*x, где
EMBED Equation.3
a = EMBED Equation.3 - b * EMBED Equation.3
Расчет параметров моделей выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.
Рис. 1.1 Расчет параметров линейной регрессии
Отсюда модель имеет вид:
у(х) = - 2,063 + 1,272*х
б) степенную модель регрессии
y(х) = a * EMBED Equation.3
lgy(x) = lga + b*lgx
Пусть lgy(x) =У, lga = A, lgx = X, тогда
У = A + b*X,где
EMBED Equation.3
A = EMBED Equation.3 - b * EMBED Equation.3
Рис. 1.2 Расчет параметров степенной регрессии
Отсюда уравнение имеет вид:
y(х) = 1,05* EMBED Equation.3
в) показательную модель регрессии
y(х) = а* EMBED Equation.3
lgy(x) = lga + x*lgb
Пусть lgy(x) =У, lga = А, lgb = B, тогда
У = A + B*x, где
EMBED Equation.3
A = EMBED Equation.3 - B * EMBED Equation.3
Рис. 1.3 Расчет параметров показательной регрессии
Отсюда уравнение имеет вид:
y(х) = 26,689* EMBED Equation.3
г) гиперболическую модель регрессии
y(х) = a + b/х
Пусть 1/х =X, тогда
y(x) = a + b*X, где
EMBED Equation.3
a = EMBED Equation.3 - b * EMBED Equation.3
Рис. 1.4 Расчет параметров гиперболической регрессии
Отсюда уравнение имеет вид:
у(х) = 153,90 - 4702/х
2. Оценим каждую модель, определив:
- индекс корреляции
EMBED Equation.3
- среднюю относительную ошибку
EMBED Equation.3
- коэффициент детерминации
EMBED Equation.3
- F – критерий Фишера.
EMBED Equation.3
а) для линейной регрессии.
Согласно рис. 1.1 имеем:
R = 0,9789
Между изучаемыми признаками присутствует прямая и очень тесная связь.
EMBED Equation.3 = 0,9582
Вариация выпуска продукции на 95,82% обусловлена вариацией объема капиталовложений.
F = 114,59
Табличное значение F- критерия найдем с помощью функции FРАСПОБР (рис. 1.5).
Рис. 1.5 Определение табличного значения F- критерия
Т.к., F > Fтабл., то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии статистически значимо.
EMBED Equation.3 2,24%
В среднем расчетные значения у(х) отличаются от фактических значений на 2,24%.
б) для степенной регрессии
Согласно рис. 1.2 имеем:
r = 0,9787
Между изучаемыми признаками присутствует очень тесная связь.
EMBED Equation.3 = 0,9578
Вариация выпуска продукции на 95,78% обусловлена вариацией объема капиталовложений.
F = 113,35
Т.к., F > Fтабл., то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии статистически значимо.
EMBED Equation.3 2,15%
В среднем расчетные значения у(х) отличаются от фактических значений на 2,15%.
в) для показательной регрессии
Согласно рис. 1.3 имеем:
r = 0,9730
Между изучаемыми признаками присутствует очень тесная связь.
EMBED Equation.3 = 0,9467
Вариация выпуска продукции на 94,67% обусловлена вариацией объема капиталовложений.
F = 88,81
Т.к., F > Fтабл., то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии статистически значимо.
EMBED Equation.3 2,40%
В среднем расчетные значения у(х) отличаются от фактических значений на 2,40%.
г) для гиперболической регрессии
Согласно рис. 1.4 имеем:
r = 0,9799
Между изучаемыми признаками присутствует очень тесная связь.
EMBED Equation.3 = 0,9601
Вариация выпуска продукции на 96,01% обусловлена вариацией объема капиталовложений.
F = 120,38
Т.к., F > Fтабл., то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии статистически значимо.
EMBED Equation.3 2,24%
В среднем расчетные значения у(х) отличаются от фактических значений на 2,24%.
3. Составим сводную таблицу вычислений
Таблица 1.1
В качестве лучшей модели для построения прогноза выберем гиперболическую модель регрессии, т.к. она имеет большее значение коэффициента детерминации о большее значение F- критерия Фишера.
4. Построим прогноз
а) точечный прогноз
хпр. = 1,1 * EMBED Equation.3 = 1,1 * 62,29 = 68,519 млн. руб.
