КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Финансовая математика»
Вариант 4








Контрольные задания
Задание №1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство ( в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайность остаточной компоненты по критерию пиков:
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.
Таблица 1. Исходные значения заданного временного ряда


Задание №2.
Даны цены открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.
Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%R, %K и %D.
Расчёты проверить для всех дней, для которых эти расчёты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 2. Исходные данные по ценам финансового рынка.


Задание №3.
Выполнить различные коммерческие расчёты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных их таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчёты.
Таблица 3. Исходные данные для выполнения коммерческих расчётов задачи
3.1. Банк выдал ссуду, в размере S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых. Найти:
3.1.1.) точные проценты сточным числом дней ссуды;
3.1.2.) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3.) обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды.
3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предпринимателям сумму и дисконт.
3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить наращенную сумму.
3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i % годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки годовых.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i % годовых.
3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить её современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i % годовых.
3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учёл вексель по сложной учётной ставке i % годовых. Определить дисконт.
3.10. В течение Тлет лет на расчётный счёт в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчётном счёте к концу указанного срока.







Решение.
Задание №1.
Для оценки начальных значений а0 и b0 применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:
Y (t)= a0 + b0 × t
EMBED Excel.Sheet.8
Таблица 4. Расчёт коэффициентов линейной модели.
Метод наименьших квадратов даёт возможность определить коэффициенты линейного уравнения a0 и b0 по следующим формулам:
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Подставим исходные данные, получим:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Уравнение с учётом полученных коэффициентов имеет вид:
Yр(t) = 37,6+0,81×t.
Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями. Такое сопоставление позволяет оценить приближённые значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчёта коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.
Y (1) = 37, 6+0, 81×1=38, 41
Y (2) = 37, 6+0, 81×2=39, 22
Y (3) = 37, 6+0, 81×3=40, 03
Y (4) = 37, 6+0, 81×4=40, 84
Y (5) = 37, 6+0, 81×5=41, 65
Y (6) = 37, 6+0, 81×6=42, 46
Y (7) = 37, 6+0, 81×7=43, 27
Y (8) = 37, 6+0, 81×8=44, 08
Таблица 5. Значения заданного временного ряда и расчётной модели
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчётных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F(-3)=[Y(1)/Yр(1)+Y(5)/Yр(5)]/2=[33/38,41+36/41,65]/2=[0,86+0,86]/2=0,86
