Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
1.8. имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2, и S3. содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.
Решение
Разработка ЭММ. Введем необходимые обозначения. Пусть:
x1 – количество единиц I
x2 – количество единиц II
С учетом этих обозначений ЭММ рассматриваемой задачи имеет вид:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Реализация ЭММ.
Полученная ЭММ – задача линейного программирования
Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.
Построим прямые ограничений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
и линию уровня:
EMBED Equation.3
При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку В, это и есть точка минимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.
При помощи пакета MS Excel с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функции
Значение целевой функции в точке В (2;3) равно:
EMBED Equation.3
Ответ: чтобы обеспечить максимальную полезность корма с минимальными затратами следует взять 2 единицы корма I вида и 3 единицы корма II вида.
Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II вида – уменьшить на 5 единиц;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы соответственно.
Решение
1)Прямая оптимизационная задача имеет вид:
?(x) =3X1+2X2+5X3> max
при ограничениях
X1+ 2X2+X3?430
3X1+2X3?460
X1+4X2 ?420
X1, X2, X3 ?0.
При помощи пакета MS Excel с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функции
Xопт= (0; 100; 230)
В оптимальный план вошел выпуск 100 изделий II вида и 230 изделий III вида.
2) Двойственная задача имеет вид:
g(y)=430у1+460у2+420у3 >min
при ограничениях
у1 + 3у2 + у3 ? 3;
2у1 + 4у3 ? 2;
у1 + 2у2 ? 5;
у1, у2, у3 ? 0.
у1,у2,у3 – двойственные оценки расходов ресурсов на единицу продукции
Проверим является ли план оптимальным:
Y = (1; 2;0);
g(y)= 430у1+460у2+420у3 = 430 EMBED Equation.3 1+460 EMBED Equation.3 2 = 1350ден. единиц
f(x) = 1350 ден. единиц
план оптимален: g(y)= f(x)
3) Нулевые значения в оптимальном плане означает, что:
- выпуск изделий I вида нерентабелен
- дефицитными являются I и II вид сырья, т.к. y1 и y2 > 0;
4) В ходе исследования выяснилось, что остатки сырья III вида – 20 единиц;
Определим, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II вида уменьшить на 5 единиц
Если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II вида уменьшить на 5 единиц, то прибыль уменьшается на 1345-1350 = - 5 единиц.
Оценка целесообразности включения в план выпуска четвертого изделия.
Выпуск четвертого изделия нерентабелен, т.к. затраты на его производство не окупаются.
Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) =20; 27; 30; 41; 45; 51; 51; 55; 61.
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.3 =а + bt , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение:
1) Проверим наличие аномальных наблюдений:
Аномальных наблюдений нет.
Подставим получившееся значение в исследуемый ряд:
tср= EMBED Equation.3 = 5; b = EMBED Equation.3 = 5; a = EMBED Equation.3 - b×tср = 42,3 - 5×5 = 17,3333;
- модель
В дальнейшем для облегчения расчётов использовался пакет MS Excel.
I. Проверка гипотезы о равенстве нулю математического ожидания остаточной компоненты. М [E] = 0;
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ? -0,0033;
?? = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 3,0859;
критерий Стьюдента t*(0,05) = 1,86; t = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ?0,032;
т.к. |t| ? t*, среднее значение можно считать равным нулю.
II. Число поворотных точек Р = 5 (Р>2), остаточная компонента является случайной.
III. Прверка гипотезы о независимости остатков.
d = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 1,386;
1,36 < d < 2 => уровни независимы;
IV. Оценка нормального распределения.
EMBED Equation.3 - нормированный размах R = ?max – ?min= 3,67-(-2,33) = 6;
S = ??=3,0859;
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 2,31; не є 2,7÷3,7 ,то => остатки распределены ненормально;
Т.к. все 4 гипотезы выполнились, то модель можно считать полностью адекватной исследуемого процесса.
V. Оценка точности.
Найдем среднюю относительную ошибку расчета.
?ср= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 8,9 %; => точность приемлемая
VI. Прогнозирование.
1. Точечный прогноз, используя экстраполяцию.
EMBED Equation.3 =42,3 + 5t
Найдем прогноз на две недели вперед:
для t =10 EMBED Equation.3 = 42,3 + 5×10 = 92,3;
для t =11 EMBED Equation.3 = 42,3 + 5×11 = 97,3; это ожидаемые значения спроса;
2. Найдем возможные отклонения от спрогнозированных значений, т.е. ширину доверительного интервала:
uk = EMBED Equation.3 × S?× EMBED Equation.3 ;
если Р = 70 %, то EMBED Equation.3 =1,13;
S? = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 2,78;
для t =10 k =1 u1 = 1,13×2,78× EMBED Equation.3 = 4,5;
для t =11 k =2 u1 = 1,13×2,78× EMBED Equation.3 = 4,7;
