СОДЕРЖАНИЕ
Ведение……………………………………………………………………………2
Расчетная часть:
Задание № 1………………………………………………………………...3
Задание № 2……………………………………………………………….11
Задание № 3……………………………………………………………….21
Список используемой литературы……………………………………………..25










ВВЕДЕНИЕ
Прагматизм рыночных отношений проявляется в том, что любые ценности, в частности материального характера представляют интерес для юридических и физических лиц, поскольку способствует достижению, прежде всего экономических целей. Заметим, в этой связи, что по различным оценкам на руках у населения России находятся десятки миллиардов долларов. Значительными суммами так же располагают юридические лица. Поэтому вопрос об эффективном инвестировании этих средств актуален как для населения, так и для предприятия России. Рациональное решение подобной проблемы в современной динамически развивающем мире, очевидно, невозможно без математического моделирования соответствующих финансовых операций.
В частности, одним из способов инвестирования является вложение средств в различные финансовые инструменты (ценные бумаги, денежные обязательства, валюта и т.д.). Стало быть, математическое моделирование финансовых рынков, на которых обращаются эти инструменты, является задачей, представляющей не только теоретический, но и огромный практический интерес.
Так же математические методы и модели являются мощнейшим и эффективным инструментов исследования и изучения финансовых рынков.
Под термином «финансовая математика» понимается, как правило, методы финансовых количественных расчетов.


РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
Задание 1.
Исходные данные:
Таблица 1.
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольфа-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппромиксации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении EMBED Equation.3 ;
Нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение 1:
Подготовим расчетную таблицу, в которой включим столбцы t, Y, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Для заполнения Табл.2 выполним предварительный расчет.
Для определения трендовых коэффициентов построим вспомогательную линейную регрессию по данным за первые восемь кварталов (2 года).
Воспользуемся средствами табличного процессора Microsoft Excel (Сервис/Анализ данных/Регрессия) и получим следующие данные:
Таблица 2.
Таким образом, мы нашли значения а(0)=39,21 и b(0)=0,87.
Рассчитаем значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году.
Воспользуемся построенной регрессией (Табл.3 – столбец предсказанное Y ) для расчета коэффициента сезонности.
Таблица 3.
EMBED Equation.3 - коэффициент сезонности 1 квартала 1 года
.
.
.
EMBED Equation.3 - коэффициент сезонности 1 квартала 2 года
В качестве оценки коэффициента сезонности 1 квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и получим
F(-3)=0,86; F(-2)=1,08; F(-1)=1,27; F(0)=0,79
Оценив значения a(0), b(0) , а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), перейдем к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул:
EMBED Equation.3
Рассчитаем значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Выберем t=0, k=1 => EMBED Equation.3 =>
=> EMBED Equation.3
Уточним коэффициенты модели: примем t=1 и вычислим
EMBED Equation.3 =>
=> EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =>
=> EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =>
=> EMBED Equation.3
Аналогично определяются остальные коэффициенты и EMBED Equation.3 для всех уровней исходных данных (т.е. за 16 кварталов).
Полученная таблица называется моделью Хольта-Уинтерса.
EMBED Equation.3
Таблица 4.
Решение 2.
По столбцам исходных данных EMBED Equation.3 (Табл.2.) и полученных данных EMBED Equation.3 (Таблица 4) рассчитаем остатки EMBED Equation.3
Получим следующие результаты
Таблица 5.
Для проверки точности рассчитаем относительную погрешность каждого уровня
EMBED Equation.3
используя функции табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/ABS) (Таблица 6).
По полученным результатам определим среднее значение с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СРЗНАЧ).
Средняя относительная ошибка аппроксимации составляет 8,87%, которая больше 5% => модель имеет невысокую точность.
Решение 3.
Для проверки случайности остатков рассмотрим график остатков
График 1.

