ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-КОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ВАРИАНТ 7
Оглавление Задание 1 2 Задача 2 6 Задача 3 10 Задание 1 Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей – Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. В неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-час, а для производства одной детали типа У – 2 чел.-час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профессиональное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук. Сколько деталей следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа У – 40 ден.ед. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему? Решение Пусть: х1 – количество производимых деталей Х х2 – количество производимых деталей У Целевая функция:
max z = 30 • x + 40 • у Необходимо максимизировать общий доход завода
Ограничения:
х + 2• у ? 4000 Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами
х ? 2250 у ? 1750 Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)
2 • х + 5 • у ? 10 000 Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.
5 • х + с • у ? 10 000 Уровень запасов листов ограничен10 000 ед.
х ? 600 Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)
x + y ? 1500 Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)
x; у ? 0 Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным
Решим задачу графически.
Рисунок 1. Графическое решение задачи Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой. Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции. Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков х + 2у = 4000 и 5х + 2у = 10000. Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250 Таким образом, максимально возможная прибыль составляет z = 30 • 1500 + 40 • 1250 = 95000 ден.ед. Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит zmin = 30 • 1500 = 45000 ден.ед. Задача 2 Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице. Тип оборудования Нормы расхода ресурса на одно изделия Фонд рабочего времени, ч.
А Б В Г
Токарное 2 1 1 3 300
Фрезерное 1
2 1 70
Шлифовальное 1 2 1 0 340
Цена изделия 8 3 2 1
Требуется Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа; оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно. Решение Пусть x1 – количество производимой продукции А; x2 – количество производимой продукции Б; x3 – количество производимой продукции В; x4 – количество производимой продукции Г. Max f(x) = 8 • x1 + 3 • x2 + 2 • x3 + 1 • x4 2 • x1 + x2 + x3 + 3 • x4 ? 300 x1 + 2 • x3 + x4 ? 70 x1 + 2 • x2 + x3 ? 340 xi ?0 Решим задачу, используя пакет анализа «Поиск решения»
Таким образом, функция достигает максимального значения при x1 =70 x2 = 135 x3 = 0 x4 = 0 max f(x) = 965 Двойственная задача имеет вид: Min f(y) = 30 • y1 + 70 • y2 + 340 • y3 2 • y1 + y2 + y3 ? 8 y1 + 2 • y3 ? 3 y1 + 2 • y2 + y3 ? 2 3 • y1 + y2 ? 1 yi ?0 , i = {1, .. 3} Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности. Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом: у1 : 2 • 70 + 135 + 0 + 3 • 0 = 275 ? 300
у2 : 70 + 2 • 0 + 0 = 70
у3 : 70 + 2 • 135 + 0 = 340
Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то у1 = 0. Учитывая, что x1 ? 0 ; x2 ? 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть 2 • y1 + y2 + y3 = 8 (1) y1 + 2 • y3 = 3 (2) Решая систему из уравнений (1) и (2) получим: у1 = 0; у3 = 1,5; у2 = 8 – 0 – 1,5 = 6,5. Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи Min f(y) = 30 • 0 + 70 • 6,5 + 340 • 1,5 Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y. 2 • 0 + 6,5 + 1,5 = 8 0 + 2 • 1,5 = 3 0 + 2 • 6,5 + 1,5 = 14,5 ? 2 3 • 0 + 6,5= 6,5 ? 1 На основе двойственных оценок и теорем двойственности: Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи. В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у1 = 0 Сырье 2 и 3 – дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля. При увеличении фонда рабочего времени шлифовального оборудования на 24 часа будет возможность получить дополнительную выручку в размере 24 • у3 = 24 • 1,5 = 36 ден. ед. в) оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2, 2 единицы. 8 • y1 + 2 • y2 + 2 • y3 – ц < 0 – неравенство целесообразности включения в план нового изделия 8 • 0 + 2 • 6,5 + 2 • 1,5 – 11 = 5 > 0 ( нецелесообразно. Задача 3 В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Линейная модель имеет вид: Yr(t) = a0 + a1 • t. Параметры модели оценим с помощью МНК: a1 = ? (xi – xcr) • (yi – ycr) / ? (xi – xcr)2 a0 = ycr – a1 • xcr Составим разработочную таблицу: х у (yi – ycr) (xi – xcr) (xi – xcr)2 (xi – xcr) • (yi – ycr)
1 20 -22,333 -4 16 89,333
2 27 -15,333 -3 9 46,000
3 30 -12,333 -2 4 24,667
4 41 -1,333 -1 1 1,333
5 45 2,667 0 0 0,000
6 51 8,667 1 1 8,667
7 51 8,667 2 4 17,333
8 55 12,667 3 9 38,000
9 61 18,667 4 16 74,667
Сумма 45 381 0,000 0 60 300,000
Среднее 5 42,333333 0,000 0 6,667 33,333
Отсюда a1 = 300 / 60 = 5 a0 = 42,33 – 5 • 5 = 17,33 Таким образом, линейная модель имеет вид: Yr(t) = 17,33 + 5 • t Построим адаптивную модель Брауна 1 По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а1 и а0 параметров модели с помощью МНК х у уi - ycr xi - xcr (xi - xcr)2 (xi-xcr)•(yi-ycr)
1 20 -12,600 -2 4 25,200
2 27 -5,600 -1 1 5,600
3 30 -2,600 0 0 0,000
4 41 8,400 1 1 8,400
5 45 12,400 2 4 24,800
Сумма 15 163 0 0 10 64
Среднее 3 32,6 0 0 2 12,8
Получаем a1 = 64 / 10 = 6,4 a0 = 32,6 – 6,4 • 3 = 13,4 которые соответствуют моменту времени t=0 Прогноз на первый шаг у1расч = а0(0) + а1(0) = 6,4 + 13,4 = 19,8 Величина отклонения: е = 20 – 19,8 = 0,2 Корректируем параметры (? = 0,4; ? = 0,6) a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 – ?2) ? (t) = 13,4 + 6,4 + (1 – 0,62) • 0,2) = 19.928 a1(t) = a1(t-1) + (1 – ?) 2 ? (t) = 6.4 + (1 – 0,6) 2 • 0,2 = 6.432 Далее расчеты производятся аналогично. t y a0 a1 yr ?
0
13,400 6,400
1 20 19,928 6,432 19,800 0,200
2 27 26,770 6,534 26,360 0,640
3 30 31,189 6,006 33,304 -3,304
4 41 39,630 6,615 37,195 3,805
5 45 45,448 6,415 46,245 -1,245
6 51 51,311 6,277 51,863 -0,863
7 51 53,372 5,223 57,588 -6,588
8 55 56,294 4,648 58,595 -3,595
9 61 60,979 4,657 60,942 0,058
Построим адаптивную модель Брауна 2 Производятся аналогичные расчеты для ? = 0,7; ? = 0,3 t y a0 a1 yr ?