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2)=[Y(2)/Yр(2)+Y(6)/Yр(6)]/2=[42/39,22+46/42,46]/2=[1,07+1,08]/2=1,08
F(-1)=[Y(3)/Yр(3)+Y(7)/Yр(7)]/2=[50/40,03+56/43,27]/2=[1,25+1,29]/2=1,27
F(0)=[Y(4)/Yр(4)+Y(8)/Yр(8)]/2=[33/40,84+34/44,08]/2=[0,81+0,77]/2=0,79
Оценив значения a0, b0, а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.
Путём перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Рассчитаем значения Yр(t), a(t), b(t) и F(t) для t=0, k=1. Имеем:
EMBED Equation.3
При моменте времени t=1 имеем:
a(1)=?1Y(1)/F(-3)+(1-?1)[a0+b0]=0,3×33/0,86+(1-0,3)[37,6+0,81]=38,39
b(1)=?3[a(1)-a(0)]+(1-?3)×b0=0,3[38,39-37,6]+(1-0,3)×0,81=0,81
F(1)=?2Y(1)/a(1)+(1-?2)×F(-3)=0,6×33/38,39+(1-0,6)×0,86=0,86
Для t=1, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=2 имеем:
a(2)=?1Y(2)/F(-2)+(1-?1)[a(1)+b(1)]=0,3×42/1,08+(1-0,3)×[38,39+0,81]=39,11
b(2)=?3[a(2)-a(1)]+(1-?3)×b(1)=0,3[39,11-38,39]+(1-0,3)×0,81=0,78
F(2)=?2Y(2)/a(2)+(1-?2)×F(-2)=0,6×42/39,11+(1-0,6)×1,08=1,07
Для t=2, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=3 имеем:
a(3)=?1Y(3)/F(-1)+(1-?1)×[a(2)+b(2)]=0,3×50/1,27+(1-0,3)×[39,11+0,78]=39,72
b(3)=?3[a(3)-a(2)]+(1-?3)×b(2)=0,3×[39,72-39,11]+(1-0,3)×0,78=0,73
F(3)=?2Y(3)/a(3)+(1-?2)×F(-1)=0,6×50/39,72+(1-0,6)×1,27=1,27
Для t=3, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=4 имеем:
a(4)=?1Y(4)/F(0)+(1-?1)[a(3)+b(3)]=0,3×33/0,79+(1-0,3) ×[39,72+0,73]=40,85
b(4)=?3[a(4)-a(3)]+(1-?3)×b(3)=0,3×[40,85-39,72]+(1-0,3) ×0,73=0,85
F(4)=?2Y(4)/a(4)+(1-?2)×F(0)=0,6×33/40,85+(1-0,6) ×0,79=0,80
Для t=4, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=5 имеем:
a(5)=?1Y(5)/F(1)+(1-?1)[a(4)+b(4)]=0,3×36/0,86+(1-0,3) ×[40,85+0,85]=41,75
b(5)=?3[a(5)-a(4)]+(1-?3)×b(4)=0,3×[41,75-40,85]+(1-0,3) ×0,85=0,87
F(5)=?2Y(5)/a(5)+(1-?2)×F(1)=0,6×36/41,75+(1-0,6) ×0,86=0,864
Для t=5, k=1 имеем: Yр(6)=[a(5)+1×b(5)]×F(2)= EMBED Equation.3
Для момента времени t=6 имеем:
a(6)=?1Y(6)/F(2)+(1-?1)[a(5)+b(5)]=0,3×46/1,07+(1-0,3) ×[41,75+0,87]=42,73
b(6)=?3[a(6)-a(5)]+(1-?3)×b(5)=0,3×[42,73-41,75]+(1-0,3) ×0,87=0,90
F(6)=?2Y(6)/a(6)+(1-?2)×F(2)=0,6×46/42,73+(1-0,6) ×1,07=1,08
Для t=6 имеем: Yр(7)=[a(6)+1×b(6)]×F(3)= EMBED Equation.3
Для момента времени t=7 имеем:
a(7)=?1Y(7)/F(3)+(1-?1) × [a(6)+b(6)]=0,3×56/1,27+(1-0,3) ×[42,73+0,90]=43,77
b(7)=?3[a(7)-a(6)]+(1-?3)×b(6)=0,3×[43,77-42,73]+(1-0,3) ×0,90=0,94
F(7)=?2Y(7)/a(7)+(1-?2)×F(3)=0,6×56/43,77+(1-0,6) ×1,27=1,28
Для t=7, k=1 имеем: Yр(8)=[a(7)+1×b(7)]×F(4)= EMBED Equation.3
Для момента времени t=8 имеем:
a(8)= ?1Y(8)/F(4)+(1- ?1) ×[a(7)+b(7)]=0,3×34/0,80+(1-0,3) ×[43,77+0,94]=44,05
b(8)= ?3[a(8)-a(7)]+(1- ?3) ×b(7)=0,3×[44,05-43,77]+(1-0,3) ×0,94=0,74
F(8)= ?2Y(8)/a(8)+(1- ?2) ×F(4)=0,6×34/44,05+(1-0,6) ×0,80=0,78
Для t=8, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=9 имеем:
a(9)= ?1Y(9)/F(5)+(1- ?1) ×[a(8)+b(8)]=0,3×39/0,86+(1-0,3) ×[44,05+0,74]=44,95
b(9)= ?3[a(9)-a(8)]+(1- ?3) ×b(8)=0,3×[44,95-44,05]+(1-0,3) ×0,74=0,79
F(9)= ?2Y(9)/a(9)+(1- ?2) ×F(5)=0,6×39/44,95+(1-0,6) ×0,86=0,86
Для t=9, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=10 имеем:
a(10)= ?1Y(10)/F(6)+(1- ?1) ×[a(9)+b(9)]=0,3×50/1,08+(1-0,3) ×[44,95+0,79]=45,91
b(10)= ?3[a(10)-a(9)]+(1- ?3) ×b(9)=0,3×[45,91-44,95]+(1-0,3) ×0,79=0,84
F(10)= ?2Y(10)/a(10)+(1- ?2) ×F(6)=0,6×50/45,91+(1-0,6) ×1,08=1,08
