РЕШЕНИЕ:
1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Таблица 1
EMBED Equation.3
Для вычисления параметров модели следует воспользоваться функцией регрессии в М.Excel:
В полеченных «выводов итогов» видно: что
a = 15.93; b = 1.40
1. следовательно при объеме капиталовложений = 0, объем выпуска продукции составляет 15,93 млн.руб.
2. следовательно при увеличении объема капиталовложений на 1 млн.руб. объем выпуска продукции увеличиться на 1,40 млн.руб.
2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.DSMT4 ; построить график остатков.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и т.д.
Таблица 2
EMBED Equation.3
Дисперсия остатков равна

EMBED Equation.3


Рис. 2

3). Проверить выполнение предпосылок МНК.
Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.
Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле: EMBED Equation.3
Используем данные табл. 3
Таблица 3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d2 до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона Рис. 3
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).
Рис. 4

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае EMBED Equation.3 , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
3.5. Обнаружение гетероскедастичности.
Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F- критерием.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Используя надстройки Excel, найдем F – критерий равный 6,389.
EMBED Equation.3
Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель гомоскедастична.
В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.
Анализ ряда остатков Таблица 4
4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента EMBED Equation.3
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t – критерия (t – статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Где
Расчетная таблица
Таблица 5
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что фактор а0 следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).
5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью EMBED Equation.3 - критерия Фишера EMBED Equation.3 , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.
EMBED Equation.3
Таблица 6
Расчет коэффициента детерминации
EMBED Equation.3
Чем ближе R2 к 1, тем качество модели лучше.
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
EMBED Equation.3
Для проверки значимости модели регрессии используется F – критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
, где k – количество факторов, включенных в модель.
EMBED Equation.3
F > Fтаб. =5, 32 для a = 0, 05; k1 = 1, k2 = 8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Таблица 7
Расчет относительной ошибки аппроксимации
EMBED Equation.3
В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm
6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя EMBED Equation.3 при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2
EMBED Equation.3
Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии
ожидаемой величины фактора х.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.
Коэффициент Стьюдента для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости EMBED Equation.3 равен 3,3554.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким образом, прогнозное значение будет находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.
EMBED Equation.3
Эластичность линейной модели равна
На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.
Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.
Рис. 5

8). Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
EMBED Equation.3
8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.
Уравнение гиперболической функции
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Произведем линеаризацию модели путем замены В результате получим линейное уравнение
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.