ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
По дисциплине: Экономико-математические методы и прикладные модели
По теме: Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений.
Вариант №3
«Пенза 2006»
Содержание
Задача по оптимизации инвестиционного портфеля
Постановка экономической задачи 3
Экономико-математическая модель 4
Решение 5
Вывод 8
Задача распределения самолетов по маршрутам
Постановка экономической задачи 9
Экономико-математическая модель 10
Решение 11
Вывод 13
Приложения 14
Задача оптимизации инвестиционного портфеля
Постановка экономической задачи
Частный инвестор предлагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги (см. таблицу)
После консультации со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.
Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:
Все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;
По крайней мере, 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке;
По крайней мере, 25 % средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
В облигации нужно инвестировать, по крайней мере, столько же, сколько в акции;
Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10%.
Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?
Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменения ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств? Почему?
Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно акциям) – это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода?
Экономико-математическая модель
Пусть акции А с годовым доходом 15 % будут Х1
Пусть акции В с годовым доходом 12% будут Х2
Пусть акции С с годовым доходом 9% будут Х3
Пусть долгосрочные облигации с годовым доходом 11% будут Х4
Пусть краткосрочные облигации с годовым доходом 8% будут Х5
Пусть срочный вклад с годовым доходом 6% будет Х6
Тогда целевая функция будет иметь вид:
0,15Х1 + 0,12Х2 + 0,09 Х3 +0,11Х4 + 0,08 Х5 + 0,06 Х6 ? max
Данная задача будет иметь следующие ограничения:
Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6= 500000 – все денежные средства, которыми располагает инвестор, должны быть вложены;
Х6 >= 100000 – должны быть на срочном вкладе в банке;
Х3 >= 0,25 (Х1 + Х2 + Х3) – 25% денежных средств инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
Х1 + Х2 + Х3 >= Х4 + Х5 – денежных средств инвестированных в облигации нужно столько же, сколько в акции
Х3 + Х5 + Х6 <= 125000 – в ценные бумаги с доходом не менее 10% должно быть инвестировано не более 125000 руб.
Решение
Создается новая книга в Microsoft Excel.
В данной задаче значения Хi будут размещены в ячейках А4:F4, значение целевой функции – в ячейке Н4.
Вводятся исходные данные задачи.
Далее в ячейку А6 вводятся финансовые ограничения на инвестирование в ценные бумаги, т.е. денежные средства, которыми располагает инвестор в размере 500000 рублей должны быть вложены полностью.
В ячейку А7 вводятся ограничения по денежным средствам на срочном вкладе
В ячейку А8 вводятся ограничения по инвестированию облигаций и акций, т.е. денежных средств по этим ценным бумагам.
В ячейку А9 вводятся ограничения инвестированию в акции с низким риском, которые составляют 25 % средств от общей суммы, затраченной на приобретение всех акции.
В ячейку А10 вводятся ограничения по вложению средств, но не более 125000 рулей в ценные бумаги с доходом менее 10% (рис. 1).
Рис. 1. Таблица с исходными данными
Зависимость формул представлена на рис. 2.
Рис. 2. Таблица зависимости с ограничениями
В Меню Сервис выбрать команду Поиск решения. Запустить команду Поиск решения (рис. 3).
Рис. 3. Меню Поиск решения
Уславливается целевая ячейка с адресом ячейки $Н$4. Водится тип целевой функции равной максимальному значению. В строке Изменяя ячейки вводятся адреса искомых ячеек $A$4:$F$4.
Затем вводятся ограничения приемлемые для задачи: поместить указатель мыши на кнопку Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в ячейки вводится адрес: $A$6 = $C$6 (рис. 4)
Рис. 4. Добавление ограничения
Далее вводятся все ограничения данные по условию задачи, как представлено на рис. 5
Рис. 5. Меню Поиск решения введены условия задания
Ввод параметров для решения задачи линейного программирования.
В окне Поиск решения указателем мышки нажать на кнопку Параметры, на экране появится Параметры поиска решения (рис. 6). Установить флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательное значение.
Рис. 6. Ввод параметров поиска решения
После нажатия ОК появится диалоговое окно Поиск решения. Затем запустить команду Поиск решения нажав кнопку Выполнить.
Через время появится диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с полученными результатами, с заполненными ячейками А4:F6 со значениями х1, х2, х3, х4, х5, х6 и ячейка Н4 с максимальным значением целевой функции. Также в окне Результаты поиска решения появится Тип отчета, где выделяются все три вида отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы и ОК (рис.7). Далее появятся следующие отчеты:
Отчет по результатам (Приложение 1);
Отчет по устойчивости (Приложение 2);
Отчет по пределам (Приложение 3).
Рис. 7. Результаты поиска решения
Рис. 8. Решение найдено. Все ограничения выполнены
Вывод
В результате решения задачи получены следующие данные для распределения денежных средств в ценные бумаги с максимальным годовым доходом:
Акций А с годовым доходом 15% нужно приобрести не более чем на 75000 рублей;
Акций С с годовым доходом 9% нужно приобрести не менее чем на 25000 рублей;
Долгосрочных облигаций с доходом 11% - на сумму 300000 рублей;
На срочный вклад с доходом 6% положить не менее 100000 рублей.