Для t=10, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=11 имеем:
a(11)= ?1Y(11)/F(7)+(1- ?1) ×[a(10)+b(10)]=0,3×59/1,28+(1-0,3) ×[45,91+0,84]=46,56
b(11)= ?3[a(11)-a(10)]+(1- ?3) ×b(10)=0,3×[46,56-45,91]+(1-0,3) ×0,84=0,79
F(11)= ?2Y(11)/a(11)+(1- ?2) ×F(7)=0,6×59/46,56+(1-0,6) ×1,28=1,27
Для t=11, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=12 имеем:
a(12)= ?1Y(12)/F(8)+(1- ?1) ×[a(11)+b(11)]=0,3×37/0,78+(1-0,3) ×[46,56+0,79]=47,38
b(12)= ?3[a(12)-a(11)]+(1- ?3) ×b(11)=0,3×[47,38-46,56]+(1-0,3) ×0,79=0,80
F(12)= ?2Y(12)/a(12)+(1- ?2) ×F(8)=0,6×37/47,38+(1-0,6) ×0,78=0,78
Для t=12, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=13 имеем:
a(13)= ?1Y(13)/F(9)+(1- ?1) ×[a(12)+b(12)]=0,3×44/0,86+(1-0,3) ×[47,38+0,80]=49,08
b(13)= ?3[a(13)-a(12)]+(1- ?3) ×b(12)=0,3×[49,08-47,38]+(1-0,3) ×0,80=1,07
F(13)= ?2Y(13)/a(13)+(1- ?2) ×F(9)=0,6×44/49,08+(1-0,6) ×0,86=0,88
Для t=13, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=14 имеем:
a(14)= ?1Y(14)/F(10)+(1- ?1) ×[a(13)+b(13)]=0,3×54/1,08+(1-0,3) ×[49,08+1,07]=50,11
b(14)= ?3[a(14)-a(13)]+(1- ?3) ×b(13)=0,3×[50,11-49,08]+(1-0,3) ×1,07=1,06
F(14)= ?2Y(14)/a(14)+(1- ?2) ×F(10)=0,6×54/50,11+(1-0,6) ×1,08=1,08
Для t=14, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=15 имеем:
a(15)= ?1Y(15)/F(11)+(1- ?1) ×[a(14)+b(14)]=0,3×65/1,27+(1-0,3) ×[50,11+1,06]=51,17
b(15)= ?3[a(15)-a(14)]+(1- ?3) ×b(14)=0,3×[51,17-50,11]+(1-0,3) ×1,06=1,06
F(15)= ?2Y(15)/a(15)+(1- ?2) ×F(11)=0,6×65/51,17+(1-0,6) ×1,27=1,27
Для t=15, k=1 имеем: EMBED Equation.3
Для момента времени t=16 имеем:
a(16)= ?1Y(16)/F(12)+(1- ?1) ×[a(15)+b(15)]=0,3×40/0,78+(1-0,3) ×[51,17+1,06]=51,94
b(16)= ?3[a(16)-a(15)]+(1- ?3) ×b(15)=0,3×[51,94-51,17]+(1-0,3) ×1,06=0,97
F(16)= ?2Y(16)/a(16)+(1- ?2) ×F(12)=0,6×40/51,94+(1-0,6) ×0,78=0,77
2. Занесём полученные данные модели Хольта-Уинтерса в таблицу 6 и оценим точность нашей модели по средней относительной ошибке аппроксимации:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то условие точности выполнено.
3. Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков E(t) обладал свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверку случайности уровней компоненты проведём на основе критерия поворотных точек, сведя промежуточные данные расчетов в таблице 7.
EMBED Excel.Sheet.8
Таблица 6. Расчётные данные по модели Хольта-Уинтерса.
Общее число поворотных точек в данной задаче равно 10 (p=10).
EMBED Equation.3
Так как p>q, то условие случайности уровней ряда остатков выполняется. Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проведём с помощью двух методов:
по d-критерию Дарбина-Уотсона;
по первому коэффициенту автокорреляции.
По d-критерию Дарбина-Уотсона имеем:
EMBED Equation.3
Таблица 7. Промежуточные расчёты для оценки адекватности модели
EMBED Excel.Sheet.8
По первому коэффициенту автокорреляции имеем, что
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения ?????????I r(1)I<rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32. Имеем: [r(1)]=0,18<rтаб = 0,32 – значит уровни независимы.
Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению выполним по R/S – критерию:
EMBED Equation.3
Из таблицы имеем, что Emax=2,57, Emin=-1,77. Тогда получим, что
EMBED Equation.3