ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Кафедра Экономико-математических методов и моделей
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Контрольная работа
Вариант № 2
Выполнила:
Факультет Группа №
л/д №
Проверила: Бесхлебнова Галина Александровна
Москва 2007
Задача 1.
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
1.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
РЕШЕНИЕ:
Введем следующие обозначения:
EMBED Equation.3 количество кормов первого вида;
EMBED Equation.3 количество кормов второго вида. Цена 1 кг корма первого вида составляет EMBED Equation.3 (тыс. руб.), а цена 1 кг корма второго вида – EMBED Equation.3 (тыс. руб.), т.е. необходимо минимизировать целевую функцию:
EMBED Equation.3
Ограничения задачи имеют вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Первое ограничение по питательному веществу А EMBED Equation.3 . Прямая EMBED Equation.3 проходит через точки (0;6) и (3;0) (рис. 1.1).
Второе ограничение по питательному веществу В EMBED Equation.3 . Прямая EMBED Equation.3 проходит через точки (0;3) и (6;0) (рис. 1.1).
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.
Рис. 1. 1.
Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая выше пересекающихся прямых EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . В данном случае целевая функция не ограничена сверху – это особый случай решения ЗЛП, максимальной точки нет.
При минимизации функции линия уровня перемещается в направлении противоположному вектору – градиенту.
Решая систему уравнений EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
Находим, что EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Ответ:
Затраты на корма будут минимальными EMBED Equation.3 , если ежедневно будет расходоваться по 2 килограмма кормов каждого вида
( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
При решении задачи на максимум – решений не будет, т.к. целевая функция не ограничена сверху (особый случай ЗЛП).
Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
2.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
РЕШЕНИЕ:
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
EMBED Equation.3 норма расхода сырья на одно изделие А
EMBED Equation.3 норма расхода сырья на одно изделие Б
EMBED Equation.3 норма расхода сырья на одно изделие В
EMBED Equation.3 норма расхода сырья на одно изделие С
Целевая функция имеет вид
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Ограничения:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1), и (рис. 2.2).
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (2115 ед.) предприятие может получить при выпуске 95 единиц изделия А и 210 единиц изделия В. При этом тип сырья 2 и 3 будут использованы полностью, а из 180 единиц сырья 1 будет использовано только 95 единиц.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3.
Рис. 2.3
Содержание отчета по результатам
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных EMBED Equation.3 , которые соответственно равны 95; 210; 0; 0; значение целевой функции – 2115, а также левые части ограничений.
Оптимальный план EMBED Equation.3
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: тип сырья 1, 2 и 3. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:
EMBED Equation.3 двойственная оценка типа сырья 1
EMBED Equation.3 двойственная оценка типа сырья 2
EMBED Equation.3 двойственная оценка типа сырья 3
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:
EMBED Equation.3
Необходимо найти такие «цены» на типы сырья EMBED Equation.3 ,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.
Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.
Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 тогда
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Подставим оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 в полученные выражения
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
И получим
EMBED Equation.3 так так 95 < 180, то EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 если EMBED Equation.3
В задаче EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решая систему уравнений:
EMBED Equation.3 ,получим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).
Рис.2.4
Содержание по отчету устойчивости
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Затраты на 3 и 4 изделия превышают цену ( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 (нормир. стоимость) равны -0,5 и -5 соответственно. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.
3) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:
Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины EMBED Equation.3 приводит к увеличению или уменьшению EMBED Equation.3 . Оно определяется:
EMBED Equation.3
Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья II и III вида и уменьшим I вида, то выручка возрастет на 540 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 2655 единиц.
При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.
Решим систему уравнений: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
откуда EMBED Equation.3 .
Новый оптимальный план EMBED Equation.3 ,
при этом EMBED Equation.3 , т.е. теряется при уменьшении I вида сырья 180 ед., приобретается при увеличении II вида сырья – 720 ед.
Оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Для оценки целесообразности включения в план изделия «Д» воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.
EMBED Equation.3 , подставим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Т.к. EMBED Equation.3 , то включение в план изделия «Д» выгодно.
Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.
Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.
Таблица 1
Таблица 2
РЕШЕНИЕ:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
1.1. Заполним таблицу 2 данными:
1.2. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (рис. 3.1)
Рис. 3.1
Исходные данные
1.3. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.
Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности. EMBED Equation.3 (рис. 3.2)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 3.2
1.5. Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу EMBED Equation.3 ), надо матрицу EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 умножить на Конечный продукт (матрицу EMBED Equation.3 ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 3.4).
Рис. 3.4
Определение валовой продукции (матрица EMBED Equation.3 )
1.6. Матрица EMBED Equation.3 (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор EMBED Equation.3 .
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти EMBED Equation.3 (рис. 3.4)
Рис. 3.4
Распределение продукции предприятий холдинга
2.2. Построим межотраслевой баланс производства (рис. 3.5)
Рис. 3.5
Межотраслевой баланс производства
Условно чистая продукция – это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.
Ответ:
1) Матрица EMBED Equation.3 (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор EMBED Equation.3 .
2)
Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5) По двум построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
РЕШЕНИЕ:
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( EMBED Equation.3 ) (таблица 4.1).
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение EMBED Equation.3 уровня ряда считается аномальным.
Таблица 4.1
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Все полученные значения сравнили с табличными значениями, EMBED Equation.3 не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.3 и 4.4.
Таблица 4.3
Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости EMBED Equation.3 (спрос на кредитные ресурсы) от EMBED Equation.3 (время) имеет вид EMBED Equation.3 (рис. 4.5).
Таблица 4.4
Вывод остатков
Рис. 4.5
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
EMBED Equation.3 , используются данные табл. 4.4.
Таблица 4.6
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1 (рис. 4.7). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.
Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона Рис. 4.7
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 4 (рис.4.8).
Рис. 4.8
Неравенство выполняется (4 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае EMBED Equation.3 , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.9 собраны данные анализа ряда остатков.
Анализ ряда остатков Таблица 4.9
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Таблица 4.10
Расчет относительной ошибки аппроксимации
EMBED Equation.3
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.11)
t = 1,12
Рис. 4.11
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости EMBED Equation.3 , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при EMBED Equation.3 равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (находим из таблицы 4.1),
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.12).
Таблица 4.12
Таблица прогноза
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.
Рис. 4.13
Литература
Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.
Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
Половников В.А., Орлова И.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002.
Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