С учетом такого вложения в ценные бумаги инвестор получит процентный годовой доход в размере 52500 рублей.
Если инвестор вносит дополнительные средства в ценные бумаги, например, еще 200000 рублей, то максимальный процентный годовой доход при распределении денежных средств в том соотношении в каком дано по условию задачи, составит 74500 рублей. То есть при внесении дополнительных средств в портфель ценных бумаг годовой доход будет увеличиваться.
Задача распределения самолетов по маршрутам
Постановка экономической задачи
Требуется распределить самолеты трех типов по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплутационных расходов перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 900 и 600 ед. груза
Ниже в таблицах приведены исходные данные
Необходимо так распределить самолеты по авиалиниям, чтобы суммарные эксплутационные расходы были минимальны.
Экономико-математическая модель
Пусть количество самолетов 1 типа используемых по 1 авиалинии будет х1;
Пусть количество самолетов 1 типа используемых по 2 авиалинии будет х2;
Пусть количество самолетов 1 типа используемых по 3 авиалинии будет х3;
Пусть количество самолетов 1 типа используемых по 4 авиалинии будет х4;
Пусть количество самолетов 2 типа используемых по 1 авиалинии будет х5;
Пусть количество самолетов 2 типа используемых по 2 авиалинии будет х6;
Пусть количество самолетов 2 типа используемых по 3 авиалинии будет х7;
Пусть количество самолетов 2 типа используемых по 4 авиалинии будет х8;
Пусть количество самолетов 3 типа используемых по 1 авиалинии будет х9;
Пусть количество самолетов 3 типа используемых по 2 авиалинии будет х10;
Пусть количество самолетов 3 типа используемых по 3 авиалинии будет х11;
Пусть количество самолетов 3 типа используемых по 4 авиалинии будет х12.
Целевая функция будет иметь вид:
10х1+20х2+25х3+40х4+
+70х5+22х6+15х7+45х8+
+40х9+50х10+40х11+65х12 ? min
Данная задача будет иметь следующие ограничения:
х1+х2+х3+х4= 40 – самолетов 1 типа должно быть использовано 40;
х5+х6+х7+х8= 25 – самолетов 2 типа должно быть использовано 25;
х9+х10+х11+х12= 30 – самолетов типа 3 должно быть использовано 30.
15х1+30х5+25х9>= 300 – количество груза по 1 авиалинии должно быть перевезено не менее 300 единиц;
10х2+20х6+50х10>= 200 – количество груза по 2 авиалинии должно быть перевезено не менее 200 единиц;
20х3+10х7+30х11>= 900 – количество груза по 3 авиалинии должно быть перевезено не менее 900 единиц;
50х4+17х8+45х12 >= 600 – количество груза по 4 авиалинии должно быть перевезено не менее 600 единиц.
Решение
Создается новая книга в Microsoft Excel.
В данной задаче значения хi будут размещаться в ячейках В3:М3, а целевая функция будет размещена в ячейке О3.
Вводятся исходные данные задачи, а также ограничения (рис. 9).
Рис. 9. Таблица с исходными данными
Рис. 10. Таблица зависимости формул с ограничениями
Далее запускается функция Меню Сервиса Поиск Решения, и вводятся следующие значения:
Целевая ячейка с адресом $О$3;
Тип целевой функции равной минимальному значению;
Изменяемые ячейки имеют адрес $В$3:$М$3;
Ограничения:
количество перевозок должно быть число не отрицательное, целое;
количество самолетов всех типов должно быть эксплуатировано не более чем есть в наличии;
количество груза, перевезенного по авиалиниям, должно быть, перевезено не менее чем задано по условию (рис.11).
Рис. 11. Меню Поиск решения введены условия задачи
В окне Поиск решения указателем мышки нажать на кнопку Параметры, на экране появится Параметры поиска решения (рис. 12). Установить флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательное значение.
Рис. 12. Ввод параметров поиска решения
Далее запустить Поиск решения. Затем появится окно Результаты поиска решения, где выделяются тип отчет по результатам (Приложение 4) (рис.13).
Рис. 13. Результаты поиска решения
Рис. 14. Решение найдено. Все ограничения выполнены
Вывод
В результате решения задачи был получен ответ: минимальные эксплутационные расходы составили 2385 дол.
По 1 авиалинии было перевезено 465 ед. груза самолетами 1 типа в количестве 31 шт., с затратами 310 дол.
По 2 авиалинии было перевезено 200 ед. груза, транспортировку осуществляли самолеты 3 авиалинии в количестве 4 шт. с эксплуатационными расходами 200 дол.
По 3 авиалинии перевезли 910 ед. груза с затратами 1255 дол., самолетами 2 типа в количестве 25 шт., и самолетами 3 типа в количестве 22 самолета.
Груз по 4 авиалинии перевезли 9 самолетов 1 типа и 4 самолета 3 типа с затратами на перевозку в сумме 620 дол.