упр. = 153,90 – 4702/68,519 = 85,277 млн. руб.
б) интервальный прогноз
Верхняя граница прогноза: упр. + Uпр.
Нижняя граница прогноза: упр. - Uпр.
Uпр. = Sу * tтабл. * EMBED Equation.3
Vпр. = 1 + EMBED Equation.3
Табличное значение t- критерия найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Определение табличного значения t- критерия
Sу = EMBED Equation.3
Sу = 2,421
Vпр. = 1,2320
U(1) = 6,909
Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в табл. 1.2.
Таблица 1.2
4. Отобразим на графике фактические данные результаты расчетов и прогнозирования
Задача № 2
По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (У) от среднегодовой ставки по кредитам (Х1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3):
Требуется:
1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить:
- линейный коэффициент множественной корреляции,
- коэффициент детерминации,
- средние коэффициенты эластичности,
- бета-, дельта-коэффициенты.
Дать их интерпретацию.
4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
5 Оценить с помощью t- критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
7. Отобразить результаты расчетов на графике.
Выполнение задач отобразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов.
Решение:
1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели
Рассчитаем матрицу коэффициентов парной корреляции
Расчет параметров выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.
Рис. 2.1 Диалоговое окно Корреляция подготовлено к
выполнению анализа данных
Рис. 2.2 Результат корреляционного анализа
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем прибыли, имеет тесную и прямую связь со среднегодовыми ставками по кредитам (rух1 = 0,6075), со ставками по депозитам (rух2 = 0,6047), и тесную и обратную связь с размерами внутрибанковских расходов ( rух3 = - 0,5533). Однако факторы Х1 и Х2 тесно связаны между собой (rх2х3 = 0,9246), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из двух факторов оставим в модели Х1.
2. Рассчитать параметры модели
У(х) = а0 + а1 * Х1 + а2 * Х3
Рис. 2.3 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к
выполнению анализа данных
Рис. 2.4 Результат регрессионного анализа
Отсюда уравнение имеет вид:
У(х) = 124,130+ 0,630*Х1 – 0,523*Х3
3. Определим:
- линейный коэффициент множественной корреляции
Согласно рис.2.4 имеем:
R = 0,6432
Связь между изучаемыми признаками тесная
- коэффициент детерминации
EMBED Equation.3 = 0,4138
Вариация прибыли банка на 41,38% обусловлена вариацией включенных факторов.
Рис. 2.5. Расчет средних коэффициентов эластичности,
?-коэффициентов и дельта коэффициентов
Эх1 = 0,5196%
Эх3 = - 1,0115%
Главным фактором изменения результативного признака является фактор Х3, при его изменении на 1% прибыль банков снизится на 1,0115%.
- бетта- коэффициенты
EMBED Equation.3
bx1 = 0,4291
bx3 = - 0,2767
C учетом уровня колеблемости факторов наибольшие резервы в изменении результативного показателя заложены в изменения фактора Х1.
- дельта коэффициенты
EMBED Equation.3
?x1 = 0,63
?x3 = 0,37
Наибольшая доля влияния выпадает на фактор х1; роль этого фактора в вариации результативного показателя составляет 63% общего влияния двух факторов на результативный показатель.
4. Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.
EMBED Equation.3
Согласно рис.2.4 имеем:
F = 2,47
Табличное значение F- критерия найдем с помощью функции FРАСПОБР (рис. 2.6).
Рис. 2.6 Определение табличного значения F- критерия.
Т.к., F < Fтабл., то с вероятностью 0,95 уравнение регрессии статистически не значимо.
5. Оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Согласно рис.2.4 имеем:
ta0 = 0,869
ta1 = 1,134
ta2 = - 0,731
Табличное значение t- критерия найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Определение табличного значения t- критерия
С вероятностью 0,95 параметры а0, а1 и а2 статистически незначимы, т.к. ta0 < tтабл., ta1< tтабл. и ¦ta2¦ < tтабл.
6. Построим прогноз на 2 шага вперед
а) точечный прогноз
Построим точечные значения факторов на два шага вперед используя следующие функции:
- линейную;
- степенную;
- полиноминальную 2-й степени;
- полиноминальную 3-й степени функции.
Для фактора Х1 выбрана полиноминальная модель 3-й степени, т.к. она имеет большее значение коэффициента детерминации