По графику найдем количество поворотных точек – это точки максимума и минимума. => Р=6.
Определим по формуле EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 При n=16 получим
EMBED Equation.3
Так как Р=6= EMBED Equation.3 =6 => свойство случайности остатков выполняется.
Проверка независимости остатков по d – критерию
EMBED Equation.3
Подготовим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel СУММКВ и СУКВРАЗН (Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВ; Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВРАЗН) => EMBED Equation.3 =345,16; EMBED Equation.3 =327,08 => EMBED Equation.3
Критические значения равны EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 (по условию задачи); d=1,06< EMBED Equation.3 , т.е. d< EMBED Equation.3 => автокорреляция присутствует и модель не адекватна.
Проверим отсутствие автокорреляция по первому коэффициенту автокорреляции.
EMBED Equation.3
Подготовим EMBED Equation.3 с помощью табличного процессора Microsoft Excel СУММПРОИЗВ (Мастер функции/Категория – Математические/СУММПРОИЗВ) => EMBED Equation.3 = 172,2 => EMBED Equation.3 .
Критическое значение EMBED Equation.3 (по условию задачи).
EMBED Equation.3 => свойство независимости остаточной компоненты не выполняется.
Рассчитаем значения R/S по формуле
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel МАКС и МИН (Мастер функции/Категория – Статистические/МАКС; Мастер функции/Категория – Статистические/МИН ) => EMBED Equation.3 =4,85; EMBED Equation.3 =-8,44
S(E) найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СТАНДОТКЛОН) => S(E)=3,97
Получим EMBED Equation.3
Полученное значение R/S сравним с табличными значениями [3;4,21] => R/S=3,35 входит в критический интервал => свойство нормального распределения остатков выполняется.
Таким образом, по точности модель удовлетворительна, но не является адекватной, так как не выполняется свойство независимости остатков. Прогноз по этой модели проводить нецелесообразно.
Решение 4.
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=18 по t=20).
Для первого квартала будущего года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса EMBED Equation.3
t=16, k=1 и найдем
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решение 5.
График 2.

Из графика видно, что расчетные данные практически согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.



Задание 2.
Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.
Требуется рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 6.
Решение
Найдем экспоненциальную скользящую среднюю
Экспоненциальная скользящая средняя рассчитывается по формуле
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
n=5 (по условию задачи) => расчет начинаем с пятой строки.
Для определения начального значения EMBED Equation.3 используем формулу простой скользящей средней, т.е. EMBED Equation.3 ? МА EMBED Equation.3 .
Простую скользящую среднюю найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СРЗНАЧ) и получим
МА EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 =545,33
Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней при EMBED Equation.3 . Получим
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.
График 3.

С 5-го по 9-ый день ЕМА(t) ниже чем С(t) => рекомендуются покупки.
В 10-ый день С(t) уходит вверх, это сигнал разворота к покупкам.
момент
Рассчитаем момент по формуле EMBED Equation.3 , где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и т.д.
Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы
Таблица 7.
Покажем на графике линию момента
График 4.

С 6-го по 8-ый день график момента целиком находится в области ниже нулевого уровня; рекомендуется продажа. Разворот тренда произошел с 8 - 10 день.
скорость изменения цен
Для расчета используем формулу
EMBED Equation.3
n=5 (по условию), t?n+1 => t=6 =>
=> EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и т.д.
Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы.
Таблица 8.
Покажем на графике линию скорости изменения цен
График 5.

График скорости изменения цен целиком находится в области выше уровня 100%; с 6-го по 10-ый день рекомендуется покупки. Сигнала разворота нет.
индекс относительной силы
Для использования формулы расчета индикатора RSI
EMBED Equation.3 предварительно найдем изменение цен закрытия EMBED Equation.3 , для всех дней t?2.
Из значений EMBED Equation.3 выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен с помощью функции ЕСЛИ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Логические/ЕСЛИ).
Для всех t?6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли закрытия за 5 дней до дня t (n=5 задано по условию) с помощью функции СУММ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/СУММ).
Теперь найдем величины EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и т.д.
Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы. Таблица 9.
Рассмотрим график RSI:


График 6.

6-ой день – график находится ниже нейтральной зоны, нельзя проводить финансовые операции в соответствии с сигналами других индексов.
7-10 дни – график в зоне «перекупленности», ожидается разворот.
10 день – график вышел из зоны «перекупленности», что является сигналом разворота тренда, рекомендуется начать продажи.
%R, %K, %D
Для расчета стохастических индексов необходима полная информация: - минимальная и максимальная цена ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 );
- EMBED Equation.3 ;
- EMBED Equation.3 ;
- EMBED Equation.3 .
Расчет возможен для t?5.
1. Заполним столбцы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 начиная с пятой строки с помощью функций МИН и МАКС табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/МИН; Мастер функции/Категория – Статистические/МАКС).
Таблица10.
2. Заполним столбцы разницы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Таблица 11.
3. Вычислим индексы %К и %R по формулам
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
4. Вычислим трехдневные суммы для ( EMBED Equation.3 ) и ( EMBED Equation.3 ), начиная с (n+2) дня, т.е. начинаем с седьмого уровня. Для нахождения трехдневной суммы воспользуемся функцией СУММ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/СУММ).
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Таблица12.
5. Вычислим %D по формуле
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 13.
Покажем стохастические линии %R, %K, %D на одном графике
График 7.

