3
1) Найти неопределённый интеграл:
х²dx
? vx³+1 .
Решение:
Пусть х³+1 = t; dt = d(x³+1) = (x³+1)'dx = 2x²dx; x²dx = ½dt
х²dx dt t? + 1 6 vt
? vx³ + 1 = ½ ? * vt = ½ * -1/6 + 1 = 10 + c = 3/5 vt
произведём обратную замену, в результате получим: 3/5 * v(x³ + 1) + c
х²dx
Ответ: ? vx³+1 = 3/5 * v(х³ + 1) + с.
2) Найти определённые интегралы:
ln 3 e dx
? e² - 1 .
ln 2
Решение:
Воспользуемся заменой переменной:
4
dt
Пусть e = t x = ln t и dx = t ;
Найдём пределы интегрирования:
если x = ln 2, то t = 2;
если x = ln 3, то t = 3.
Получим:
4) Решить дифференциальное уравнение:
xdy – ydx = vy² - 9x²dx.
Решение:
Делим обе части на dx:
y
xy' – y = dx - 9x² /x
y y
y' - x - xdx = -9x (1)
Пусть y = uv, т.е. y' = uv' + u'v, тогда уравнение (1) примет вид:
u'v + uv' – uv * (1/x + 1/xdx) = -9x (2)
Преобразуем:
u'v + u * (v' – v * (1/x + 1/xdx)) = -9x (3)
Положим:
dv v' – v * (1/x + 1/xdx) = 0 или dx = v * (1/x + 1/xdx);
dv
v = dx * 1/x + 1/x;
7
Интегрируем:
dv dx
? v = ? x + ? 1/x * dx = ln |x| + ln |x|;
dt
Пусть x = t, тогда dt = d(x)' = 1 1/x = t и
dt
? t = ln |t| ? 1/x = ln |x| или ln |v| = ln x²;
Найдём какое-либо решение полученного уравнения, например, при С = 0
ln |v| = ln x² или v = x²
du -9x
при v = x² b(3) x² * u' = -9x dx = x² = -9/x;
du = -9/x * dx;
dx
?du = -9 ? x ;
u = -9 ln |x| + C;
y = uv = (-9 ln |x| + C) * x² = -9 ln |x| * x² + x²C;
y = x² ln x? + x²C = x² ln |1/x | + x²C.
Ответ: y = x² ln |1/x | + x²C.
5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 3 + 2x - x², y = x + 1, х = 0.
8
Решение:
Координаты вершины параболы:
-2
x0 = - B/2a = 2*(-1) = 1;
4AC - B² 4 * (-1) * 3 - 4
y0 = 4A = 4 * (-1) = 4;
Строим графики заданных функций.
Координаты точек для y = x + 1
9
2 2 2 2 2 2 2
SABC = ? (3 + 2x - x²)dx - ? (x – 1)dx = 2x | + ½ x² | = 2x | + ½ x² | - 1/3 x³ | =
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
= 2 * (-1 – 2 ) + ½ * (1 – 4) – 1/3 * (1 – 8) = 31/6 ? 5,12.
Ответ: SABC = 5,12.
6) Опытные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:
В результате их выравнивания дробнолинейной функцией получено
х + 3
уравнение у = х – 3 . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у = ax + b (найти параметры a и b). Установить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.
12
х + 3
Для функции y = - 0,2х + 3.84: Для функции у = х – 3 :
если х = 7, то у = 2,44; если х = 7, то у = 2,5;
если х = 8, то у = 2,24; если х = 8, то у = 2,2;
если х = 9, то у = 2,04; если х = 9, то у = 2;
если х = 10, то у = 1,84; если х = 10, то у = 1,86;
если х = 11, то у = 1,64. если х = 11, то у = 1,75.
? ?¹i = 2,5 – 2,44 + 2,24 – 2,2 + 2,04 – 2 + 1,84 – 1,8 + 1,7 – 1,64 = 0,24;
(у= -0,2х+3,84)
? ?²i = 2,5 – 2,5 + 2,2 – 2,2 + 2 – 2 + 1,86 – 1,8 + 1,75 – 1,7 = 0,11;
х+3
(у= х-3 )
х + 3
??¹i = 0,24 › ??²i = 0,11 функция у = х – 3 лучше выравнивает
экспериментальные данные.
х + 3
Ответ: функция у = х – 3 лучше выравнивает экспериментальные данные.
7) Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
n
? (-1) * (n + 1)
? n
n=1 2 * (n – 1) .
Решение:
Предел общего члена ряда:
13
(-1) (n + 1) (-1) 2
lim un = lim 2 * (n – 1) = lim 2 (1 + n + 1) = 0, так как
n>? n>?
(-1)
lim 2 = 0 по признаку Лейбница ряд сходится, так как члены
n>?
ряда убывают. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
n
? (-1) * (n + 1)
? n
n=1 2 * (n – 1) , убывает.
2 + 1 3 + 1 5 n + 1
2² * (2 – 1) › 2³ * (3 – 1) › 2 * 4 › …. 2 (n - 1) ›….
n + 1
0,75 › 0,25 › 0,078 › …. 2 (n – 1) ›…. ряд сходится.
Ответ: ряд абсолютно сходящийся.
14
Список литературы.
Основная
1) Высшая математика для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера, М.: Банки и биржи, 1998, 2000, 2001, 2002.
2) Практикум по высшей математике для экономистов. / Под редакцией Н.Ш. Кремера, М.: ЮНИТИ (в печати).
Дополнительная
3) Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.1, М.: Высшая школа, 1982.
4) Карасев А.И., Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра, М.: ВЗФЭИ, 1987.
5) Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики. / Под редакцией А.И. Карасева, Н.Ш. Кремера, М.: ВЗФЭИ, 1989.
6) Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики, М.: Наука, 1985.
