Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ( EMBED Equation.3 = 0,05).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера ( EMBED Equation.3 = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать выводы о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя у при уровне значимости EMBED Equation.3 = 0,1, если прогнозное значение фактора х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения у, точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболическая
степенной
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Построим линейную модель регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
EMBED Equation.DSMT4
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака EMBED Equation.DSMT4 от теоретических EMBED Equation.DSMT4 минимальна:
EMBED Equation.DSMT4 .
Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 и приравнять их к нулю. Обозначим EMBED Equation.DSMT4 через EMBED Equation.DSMT4 , тогда:
EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4
Решая систему уравнений, найдем искомые оценки параметров EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы:
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,
где EMBED Equation.3 – ковариация признаков EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 – дисперсия признака EMBED Equation.3 и
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.1 ( EMBED Equation.3 = у – y).
Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии EMBED Equation.DSMT4 . Для этого воспользуемся формулами:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
Получили уравнение: EMBED Equation.3 .
Т.е. b показывает, что при увеличении объема капиталовложений на 1 млн. руб., объем выпуска продукции в среднем увеличивается на 1,3191 млн. руб.
а = 12,5733, означает, что относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.