График %К показывает, что в 5-9ый день можно совершать финансовые операции в соответствии с сигналами других индексов, т.к. график находиться в нейтральной зоне; 10 день рекомендуется прекратить финансовые операции (график находиться в критической зоне «перекупленности»).
График %R является зеркальным отражением графика %К. Для него верхняя критическая зонная является зоной «перепроданности», а нижняя – зоной «перекупленности». Таким образом, выводы по графику %R совпадают с выводами по графику %К.
График %D показывает, что в 7 день сигнал является слабым и принимается во внимание только в том случае, если не противоречит основной тенденцией движения цены, 8-10 дни можно совершать финансовые операции в соответствии с сигналами других индексов.
Биржевая диаграмма


Задание 3.
Решение:
3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Tн, возврата - Tк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Для расчета точного числа дней ссуды воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel – разность между датой закрытия и датой открытия, т.е. t=59 дней.
Простые проценты рассчитываются по формуле
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 , Р=2 500 000 руб., I=30%
3.1.1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (АСТ/АСТ):
EMBED Equation.3 => EMBED Equation.3 руб.
3.1.2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (АСТ/360):
EMBED Equation.3 => EMBED Equation.3 руб.
Для расчета приближенного числа дней ссуды воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel, t=56.
3.1.3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):
EMBED Equation.3 => EMBED Equation.3 руб.
3.2. Через Tдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Денежная сумма: разовая, S=2 500 000 руб.
Операция: дисконтирование, Р - ?
Проценты: простые => расчет по формулам
Первоначальная сумма для простых процентов рассчитывается по следующей формуле
EMBED Equation.3 , где n=180/360, i=30%, S=2 500 000 руб.
EMBED Equation.3 руб.
D=S-P => D=2 500 000- 2173913,043= 326086,9565 руб.
3.3. Через Tдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Денежная сумма: разовая, S=2 500 000 руб.
Операция: дисконтирование, Р - ?
Проценты: простые => расчет по формулам
Первоначальная сумма для простых процентов рассчитывается по следующей формуле
EMBED Equation.3 , n =180/360, d=30% =>
=> EMBED Equation.3 руб.
D=S-P => D=2 500 000-2 125 000,00= 375000,000 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Tлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить наращенную сумму.
Денежная сумма: разовая, Р=2 500 000 руб.
Операция: наращение, S- ?
Проценты: сложные => используются функции табличного процессора Microsoft Excel. => S=P*(1+i)n= 7140250,00 руб.
3.5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Денежная сумма: разовая, Р=2 500 000 руб.
Операция: наращение, S- ?
Проценты: сложные => используются функции табличного процессора Microsoft Excel.=> S=P*(1+j/m)N=7 647 557,16р.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i % годовых.
Для нахождения эффективной ставки процента воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel-ЭФФЕКТ.
EMBED Equation.3 =(1+j/m)m-1=32%
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начисленни процентов m раз в году, чтобы обеспечить аффективную ставку i % годовых.
Для нахождения номинальной ставки процента воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel- НОМИНАЛ.
EMBED Equation.3 =m*[(1+ EMBED Equation.3 )1/m-1]=28.04%
3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i % годовых.
Денежная сумма: разовая, S=2 500 000 руб.
Операция: дисконтирование, P- ?
Проценты: сложные => используются функции табличного процессора Microsoft Excel. => Р=ПС=1/(1+i)n=Svn= 875 319,49 руб.
3.9. Через Tлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i % годовых. Определить дисконт.
Денежная сумма: разовая, S=2 500 000 руб.
Операция: дисконтирование, P- ?
Проценты: сложные => используются функции табличного процессора Microsoft Excel.=> Р=БС=S*(1-dсл)n=600250 руб.
D=S-P => D=2 500 000 - 600 250,00=189 9750 руб.
3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
По условию задана номинальная ставка EMBED Equation.3 =30%, требуется найти эффективную ставку EMBED Equation.3 при начислении 2 раза в год m=2.
Для нахождения эффективной ставки процента воспользуемся табличным процессором Microsoft Excel.=> EMBED Equation.3 =ЭФФЕКТ=32%
Денежная сумма: платежи, R=2 500 000 руб. 1 раз в год
Операция: наращение, S- ?
Проценты: сложные => используются функции табличного процессора Microsoft Excel. => S=БС= 15 905 920,00 руб.




СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Методические указания по изучения дисциплины и контрольные задания. Для студентов IV курса по специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ.- М.: Финстатинформ, 2002.-78с.
Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операция: Учеб.пособие/Под ред.В.А.Половникова и А.И.Пилипенко.-М.: Вузовский учебник, 2004.-360с.
Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-экономические модели. М.: ЮНИТИ, 1995.